Integral triple

¿Qué es la integral triple?

Las integrales triples están basadas en el mismo principio de las integrales dobles, solamente que aquí ya no se habla necesariamente de regiones R en un plano, sino que se hablan de particiones interiores de D.

Ahora lo que se hace es calcular un volumen que se encuentra delimitado por una región tridimensional, cabe mencionar que el diferencial tampoco sigue siendo dA sino que cambiar por un diferencial de volumen (dV) que, en coordenadas cartesianas, se encuentra expresado como dx dy dz.

Una forma sencilla de empezar a comprender una integral triple, es recordar un prisma rectangular. Esto porque se puede decir que el diferencial de volumen es un diferencial de área (dx dy), el cuál, se está multiplicando por un diferencial en el eje z (dz), por ejemplo, que nos terminará dando el volumen del prisma. Es como calcular el volumen de una caja, multiplicas el largo por el ancho (área) y, posteriormente, por la profundidad.

A continuación dejo un video en el que se explica el planteamiento de la integral triple:

Ahora, hablando ya de la expresión de las integrales es que llegamos a que, por ejemplo, si la región D se encuentra acotada por arriba de la gráfica de z=g₂(x,y) y acotada por debajo de z=g₁(x,y), es posible demostrar que la integral triple parcial puede expresarse como una integral doble de la integral parcial de:

Donde R es la proyección ortogonal de D sobre el plano xy. En particular, si R es una región de tipo I definida por:

entonces, como se muestra a continuación, la integral triple de f sobre D puede escribirse como la integral iterada:

Para evaluar la integral iterada anterior empezamos evaluando la integral definida parcial:

en la cual x y y se mantienen fijas, abajo se puede apreciar este planteamiento.

Hay que mencionar también que la integral triple no sólo está limitada al cálculo de volúmenes, de hecho, justamente se utiliza para determinar una propiedad de algún volumen o sólido.

Entre dichas propiedades tenemos:

• • Cálculo de masa

Si p(x,y,z) es la densidad (masa por volumen unitario), entonces la masa del sólido D está dada por:

• • Cálculo de primeros momentos

Los primeros momentos del sólido alrededor de los planos coordenados indicados por los subíndices están indicados por:

• • Cálculo de centro de masa

Las coordenadas del centro de masa de D están dadas por:

• • Cálculo de centroide

Si p(x,y,z) es constante, el centro de masa de D recibe el nombre de centroide del sólido.

• • Cálculo de segundos momentos

Los segundos momentos, o momentos de inercia, de D alrededor de los ejes de coordenadas indicados por los subíndices están dados por:

• • Radio de giro

Si I es un momento de inercia del sólido en torno a un eje dado, entonces el radio de giro es: