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Para poder convertir ecuaciones en sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas polares y viceversa se utilizan las mismas ecuaciones que se usaron en el tema anterior, se vuelven a encontrar a la izquierda.
Para los ejemplos de este tema vamos a encontrar la representación polar de un círculo centrado en el origen con radio de 3 unidades y otra ecuación que viene más adelante de ecuación polar a cartesiana.
Primero, en la ecuación del círculo se sustituyen la x y la y por su equivalente a ecuación polar y de ahí se resuelve hasta estar lo más simplificado posible. En el resultado se observa que r siempre va a ser igual a tres. ¿Qué nos dice esto? Que independientemente del valor theta que le des a la función, r siempre valdrá lo mismo, es decir, es una variable libre porque tampoco aparece en la ecuación.
La siguiente es poner una ecuación polar en términos de una ecuación cartesiana, el ejemplo se desarrolla a continuación:
Se toma la función y se utilizan tanto identidades trigonométricas como sustitución de ecuaciones cartesianas. De ahí, se hace un poco de álgebra para eliminar la r y después poner la función en términos de x.
Ahora ejemplificaremos algunos casos de curvas polares, ya se comentó que las curvas polares vienen siendo las gráficas de una ecuación polar, y dependiendo de la ecuación, la curva polar variará. A continuación, algunos casos de curvas polares:
Para empezar, tenemos a los caracoles los cuales están dados por las funciones:
Los caracoles toman diferentes formas de acuerdo a la razón que guarda a y b entre sí. Además de que si es seno la función, el caracol se posa sobre el eje y, y si es coseno, sobre x; el signo si es positivo, el caracol apunta en sentido positvo, y si es negativo, se invierte.
Si a/b < 1 el caracol tendrá un lazo inferior, si a/b = 1 se obtendrá un cardiode, si 1 < a/b < 2 al caracol se vuelve un caracol con hoyuelo, y si a/b >= 2 se tendrá un caracol convexo.
Otro tipo de curvas polares son las rosas, que pueden estar dadas por las siguientes funciones:
La a de la función determinará que tan largo va a ser el pétalo, si posee un cinco, el pétalo poseerá un largo de cinco también. La n va a delimitar el número de pétalos que la rosa va a tener, si n es un número par, la rosa tendrá el doble de pétalos de los que n marque. Y si es impar, la rosa tendrá ese mismo número de pétalos. La función que tenga la ecuación también influirá, si la función es seno, la rosa comenzará en la línea de radio y no en el eje x (a diferencia del coseno) y se cerrará uno a uno cada pétalo, mientras que con el coseno se empieza medio pétalo y después se cierra.
Y por último, también tenemos a la curva polar conocida como lemniscata que posee forma de infinito, dependiendo de si es seno o es coseno, se posará sobre el eje x o sobre el eje y. Y la a definirá su longitud.
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