Dominio e imagen
Es una regla de asignación que asigna a cada par ordenado de R(x,y) en un subconjunto xy y solo z en el conjunto R.
El dominio de la función es el conjunto Dom f ={(x, y)∈R^2: f(x, y)∈R}⊂R^2 y la imagen es:
Imf = {z = f(x, y) : (x, y) ∈ Dom f } ⊂ R
Ejemplo:
z = (4-x2-y2)1/2
D = {(x,y): (4-x2-y2)≥0}
Im = {z∈R: 0≤ z ≤ 2}
A continuación se deja un video que puede servir de ayuda para comprender mejor lo anterior:
Límites
Los límites de varias variables se manejan de igual forma que los de una sola variable. Si una función se encuentra definida con la excepción de (x0, y0) en un disco abierto entonces:
Lim f(x, y) = L
(x,y)→(x0,y0)
Si para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si(x,y) cumple 0<√((x-x0)^2+(y-y0)^2)<δ.
Otra definición es que cuando f es continua en un punto (x0,y0) de una región abierta (D) si:
Lim f(x, y) = f(x0, y0)
(x,y)→(x0,y0)
Diremos que f es continua en D si lo es todo punto en la región abierta.
Para una mejor comprensión del tema, dejo este video a continuación: