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¿Qué es una integral doble?
Una integral doble, como lo dice el nombre, ES una integral, por lo que los métodos de integración que son utilizados para la misma siguen siendo iguales.
Me refiero a que para llevar a cabo la integración se usan métodos como el cambio de variable, la sustitución trigonométrica, la integración por partes, etc., igual que las integrales de una sola variable.
La diferencia recae en que la integral doble sirve para calcular tanto volúmenes o áreas definidas por dos funciones que forman una región R en un plano y que este puede ser o no extruido hasta otra función que sirve como una especie de tapa.
Para poder entender mejor este concepto, se deja un video a continuación:
Además, una liga a Khan Academy con más videos sobre el tema:
Integrales dobles - Khan Academy
Integrales iteradas
Otra de las cosas que simplifican el proceso de integración con integrales dobles es la integración parcial que, como lo es la derivación parcial en escencia, hace referencia a que se integre con respecto a una de las variables que conforman la función, en otras palabras, que las otras variables que contra las que no se está integrando se tomen como constantes.
Es decir, que si tenemos una función F(x,y)es una función tal que su derivada parcial con respecto a y es una función f, esto es Fx(x,y)=f(x,y), entonces la integral parcial de f con respecto a y es:
Donde la función c1(x) desempeña la constante de integración. En el caso de la integral parcial con respecto a x nos quedaría expresada de la siguiente forma.
Regiones de Tipo I y Tipo II
Las integrales dobles presentan dos escenarios al momento de definir la región R en el plano que se va a integrar. Esto debido a circunstancias distintas, una de ellas es hacer la integral mucho más sencilla, y la otra es porque de otra forma no se podría llevar a cabo dicha integral.
El último caso se presenta cuando tienes una función que al verla desde cierto eje de referencia, la función en realidad NO sea una función, o en otras palabras, que una recta vertical la corte en dos puntos distintos. Y que viéndola desde otro eje de referencia, dicha función ya pueda ser, efectivamente, una función con la que podamos trabajar.
Una región R en la que x va de a a b, y en la que y varía desde g1(x) hasta g2(x) se puede apreciar en la imagen de la izquierda. Esta región es la denominada como tipo I.
Ahora bien, la región R en la que y se encuentra entre los valores c y d, y en la que x varía desde h1(y) y h2(y), se denomina como región tipo II (imagen a la derecha).
Aunque también cabe mencionar que hay otro tipo de región, denominada tipo III, la cual significa que se habla de una región que puede ser tanto de tipo I como de tipo II.
Y ahora bien, para integrar ya sea un tipo de región u otro, es que quedan representadas las integrales de la siguiente forma:
Para una región tipo I, la integral queda así:
La idea básica es realizar integrales sucesivas. El proceso empieza con una integración parcial definida que produce una función de x, la cual se integra después de manera de x=a a x=b. El resultado final de las dos integraciones será un número real. De manera similar se rige la integral iterada para las regiones de tipo II por medio de:
Las dos expresiones anteriormente mostradas son llamadas regiones de integración.
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