Họ chuẩn tắc (tiếng Anh là normal family) là cụm từ thường nói tới một họ các ánh xạ giữa hai không gian, ví dụ topo hoặc đa tạp vi phân v.v. Trên không gian các ánh xạ, người ta trang bị cho nó một topo, ví dụ topo compact-mở. Một họ ánh xạ được gọi là họ chuẩn tắc nếu cứ lấy ra một dãy trong họ thì có thể trích ra dãy con hội tụ. Định nghĩa này không phải là duy nhất, nhưng ít nhất là được bàn trong phạm vi nghiên cứu mà tôi biết. Chuẩn tắc tóm lại chính là tính compact hoặc compact tương đối mà thôi.
Ở chỗ tôi làm việc thì một số nhà toán học quan tâm tới tính chuẩn tắc của họ ánh xạ phân hình. Ánh xạ phân hình là khái niệm mở rộng của hàm phân hình, hàm phân hình thì là khái niệm mở rộng của hàm chỉnh hình trong môn giải tích phức (ở ĐHSP Hà Nội gọi là môn hàm phức). Một vấn đề cũng khá được quan tâm là nghiên cứu họ chuẩn tắc của các ánh xạ phân hình, được giới thiệu bởi Fujimoto, xem [1]. Khái niệm này khá hay, và cũng là khái niệm "yếu" (nghiên cứu những điều kiện yếu bao giờ cũng thú vị hơn là mạnh), được một số nhà toán học VN quan tâm, và cũng có thể nghiên cứu được gì đó.
Một vài tài liệu tham khảo (nếu bạn không tìm được bài báo thì tôi có thể gửi cho bạn qua email nếu tôi còn lưu trong máy, nếu không thì có thể gửi trực tiếp tác giả bài báo và xin bài báo).
[1] Fujimoto, Hirotaka On families of meromorphic maps into the complex projective space. Nagoya Math. J. 54 (1974), 21–51.
[2] Mai, Pham Ngoc; Thai, Do Duc; Trang, Pham Nguyen Thu. Normal families of meromorphic mappings of several complex variables into ${\bf P}\sp N({\bf C})$. Nagoya Math. J. 180 (2005), 91--110.
[3] Thai, Do Duc; Trang, Pham Nguyen Thu; Huong, Pham Dinh. Families of normal maps in several complex variables and hyperbolicity of complex spaces. Complex Var. Theory Appl. 48 (2003), no. 6, 469--482.
[4] Quang, Si Duc; Tan, Tran Van. Normal families of meromorphic mappings of several complex variables into ${\Bbb C}{\Bbb P}\sp n$ for moving hypersurfaces. Ann. Polon. Math. 94 (2008), no. 2, 97--110.
Nghiên cứu gần đây:
[5] Dethloff, Gerd; Thai, Do Duc; Trang, Pham Nguyen Thu. Normal families of meromorphic mappings of several complex variables for moving hypersurfaces in a complex projective space. Nagoya Math. J. 217 (2015), 23--59. File bài báo có trên trang của G. Dethloff.
[6] Kuldeep Singh Charak, Shittal Sharma 2015, Some Normality Criteria and a Counterexample to the Converse of Bloch's Principle, link tới bản thảo.
[7] Gopal Datt 2015, Normal families of meromorphic mappings of several complex variables into complex projective space for moving target, link tới bản thảo.
[8] Gopal Datt, Sanjay Kumar 2015, Quasi-normality and sharing values, link tới bản thảo.
[9] Kuldeep Singh Charak, Virender Singh 2015, Sharing of a set of meromorphic functions and Montel's theorem, link tới bản thảo.
[10] Quang, Si Duc. Extension and normality of meromorphic mappings into complex projective varieties. Ann. Polon. Math. 104 (2012), no. 3, 279--292.
Sách vở có thể tham khảo:
- Các sách về lý thuyết Nevanlinna (hay lý thuyết phân bố giá trị của hàm phân hình, ánh xạ phân hình).
- Joel Schiff, Normal Families.
- Noguchi, Ochiai.
- Noguchi, Winkelmann.
Ghi chú: Bài [2] mở rộng bài [1]. Bài [5] mở rộng bài [2]. Bài [4] hai tác giả đưa ra cách chứng minh khác rất ngắn gọn cho một bổ đề của [2] và [5]. Bài [7] có trích dẫn lại một số kết quả của các nhà toán học VN. Bài [2] có một lỗi và được khắc phục trong bài [5].
Cùng chủ đề nhưng bài báo rất khó đọc (do trình độ của tôi có hạn, và những bài này khó đối với khả năng đọc hiểu của tôi).
[A] S. Ivashkovich, F. Neji 2011 Weak normality of families of meromorphic mappings and bubbling in higher dimensions, link tới bản thảo.
Bài [10] trích dẫn [A].
(cập nhật ngày 27/9/2015)
Một vấn đề liên quan tới họ chuẩn tắc là nghiên cứu đường cong Brody. Nó xuất phát từ bài báo của Brody và bài báo của Zalcman: cứ mỗi họ không chuẩn tắc thì có thể sản xuất ra một đường cong Brody.
Zalcman, Lawrence. Normal families: new perspectives. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 35 (1998), no. 3, 215--230.
Về vấn đề này sẽ cập nhật ở trang khác.
(cập nhật 27/9/2015)