Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Playlist 1. Prime numbers. Factor tree. Prime factorization.
Playlist 2. Greatest Common Divisor. Calculate the GCD. Greatest common factor. Calculate the GCF.
Playlist 3: Least common multiple. Calculate the LCM.
Ενότητα Α.1.5.
Εφαρμογές: 2, 3, 4
Ασκήσεις: 1, 2, 3, 7, 9, 12α
Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου
ο 1 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 6)
ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3)
ο 3 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 2)
ο 6 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 1)
ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 6
ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 3
ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 2
ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 1
Οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούν το 6
(διαιρέτες του 6) είναι:
1, 2, 3, 6
Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού χ είναι μικρότεροι ή ίσοι του χ.
Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού χ δεν γίνεται να είναι μεγαλύτεροι αριθμοί από το χ.
Διαιρέτες του 1: 1
Διαιρέτες του 2: 1, 2
Διαιρέτες του 3: 1, 3
Διαιρέτες του 4: 1, 2, 4
Διαιρέτες του 5: 1, 5
Διαιρέτες του 6: 1, 2, 3, 6
Διαιρέτες του 7: 1, 7
Διαιρέτες του 8: 1, 2, 4, 8
Διαιρέτες του 9: 1, 3, 9
Διαιρέτες του 10: 1, 2, 5, 10
Διαιρέτες του 11: 1, 11
Διαιρέτες του 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Διαιρέτες του 13: 1, 13
Διαιρέτες του 14: 1, 2, 7, 14
Διαιρέτες του 15: 1, 3, 5, 15
Διαιρέτες του 16: 1, 2, 4, 8, 16
Διαιρέτες του 17: 1, 17
Διαιρέτες του 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Διαιρέτες του 19: 1, 19
Διαιρέτες του 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Διαιρέτες του 21: 1, 3, 7, 21
Διαιρέτες του 22: 1, 2, 11, 22
Διαιρέτες του 23: 1, 23
Διαιρέτες του 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Κοινοί διαιρετές του 8 του 12 και του 24 είναι: 1, 2, 4
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10 αν λήγει σε μηδέν.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6, 8.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.
Το 123.456 διαιρείται με το 3
γιατί αν προσθέσω τα ψηφία
1+2+3+4+5+6
το άθροισμα είναι 21
και το 21 διαιρείται με το 3.
Άρα το 123.456 διαιρείται με το 3.
Το 123.456.789 διαιρείται με το 3
γιατί αν προσθέσω τα ψηφία
1+2+3+4+5+6+7+8+9
το άθροισμα είναι 45
και αν προσθέσω τώρα
τα ψηφία του 45
4+5
το άθροισμα είναι 9
και το 9 διαιρείται με το 3.
Άρα το 123.456.789 διαιρείται με το 3.
Δύο φυσικοί αριθμοί α και β μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες.
Ο μεγαλύτερος από αυτούς ονομάζεται
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) των α και β
και συμβολίζεται ΜΚΔ(α, β).
ΜΚΔ (8, 12, 24) = 4
ΜΚΔ (4, 40) = 4
ΜΚΔ (40, 32, 24) = 8
ΜΚΔ (36, 96, 24) = 12
ΜΚΔ (3, 8) = 1
ΜΚΔ (30, 5) = 5
ΜΚΔ (18, 24) = 6
ΜΚΔ (8, 24) = 8
ΜΚΔ (3, 5) = 1
ΜΚΔ (15, 5) = 5
ΜΚΔ (2, 4, 8) = 2
ΜΚΔ (3, 2) = 1
ΜΚΔ (10, 5) = 5
ΜΚΔ (40, 12) = 4
ΜΚΔ (2, 3, 6) = 1
ΜΚΔ (6, 10) = 2
ΜΚΔ (18, 24) = 6
ΜΚΔ (10, 4) = 2
ΜΚΔ (15, 12) = 3
ΜΚΔ (4, 3) = 1
ΜΚΔ (1, 5) = 1
Ποιους δύο αριθμούς έχει διαιρέτες
κάθε φυσικός αριθμός α
που είναι μεγαλύτερος του 1;
Κάθε φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1,
έχει (τουλάχιστον) διαιρέτες τους αριθμούς 1 και α.
Για να βρω το ΜΚΔ δύο φυσικών αριθμών
ελέγχω πρώτα τον μικρότερο από τους δύο
αν είναι διαιρέτης του άλλου
και αν δεν είναι τότε ψάχνω το ΜΚΔ
σε μικρότερους αριθμούς.
Πολλαπλάσιο ενός φυσικού αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν άλλο μη μηδενικό φυσικό αριθμό.
Κάθε μη μηδενικός φυσικός αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.
Κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων αυτών των αριθμών.
Κοινά πολλαπλάσια του 4 και του 6 είναι οι αριθμοί 12, 24, 36, ...
Το 6 είναι πολλαπλάσιο του 2, διότι υπάρχει ο φυσικός αριθμός 3 έτσι ώστε:
6 = 3 · 2
Πολλαπλάσια του 3:
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
Πολλαπλάσια του 4:
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, …
Όταν τα παιδιά παίζουν κρυφτό ακούγονται αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του 5.
Δηλαδή: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ...
Πολλαπλάσια του 6:
0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
Πολλαπλάσια του 12:
0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, ...
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών είναι το μικρότερο (ελάχιστο) από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών.
ΕΚΠ (3, 9) = 9
ΕΚΠ (2, 3, 12) = 12
ΕΚΠ (4, 6, 12, 20) = 60
ΕΚΠ (4, 40) = 40
ΕΚΠ (1, 5) = 5
ΕΚΠ (2, 3) = 6
ΕΚΠ (3, 3) = 3
ΕΚΠ (4, 3) = 12
ΕΚΠ (5, 3) = 15
ΕΚΠ (12, 6) = 12
ΕΚΠ (15, 5) = 15
ΕΚΠ (18, 6) = 18
ΕΚΠ (12, 9) = 36
ΕΚΠ (8, 20) = 40
ΕΚΠ (3, 10) = 30
ΕΚΠ (8, 24) = 24
ΕΚΠ (3, 4, 4) = 12
ΕΚΠ (2, 4, 8) = 8
ΕΚΠ (3, 6, 27) = 54
ΕΚΠ (5, 10, 25) = 50
ΕΚΠ (3, 4, 2) = 12
ΕΚΠ (3, 5, 2) = 30
ΕΚΠ (8, 60) = 120
ΕΚΠ (5, 4, 6) = 60
Για να βρω το ΕΚΠ δύο φυσικών αριθμών
ελέγχω πρώτα τον μεγαλύτερο από τους δύο
αν είναι πολλαπλάσιο του άλλου
και αν δεν είναι τότε ψάχνω το ΕΚΠ
σε μεγαλύτερους αριθμούς.
Ποιο είναι το ΕΚΠ των παρονομαστών των κλασμάτων
τρία πέμπτα και έξι όγδοα;
ΕΚΠ(5, 8) = 40
Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος;
Ένας φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός.
Πότε ένας φυσικός αριθμός α λέγεται πρώτος;
Ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1 λέγεται πρώτος όταν έχει μόνο δύο διαιρέτες. Το 1 και το α.
Πρώτοι αριθμοί: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97, ...
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος άρτιος πρώτος αριθμός;
2
Ποιος είναι ο μικρότερος άρτιος πρώτος αριθμός;
2
Ποιος είναι ο μικρότερος περιττός πρώτος αριθμός;
3
Ποιοι είναι οι 6 μικρότεροι περιττοί πρώτοι αριθμοί;
3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17.
Ποιοι είναι οι 3 μεγαλύτεροι μονοψήφιοι πρώτοι αριθμοί;
3, 5, 7.
Ποιοι διαιρέτες του 1 είναι πρώτοι αριθμοί; Δεν υπάρχουν.
Ποιοι διαιρέτες του 2 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2.
Ποιοι διαιρέτες του 3 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 3.
Ποιοι διαιρέτες του 4 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2.
Ποιοι διαιρέτες του 5 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 5.
Ποιοι διαιρέτες του 6 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 3.
Ποιοι διαιρέτες του 7 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 7.
Ποιοι διαιρέτες του 8 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2.
Ποιοι διαιρέτες του 9 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 3.
Ποιοι διαιρέτες του 10 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 5.
Ποιοι διαιρέτες του 11 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 11.
Ποιοι διαιρέτες του 12 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 3.
Ποιοι διαιρέτες του 13 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 13.
Ποιοι διαιρέτες του 14 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 7.
Ποιοι διαιρέτες του 15 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 3 και το 5.
Ποιοι διαιρέτες του 16 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2.
Ποιοι διαιρέτες του 17 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 17.
Ποιοι διαιρέτες του 18 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 3.
Ποιοι διαιρέτες του 19 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 19.
Ποιοι διαιρέτες του 20 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 5.
Ποιοι διαιρέτες του 21 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 3 και το 7.
Ποιοι διαιρέτες του 22 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 11.
Ποιοι διαιρέτες του 23 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 23.
Ποιοι διαιρέτες του 24 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 3.
Πότε δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους ;
Δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν ισχύει ΜΚΔ(α,β) = 1 .
Το μηδέν και το ένα δεν είναι πρώτοι αριθμοί.
Το μηδέν και το ένα δεν είναι σύνθετοι αριθμοί.
Το μηδέν σε κάποιες χώρες δεν θεωρείται φυσικός αριθμός.
Πότε ένας φυσικός αριθμός α λέγεται σύνθετος;
Ένας φυσικός αριθμός
μεγαλύτερος του 1
λέγεται σύνθετος
όταν έχει
έναν τουλάχιστον διαιρέτη
επιπλέον από το 1 και το α .
Ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1 λέγεται σύνθετος όταν έχει παραπάνω από δύο διαιρέτες.
Ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1 λέγεται σύνθετος όταν έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες.
Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:
2=21
3=31
4=22
5=51
6=21·31
7=71
8=23
9=32
10=21·51
11=111
12=22·31
13=131
14=21·71
15=31·51
16=24
17=171
18=21·32
19=191
20=22·51
21=31·71
22=21·111
23=231
24=23·31
25=52
26=21·131
27=33
28=22·71
29=291
30=21·31·51
Πώς βρίσκουμε το ΜΚΔ δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών;
Αρχικά τους αναλύουμε σε γινόμενα πρώτων παραγόντων.
Κατόπιν ο ΜΚΔ είναι ίσος με το γινόμενο
από τους κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη.
Πώς βρίσκουμε το ΕΚΠ δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών;
Αρχικά τους αναλύουμε σε γινόμενα πρώτων παραγόντων.
Κατόπιν το ΕΚΠ είναι ίσο με το γινόμενο
από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες
με το μεγαλύτερο εκθέτη.
24=23·31
16=24
ΕΚΠ(16, 24)=
ΕΚΠ(24, 23·31)=
24·31=
16·3=
48
ΜΚΔ(16, 24)=
ΜΚΔ(24, 23·31)=
23=
8
24=23·31
25=52
ΕΚΠ(24, 25)=
ΕΚΠ(23·31, 52)=
23·31·52=
8·3·25=
24·25=
600
ΜΚΔ(24, 25)=
ΜΚΔ(23·31, 52)=
20·30·50=
1·1·1=
1
ΕΚΠ(23·31, 24·52)=
24·31·52
ΜΚΔ(23·31, 24·52)=
23·30·50
ΕΚΠ πολλαπλής επιλογής (mathgames)
ΕΚΠ multiple MKΔ factors Train πολλαπλής επιλογής
Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων . Δέντρα.
Για να βρω το ΕΚΠ δύο φυσικών αριθμών
ελέγχω πρώτα τον μεγαλύτερο από τους δύο
αν είναι πολλαπλάσιο του άλλου
και αν δεν είναι
τότε ψάχνω το ΕΚΠ σε μεγαλύτερους αριθμούς.
Για να βρω το ΜΚΔ δύο φυσικών αριθμών
ελέγχω πρώτα τον μικρότερο από τους δύο
αν είναι διαιρέτης του άλλου
και αν δεν είναι
τότε ψάχνω το ΜΚΔ
σε μικρότερους αριθμούς.
Το ΕΚΠ δύο μη μηδενικών
φυσικών αριθμών α, β
είναι μεγαλύτερο
από τον ΜΚΔ τους.
Το ΕΚΠ δύο μη μηδενικών
φυσικών αριθμών α, β
δε γίνεται να είναι μεγαλύτερο
από το γινόμενό τους.
1ο παράδειγμα
το ΕΚΠ(3, 5)
δεν είναι πάνω από το 3·5
άρα δεν είναι μεγαλύτερο από το 15
2ο παράδειγμα
το ΕΚΠ(3, 6)
δεν είναι πάνω από το 3·6
άρα δεν είναι μεγαλύτερο από το 18
Το ΕΚΠ δύο μη μηδενικών
φυσικών αριθμών α, β
είναι ίσο με το γινόμενό τους
όταν οι αριθμοί α και β
είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Αν
ΜΚΔ (α, β) = 1
τότε
ΕΚΠ (α, β) = α·β
Πρώτος αριθμός: Prime. Prime Numbers Song for Kids | Prime Numbers up to 97
Πρώτος αριθμός: Prime. I'm Prime - Rock 2 the Core - K-5 Math
Πρώτοι αριθμοί ως το 100. Prime Numbers Rap Song
Τα πρώτα πολλαπλάσια του 5 σε αύξουσα και φθίνουσα σειρά.
Καθήκοντα
1η ώρα
Καθήκοντα
2η ώρα
Καθήκοντα
3η ώρα