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Coordenadas esféricas
Como se observa en la imagen de la izquierda, las coordenadas esféricas de un punto P están dadas por la tríada ordenada (ro,phi,theta), donde ro es la distancia al punto del origen a P, phi es el ángulo entre el eje z positivo y el vector OP, y theta es el ángulo medido desde el eje x positivo hasta la proyección del vector OQ de OP. El ángulo theta es el mismo ángulo que en coordenadas polares y cilíndricas.
La imagen a la derecha muestra que un punto P en el espacio está determinado por la intersección de un cono phi = constante, un plano theta = constante, y una esfera ro = constante; de ahí surge el nombre de coordenadas “esféricas”.
Para transformar coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares tenemos las siguientes ecuaciones:
También para ir de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas tenemos las siguientes ecuaciones:
Y por último, para transformar de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas tenemos que:
Las coordenadas esféricas y las integrales triples
Para empezar, las coordenadas esféricas hacen que el diferencial de volumen (dV) de la integral triple cambie de acuerdo a las tres variables involucradas en este sistema de coordenadas, que son, como ya he mencionado, ro, phi y theta, por lo que el diferencial queda expresado de la siguiente manera:
Y para apreciar como es que se define la cuña esférica que forma nuestro volumen a calcular de una forma general es que tenemos la imagen a la izquierda.
Con lo anterior, una integral triple común en coordenadas esféricas tiene la forma:
Para comprender mejor la utilización de este sistema de coordenadas dejo el siguiente video:
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