Matematik

Matematik og matematisk metode

Matematikken er en videnskab, der beskæftiger sig med størrelser (som fx en trekant) og egenskaber (som ligesidet), der principielt kun findes i matematikkens univers i modsætning til naturvidenskabernes anvendelser af empiri, dvs. det der er erfaret gennem sanserne.

Eksempler på matematiske størrelser kan være:

1. tal (naturlige tal, hele tal, brøker, reelle tal komplekse tal ...)

2. geometriske figurer (punkter, linjer, polygoner, cirkler, ovaler ...)

3. mængder ...

4. funktioner ...

5. vektorer ...

6. sandsynligheder ...

7. ...

Definitioner

Før en størrelse eller en egenskab benyttes, skal den defineres: Det vil sige, at vi skal forklare præcist, hvad vi mener med det nye ord. Sommetider er det nemt, når nye størrelser kan defineres ved hjælp af allerede kendte størrelser og egenskaber. Men sommetider må man gribe til det almindelige sprog og læserens velvillige tolkning. Det gælder fx, når Euklid i 1. bog skal definere "et punkt": Et punkt er det, som ikke kan deles.

Sætninger

Sætninger er generelle påstande. Sætninger opdeles i aksiomer (dvs. sætninger, vi ikke beviser, men bruger som grundlag for en teori) og almindelige sætninger (dvs. sætninger, vi beviser.)

Et eksempel på den første type kan vi hente hos Euklid i 1. bog, hvor aksiomerne kaldes hhv. Forudsætninger og Almindelige Begreber i Thyra Eibes oversættelse: Størrelser, som ere ligestore med den samme, ere indbyrdes lige store.

En almindelig sætning fra et helt andet område af matematikken kunne være:

Differentialkvotienten af et produkt

Sætning: Antag, at funktionerne f og g begge er differentiable i punktet x. Så vil funktionen p= f ⋅g være differentiabel i punktet x med differentialkvotienten: p'( x)= f '(x )⋅g (x )+ f (x )⋅g '( x)

Beviset

Et bevis for en sætning benytter definitioner, aksiomer og tidligere beviste sætninger. På denne baggrund fremsættes så en række af logisk begrundede påstande, der leder frem til konklusionen: Den aktuelle sætnings påstand.

Arbejdet med matematik

Den matematiske videnskab er så denne mængde af definitioner og sætninger med tilhørende beviser. At studere matematik er så at sætte sig ind i en større eller mindre delmængde af disse definitioner, sætninger og beviser. Og måske udvide denne mængde i et lille hjørne. Videnskaben er ikke en statisk størrelse, men en konstant voksende mængde: Nye matematikere finder nye begreber og nye sætninger. Det kan skyldes et behov for at løse problemer i den virkelige verden eller det kan være en leg, en konkurrence, en gåde?

I oldtidens Ægypten har geometri været en hjælp til at genfinde ejendomsgrænser efter oversvømmelser, mens arbejdet med primtal blandt grækerne snarere har været en akademisk leg uden noget praktisk formål.

En nyttig anvendelse af matematik er konstruktion af modeller. Det kan være en simpel taxa-model, der beregner prisen for en taxatur på x km. Eller det kan være en sofistikeret GPS-model, der finder den hurtigste rute fra A til B.

For den studerende, der skal skaffe sig kendskab til denne videnskab, er det vigtigt udover at læse, forstå og huske sætninger og beviser også at løse diverse opgaver inden for emnet, fordi disse ofte vil kaste et nyt lys på sætningerne.