Tiempo is the broader form of time: (period/duration)

¿Cuánto tiempo tenemos?

How much time left do we have?

Ha pasado mucho tiempo desde que hablamos.

It's been a while since we talked. (Long time no talk)

Yo trabajo tiempo completo.

I work full time.

El tiempo pasa volando.

Time flies.

El tiempo sana las heridas.

Time heals wounds.

El tiempo es oro.

Time is gold.

No creo que vaya a llegar a tiempo.

I don’t think I’m going to make it on time.

Hora: it refers to clock time.

¿Qué hora es?

What time is it?

¿A qué hora vamos a cenar?

At what time are you going to have dinner?

Dame una hora que funcione mejor para ti.

Give an hour that works better for you.

¿A qué hora vas a llegar?

At what time exactly will you arrive?

Vez: a moment or space in time when something takes place. (it can be counted)

¿Cuántas veces tengo que decir que no puedes comer aquí?

How many times do I need to tell you that you can’t eat here?

Lo he dicho mil veces.

I’ve said it 1,000 times.

Esa vez yo estaba ocupado.

at that time I was busy.

Fue diferente esta vez.

It was different this time around

Te prometo que esta vez será mejor.

I promise you this time will be better.

Contraste - al mismo tiempo:

Quiero ir a Miami, pero al mismo tiempo pienso que gastaría mucho dinero.

I want to go to Miami but at the same time, I think I would spend a lot of money.

(in the sentence above "at the same time" is referring to two things happening in parallel)

Vamos a saltar al mismo tiempo.

Let’s jump at the same time.

(This sentence is refering to do something together)