Integrales dobles en coordenadas polares

Coordenadas polares y su uso en las integrales dobles

Hay ocasiones, como se ha presentado en otros temas anteriores del curso, en los que es conveniente realizar un cambio de coordenadas para facilitar el proceso de integración.

Debido a que por el cambio de variables puede que la integral termine por hacerse más fácil de integrar, como cuando cambias x²+y² por una r², o como cuando terminas poniendo la integral en términos de funciones trigonométricas en lugar de sumas y divisiones que complican la integración.

Para recordar cómo se cambian las coordenadas de un sistema a otro, dejo el enlace a la sección correspondiente de este portafolio:

Coordenadas Polares y Coordenadas Cartesianas

Sin embargo, hay que tomar en cuenta algunas cosas además de sólo la conversión de las variables de la función, como lo es el diferencial de área de la integral (dA). Esto porque tendremos una función que ya no variará con respecto a una x y una y, sino que las variables cambiarán por r y theta.

El diferencial dA en coordenadas polares se ve expresado como:

Esto porque dr y d(theta) toman el lugar de ds (diferencial de arco), y al multiplicar el radio de una circunferencia por un diferencial de arco es que se consigue un diferencial de área (dA).

Las integrales también aquí pueden venir dadas de dos formas distintas, es decir, el orden en el que se integra con respecto a una de ellas y después con la otra, como lo son las regiones tipo I y II en las integrales en coordenadas cartesianas.

Tenemos el primer caso que se muestra en las imágenes siguientes:

Y el segundo en éstas:

Dependiendo del caso, se tiene que definir cual es el caso más fácil para llevar a cabo la integración.

La definición del tipo de de región R, se puede ver explicado aquí:

Y en el video de aquí se puede consultar un video bien detallado del tema en general con resolución de ejercicios: