3.3α Εξισώσεις 2ου Βαθμού

 5-Εργασία

Να μελετήσετε στην παρακάτω ανάρτηση τα τρία θεωρήματα που παρουσιάζονται καθώς και τα παραδείγματα και να κατασκευάσετε τρεις δικές σας ασκήσεις όπου η καθεμιά να αξιοποιεί ένα διαφορετικό θεώρημα από τα παρακάτω και να τις λύσετε.

Σημείωση: το σύμβολο ^ σημαίνει ύψηση σε δύναμη, π.χ. 2^3=8

Ανάρτηση του Δημήτρη Ιωάννου στο Μαθηματικό Εργαστήρι

Πώς μπορούμε να  διδάξουμε σε μαθητές της Α΄ Γυμνασίου το πώς βρίσκουμε το τελευταίο ψηφίο μιας δύναμης.

Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι:

Θεώρημα 1: Αν ένας ακέραιος αριθμός α λήγει σε 0 ή 1 ή 5 ή 6 , τότε οποιαδήποτε δύναμη με βάση αυτόν τον αριθμό θα λήγει επίσης σε 0 ή 1 ή 5 ή 6 αντιστοίχως.

Π.χ. Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού 326^253+21^76.

Λύση

Ο 326 λήγει σε 6. Άρα και ο 326^253 θα λήγει επίσης σε 6

Ο 21 λήγει σε 1. Άρα και ο 21^76 θα λήγει επίσης σε 1. 

Οπότε το άθροισμα 326^253 + 21^76 θα λήγει σε 7.

Θεώρημα 2: Αν ένας ακέραιος αριθμός α λήγει σε 4 ή 9, τότε το τετράγωνό του θα λήγει σε 6 ή 1 αντίστοιχα. Οπότε εύκολα μπορούμε να βρούμε το τελευταίο ψηφίο μια δύναμης με βάση το α.

Π.χ. Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 14^452.

Λύση

Είναι 14^452 = (14^2)^226. 

Ο αριθμός 14^2 λήγει σε 6, άρα και οποιαδήποτε δύναμη με βάση αυτόν το αριθμό θα λήγει επίσης σε 6.

Άρα ο δοσμένος αριθμός λήγει σε 6.

ΚΑΙ ΑΛΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 29^153.

Λύση

Έχουμε: 29^153 = 29.(29^152)= 29.[(29)^2]^76. 

Ο 29^2 λήξει σε 1 άρα και οποιαδήποτε δύναμη με βάση αυτόν τον αριθμό θα λήγει σε 1. 

Και επειδή ο 29 λήγει σε 9, άρα το γινόμενο 29.[(29^2)^76] θα λήγει σε 1 . 9 =9

Θεώρημα 3: Αν ένας αριθμός α λήγει σε 2 ή 3 ή 7 ή 8, τότε η τέταρτη δύναμη αυτού θα λήγει σε 6 ή 1 ή 1 ή 6 αντίστοιχα. Οπότε μπορούμε να βρούμε το τελευταίο ψηφίο της δύναμης με βάση το α, αν κάνουμε την Ευκλείδεια διαίρεση του εκθέτη με το 4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 3^1821

Λύση

Η Ευκλείδεια διαίρεση που προκύπτει από την διαίρεση του 1821 με το 4, είναι: 1821=4 . 455 + 1 . Άρα έχουμε:

3^1821 = 3^(4 . 455 + 1) = 3^(4 . 455) . 3^1 =(3^4)^455 . 3.

Όμως ο 3^4 λήγει σε 1 άρα οποιαδήποτε δύναμη με βάση αυτόν τον αριθμό θα λήγει επίσης σε 1

Άρα ο αριθμός (3^4)^455 λήγει σε 1 

Και επειδή ο άλλος παράγοντας του γινομένου είναι ο 3, τότε ο δοσμένος αριθμός θα λήγει σε 1 . 3 δηλαδή σε 3