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Forma general
Las superficies cuadráticas se ven representadas por la siguiente ecuación:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Pero la expresión anterior se puede simplificar de la siguiente forma:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + G = 0
Curvas de nivel
Para la representación de las superficies cuadráticas se hace uso de algo que usualmente es visto en lo que es materia de topografía, y es definir, a medida que cambia la "altura", la forma que tiene la superficie cuadrática por medio de trazas que nos ayudaran a ver como cambia la forma de nuestra superficie a lo largo de un eje en particular.
Un ejemplo puede ser las superficies de nivel para el elipsoide que tiene la forma:
Y las trazas pueden ser vistas de la siguiente manera al ser intersectadas por un plano que es paralelo a los planos encontrados en el sistema cartesiano (plano xy, plano xz y plano yz, respectivamente):
En el siguiente video se puede encontrar más información sobre este tema:
Elipsoide
El elipsoide se puede ver denotado, como se dijo en la sección anterior, por medio de la ecuación:
Esta superficie se puede identificar por medio de su ecuación cuando todas las variables son positivas y están elevadas al cuadrado, divididas por una constante, igualadas a 1.
Hiperboloide de una hoja
La siguiente superficie esta dada por la ecuación:
La ecuación de esta superficie puede ser identificada por medio de una variable negativa, mientras todas están elevadas al cuadrado e igualadas a 1.
Hiperboloide de 2 hojas
La siguiente superficie se puede encontrar dada la ecuación:
Se puede identificar la ecuación de la superficie por ser parecida a la del hiperboloide de una hoja, todas las variables están elevadas al cuadrado e igualadas a 1, pero dos de estas variables son negativas en lugar de una.
Cono elíptico
Esta superficie tiene la siguiente ecuación que la representa:
La ecuación tiene la peculiaridad de que una de las variables es negativa y que no tiene denominador, todas las variables siguen siendo de segundo orden pero la ecuación se encuentra igualada a 0, ya no a 1.
Paraboloide elíptico
La ecuación de esta superficie es la siguiente:
Una de las peculiaridades de la ecuación es que ahora una de las variables es lineal y es negativa, o bueno, la ecuación está igualada a dicha variable lineal.
Paraboloide hiperbólico
La superficie siguiente es una relativamente difícil de dibujar a mano ya que, aún con las curvas de nivel, es complicado visualizarla. Se ve definida por medio de la ecuación:
La ecuación en este caso tiene dos variables negativas, una de ellas de segundo orden y la otra de primer orden. También se le conoce a esta superficie con el sobrenombre de "silla de montar" por su semejanza con dicho objeto.
En el siguiente video se puede encontrar información acerca de lo anterior:
Todo este tema puede tener aplicaciones en ingeniería para el diseño de piezas y la representación de fenómenos como el cambio de la temperatura en una superficie, por ejemplo, gracias a la ayuda de software computacional de simulación se pueden representar las diferentes temperaturas que tiene un fluido al atravesar un tubo.
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