Nói tới bài toán nội suy Nevanlinna-Pick là thường người ta nói tới bài toán có dạng: cho X, Y là hai miền nào đó trong C^n, cho p_1, p_2, ..., p_N là N điểm phân biệt trong X và q_1, ..., q_N là N điểm nào đó trong Y (không nhất thiết phân biệt). Tìm điều kiện để tồn tại ánh xạ f:X->Y chỉnh hình sao cho f(p_i) = q_i với mọi i thuộc đoạn từ 1 tới N.
Bài toán nội suy Nevanlinna-Pick cổ điển là bài toán với X = Y = D là đĩa đơn vị (tập các số phức có module < 1). Bài toán này được giải quyết bởi Pick (1916) và Nevanlinna (1919). Trong những chứng minh của bài toán cổ điển này, đáng kể nhất là chứng minh của Sarason sử dụng lý thuyết toán tử, và từ đó bài toán được nâng mức độ tổng quát lên, số lượng nghiên cứu về bài toán trở nên dày đặc. Ví dụ nội dung bài viết ở đây mô tả ứng dụng của kết quả của Sarason.
Sarason, Donald. Generalized interpolation in $H\sp{\infty }$. Trans. Amer. Math. Soc. 127 1967 179--203.
Sau kết quả của Sarason, hai nhà Toán học Sz.-Nagy và Foiaş đã tổng quát hóa và đưa ra định lý về nâng một giao hoán tử (giao hoán tử trong lý thuyết Toán tử là một toán tử hoặc một tập hợp các toán tử giao hoán với một toán tử đang được xét).
Một biến thể cũng đáng quan tâm là thay vì nội suy các điểm như trên thì ta thêm vào đó đạo hàm. Bài toán như thế được gọi là bài toán nội suy Carathéodory-Féjer. Bài toán cổ điển cho đĩa đơn vị cũng được giải quyết trọn vẹn bởi một nhà toán học tên là Cantor, như trong cuốn sách của Garnett có nhắc tới,
Garnett, John B. Bounded analytic functions. Revised first edition. Graduate Texts in Mathematics, 236. Springer, New York, 2007. xiv+459 pp. ISBN: 978-0-387-33621-3; 0-387-33621-4
tuy nhiên, tác giả lại chỉ nói đấy là trao đổi riêng tư, chứ bản chứng minh đầy đủ của Cantor thì hiện tại không ai tìm được (có lẽ vì thời gian đó quá lâu và khó khăn trong việc xuất bản). Sau này được sự động viên của Garnett, bà Takahashi có chứng minh lại.
Takahashi, Sechiko. Extension of the theorems of Carathéodory-Toeplitz-Schur and Pick. Pacific J. Math. 138 (1989), no. 2, 391--399.
Bài toán nội suy hiện nay được nhiều người quan tâm là bài toán nội suy Nevanlinna-Pick phổ, tức là với X = D là đĩa đơn vị, và Y là tập các ma trận vuông có bán kính phổ < 1 (bán kính phổ là module lớn nhất của các giá trị riêng của ma trận đó). Khác với bài toán nội suy cổ điển và các phiên bản gần gũi, bài toán này phức tạp hơn rất nhiều và thách thức hơn. Các nghiên cứu gần đây tuy nhiều nhưng chưa có công trình nào đáng kể để giải quyết bài toán này.
Phương pháp tiếp cận bằng lý thuyết toán tử theo kiểu Sarason, Sz-Nagy và Foias có lẽ đạt được kết quả tốt nhất ở bài báo
Bercovici, Hari; Foias, Ciprian; Tannenbaum, Allen. A spectral commutant lifting theorem. Trans. Amer. Math. Soc. 325 (1991), no. 2, 741--763.
Tuy nhiên, điều kiện mà trong bài báo đưa ra không dễ để kiểm tra vì số lượng biến quá lớn. Khoảng những năm 2000, J. Agler và N. Young đưa ra một miền trong C^n gắn liền với bài toán Nevanlinna-Pick phổ, được gọi là đa đĩa đối xứng hóa (symmetrized polydisc). Miền này sau đó trở thành đối tượng khá được quan tâm vì nó giàu tính chất hình học lạ mắt, tuy nhiên bản thân nó lại là miền xấu theo nghĩa biên không trơn, cũng không phải miền lồi (ví dụ nếu là miền lồi thì còn có thể sử dụng định lý Lempert trong bài báo Lempert, László. La métrique de Kobayashi et la représentation des domaines sur la boule. (French) [The Kobayashi metric and the representation of domains on the ball] Bull. Soc. Math. France 109 (1981), no. 4, 427--474.).
Mục đích của J. Agler và N. Young là chuyển bài toán nội suy trong quả cầu phổ (tức là tập các ma trận vuông hệ số phức, có bán kính phổ <1) sang nội suy trong đa đĩa đối xứng hóa. Phương pháp như thế này hoàn toàn khác với phương pháp được thực hiện bằng lý thuyết toán tử như trong bài báo của Bercovici, Foias, Tannenbaum ở trên đã dẫn. Tuy nhiên miền này không dễ nghiên cứu. Mặc dù vậy nó lại có nhiều tính chất đẹp ở trường hợp chiều n = 2. Đa đĩa đối xứng hóa được ký hiệu là G_n. Ví dụ tính chất đặc sắc của song đĩa đối xứng hóa G_2 là hàm Caratheodory và hàm Lempert bằng nhau. Đây là điều không tầm thường chút nào. Một số bài báo mở đầu theo hướng này.
Agler, J.; Young, N. J. The two-point spectral Nevanlinna-Pick problem. Integral Equations Operator Theory 37 (2000), no. 4, 375--385.
Agler, Jim; Young, N. J. The two-by-two spectral Nevanlinna-Pick problem. Trans. Amer. Math. Soc. 356 (2004), no. 2, 573--585 (electronic).
Agler, J.; Young, N. J. The hyperbolic geometry of the symmetrized bidisc. J. Geom. Anal. 14 (2004), no. 3, 375--403.
Sau những bài này, một loạt các nhà toán học ở nhiều nơi quan tâm tới đa đĩa đối xứng hóa, đặc biệt là nhóm các nhà toán học ở Ba Lan, nơi mà họ nghiên cứu rất nhiều về các miền Cartan (họ là những người nghiên cứu giải tích phức về các miền). Các nhà toán học ở Ba Lan và một số nước khác ở châu Âu đã nghiên cứu theo phương pháp hoàn toàn khác Agler và Young là họ gần như chỉ sử dụng giải tích phức. Điều đó ít nhiều có những lợi thế bởi vì Agler và Young là những người nghiên cứu thuần túy theo lý thuyết toán tử, nên nhiều kết quả của hai ông được chứng minh khá phức tạp.
Tôi liệt kê vài tên các tác giả khác cho những ai quan tâm và tìm bài báo:
- nhóm Ba Lan: Zwonek, Jarnicki, Edigarian, Zapalowski, Kosinski, Warszawski; Peter Pflug (tuy nhiên đây là nhà toán học người Đức, nhưng vẫn thuộc vào trường phái của nhóm những người Ba Lan).
- N. Nikolov (nhà toán học người Bungary)
- Pascal J. Thomas (nhà toán học người Pháp, đồng thời là thầy của tôi).
- ngoài ra còn nhiều nhà toán học khác, nhưng tôi không tìm hiểu nhiều lắm, và nhiều trong số họ đã chuyển hướng nghiên cứu: ví dụ Bercovici (nhà toán học được trích dẫn ở trên), Thomas Ransford, Costara (học trò của Ransford nhưng cũng đã chuyển hướng nghiên cứu), Baribeau, Kamara, Bharali v.v.
Về cơ bản thì có vẻ mọi người theo dõi rất sát công trình của Agler để tìm hướng đi. Vì thế tôi giới thiệu mấy bài quan trọng gần đây của Agler, nếu ai quan tâm tới sự cập nhật của nghiên cứu thì nên theo xem những bài này (và cả bài của Kosinski, một nhà toán học trẻ tuổi nhưng rất tài).
[1] Jim Agler, Zinaida A. Lykova, N. J. Young, Extremal holomorphic maps and the symmetrised bidisc, link tới bản thảo.
[2] Jim Agler, Zinaida A. Lykova, N. J. Young, 3-extremal holomorphic maps and the symmetrised bidisc, link tới bản thảo.
[3] Jim Agler, Zinaida A. Lykova, Nicholas J. Young, Algebraic and geometric aspects of rational Γ-inner functions, link tới bản thảo.
[4] Jim Agler, Zinaida A. Lykova, Nicholas J. Young, Finite Blaschke products and the construction of rational Γ-inner functions, link tới bản thảo.
Tôi giới thiệu thêm hai bài báo khá đặc sắc của Kosinski, trong đó tác giả giới thiệu công cụ nghiên cứu mới là đường cực trị yếu (tiếng Anh là: weak extremal), và trả lời một vài câu hỏi do J. Agler, Z. Lykova, N. Young đặt ra.
[5] Lukasz Kosinski, Spectral Nevanlinna-Pick problem and weak extremals in the symmetrized bidisc, link tới bản thảo.
[6] Lukasz Kosinski, Three-point Nevanlinna Pick problem in the polydisc, link tới bản thảo.
Một đồng nghiệp của Kosinski (có lẽ chỉ kém vài tuổi) đã viết nguyên một bài báo để kiểm tra các tính chất về đường cực trị yếu ở một số miền cơ bản. Tôi giới thiệu luôn bài báo đó.
[7] Tomasz Warszawski, (Weak) m-extremals and m-geodesics, link tới bản thảo.
Sự đặc sắc của [6] được G. Knese giải thích trong bài viết này.
(cập nhật 29/9/2015)