1BACH-CC
TEMA 9. FUNCIONES ELEMENTALES
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TEMA 9. FUNCIONES ELEMENTALES
Introducción. Las funciones y su estudio
Dominio de definición. Propiedades principales.
Familias de funciones elementales
3.1 Funciones lineales
3.2 Funciones cuadráticas
3.3 Funciones polinómicas
3.4 Funciones irracionales
3.5 Funciones de proporcionalidad inversa. Funciones racionales.
3.6 Funciones exponenciales
3.7 Funciones logarítmicas
3.8 Funciones circulares: seno, coseno y tangente
Funciones definidas a trozos
4.1 Funciones con varios trozos definidos de manera explícita
4.2 Funciones parte entera
4.3 Funciones parte decimal o función mantisa
4.4 Funciones valor absoluto
Transformaciones elementales de las funciones
5.1 Traslaciones
5.2 Simetrías
5.3 Estiramientos o simetrías
Composición de funciones
Función inversa o recíproca de otra
Funciones arco
8.1 Función arco seno
8.2 Función arco coseno
8.3 Función arco tangente
y +
Definición de función:
f. Mat. Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo. (Según la RAE)
Definición de función (video explicativo canal YT Pildoras Matemáticas)
Asíntotas verticales (solo atender a la definición, el cálculo se verá más adelante, aunque podéis echarle un vistazo)
Asíntotas horizontales (solo atender a la definición, el cálculo se verá más adelante, aunque podéis echarle un vistazo)
Asíntotas oblicuas (solo atender a la definición, el cálculo se verá más adelante, aunque podéis echarle un vistazo)
Curvatura (solo atender a la definición (hasta el min 3'30''), el cálculo se verá más adelante, aunque podéis echarle un vistazo)
Ejemplo estudio de función con la gráfica 01
Ejemplo estudio de función con la gráfica 02
Ejemplo estudio de dominios de funciones mediante sus fórmulas
3.1 Funciones lineales
Las funciones lineales tienen las siguientes características:
Su expresión algebraica es un polinomio de primer grado, siendo su forma f(x)=mx+n
m=pendiente=(lo que sube o baja)/avance
n=ordenada en el origen (punto de corte de la función con el eje Y)
Su gráfica es una línea recta
Por definición su dominio es todo R
Es extrictamente monótona
Si m>0 es creciente
Si m<0 es decreciente
Si m=0 constante (cte)
No tiene curvatura (curvatura igual a cero)
No tiene extremos ni PI
3.2 Funciones cuadráticas
Las funciones cuadrátcas tienen las siguientes características:
Su expresión algebraica es un polinomio de segundo grado, siendo su forma f(x)=ax²+bx+c
Su gráfica es una parábola
a>0 Convexa ("alegre") ⋃
a<0 Concava ("triste") ⋂
Para determinar la parábola gráficamente hay de calcular como mínimo los siguiente puntos:
Vértice (-b/2a , f(-b/2a))
Puntos de corte con los ejes:
Con OX ⭢ f(x)=0 y resolver la ecuación (1 sol, 2 sol, s.s.)
Con OY ⭢ (0,c)
Por definición su dominio es todo R
Su monotonía cambia en V
Su curvatura es siempre la misma (o es concava o convexa)
El extremo es V que puede ser Max o Min
3.3 Funciones polinómicas
Las funciones polinóexmicas tienen las siguientes características:
Su expresión algebraica es un polinomio de grado n
Su gráfica es una curva
Para determinarla gráficamente hay de calcular como mínimo los siguiente puntos:
Puntos singulares (extremos y PI mediante derivación)
Puntos de corte con los ejes:
Con OX ⭢ f(x)=0 y resolver la ecuación (1 sol, 2 sol, ..., s.s.)
Con OY ⭢ es el termino independiente del polinomio.
Por definición su dominio es todo R
Su monotonía va cambiando (se determina mediante derivación)
Su curvatura se determina mediante derivación
Ejemplo SusiProfe (solo atender a la definición, el cálculo se verá más adelante, aunque podéis echarle un vistazo)
3.4 Funciones irracionales (o radicales)
Su expresión algebraica es cualquier raíz de orden n
n impar: domf(x)= ℝ
n par: domf(x)= ℝ - {valores o intervalos que hagan negativo el radicando}
3.5 Funciones de proporcionalidad inversa. Funciones racionales.
Las funciones de proporconalidad inversa y racionales tienen las siguientes características:
Su expresión algebraica es una fracción algebraica
Su gráfica es una curva y su principal característica es que suelen presentar asíntotas (rectas a las que tiende la función cuando o bien nos aproximamos al un valor que no pertenece al dominio "Asíntotas Verticales" , tomamos valores en el ∓∞ "asíntotas horizontales" o si el grado del numerador menos el grado del denominador es igual a 1, la función racional presentará "Asíntotas oblicuas")
Para determinarla gráficamente hay de calcular como mínimo los siguiente:
Calcular las Asíntotas
Puntos singulares (extremos y PI mediante derivación)
Puntos de corte con los ejes (en el caso de que existan):
Con OX ⭢ f(x)=0 y resolver la ecuación
Con OY ⭢ se hace la "x" cero y se calcula la "y".
Domf(x)= ℝ - {valores o intervalos que hagan cero el denominador}
Su monotonía va cambiando (se determina mediante derivación)
Su curvatura se determina mediante derivación
Ejemplo SusiProfe (solo atender a la definición, el cálculo se verá más adelante, aunque podéis echarle un vistazo)
3.6 Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales tienen las siguientes características:
Su expresión algebraica es f(x)=ɑˣ , para todo ɑ > 0 , ɑ ≠ 1
Su gráfica es una curva de crecimiento o decrecimiento muy rápido
Para determinarla gráficamente hay de calcular como mínimo los siguiente puntos:
No tiene extremos
Puntos de corte con los ejes:
Con OX ⭢ f(x)=0 es una asíntota horizontal
Con OY ⭢ (0,1)
(1,a)
Por definición su dominio es todo ℝ
Es una función continua
Es estrictamente monótona:
Creciente si ɑ > 1
Decreciente si 0<ɑ < 1
Su curvatura no cambia
Ejemplo (solo atender a la definición, el cálculo se verá más adelante, aunque podéis echarle un vistazo)
3.7 Funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas tienen las siguientes características:
Su expresión algebraica es f(x)=logₐ x , siendo a>1
Por definición su dominio son todos los valores que hace el argumento del logaritmo >0
Es una función continua en todo su dominio
Es estrictamente monótona:
Creciente si a > 1
Decreciente si 0<ɑ < 1
Su gráfica es una curva de crecimiento o decrecimiento lento
Para determinarla gráficamente hay de calcular como mínimo los siguiente puntos:
No tiene extremos
Puntos de corte con los ejes:
Con OX ⭢ f(x)=0 ⭢ (1,0)
Con OY ⭢ x=0 es una asíntota vertical
(a,1)
Su curvatura no cambia
Ejemplo (solo atender a la definición, el cálculo se verá más adelante, aunque podéis echarle un vistazo)
3.8 Funciones circulares: seno, coseno y tangente
3.8.1 Función f(x)= sen (x)
Domf(x)= ℝ
Imf(x)= [-1,1]
Pasa por (0,0)
Se suele representar en radianes el eje de abcisas
Presenta simetría impar ⭢ f(x)=-f(-x)
Periódica de T=2ᴨ
3.8.2 Función f(x)= cos (x)
Domf(x)= ℝ
Imf(x)= [-1,1]
Pasa por (0,1)
Se suele representar en radianes el eje de abcisas
Presenta simetría par ⭢ f(x)=f(-x)
Periódica de T=2ᴨ
3.8.3 Función f(x)= tg (x)
Domf(x)= ℝ - { x= ᴨ/2 + kᴨ , k ε ℤ} (son todos los valores menos los que hacen 0 el coseno)
Imf(x)= [-1,1]
Pasa por (0,0)
Se suele representar en radianes el eje de abcisas
Presenta simetría impar ⭢ f(x)=-f(-x)
Periódica de T=ᴨ
Presenta Asíntotas verticales en x= ᴨ/2 + kᴨ , k ε ℤ (puntos donde el coseno vale 0)
Es estrictamente creciente.
Cuando estamos ante una función definida a trozos, hay que estudiar cada tramo por separado y en su respectivo dominio, prestando atención al punto de unión de las ramas o trozos.
Además de estas funciones definidas explicitamente a trozos, también podemos encontrarnos con funciones que se "transforman" en funciones a trozos debido a sus características. Aquí veremos la función parte entera y la función parte decimal o mantisa.
A continuación veremos algunos ejemplos a través de unos vídeos:
4.1 Función parte entera. f(x)=Ent(x)
4.2 Función parte decimal o mantisa. f(x)=Dec(x)
4.3 Función Valor Absoluto. f(x)= ⃒x ⃒
Ejemplo valor absoluto función cuadrática
Ejemplos funciones lineales y cuadráticas con valor absoluto
Vídeo-ejemplos con Geogebra:
En este ejemplo hecho directamente en geogebra podeís manipular la función y aplicarles todas las transformaciones que deseéis.
La composición de funciones es una operación matemática que consiste en combinar dos o más funciones para obtener una nueva función. También se usa en ciencias de la computación para construir funciones más complejas.
Veamos como funciona:
En matemáticas, la función inversa o recíproca es una función que "deshace" otra función.
Función inversa
La función inversa de f se denota como f - 1
La función inversa es la reflexión de la función original en la recta y = x.
Para que una función tenga una función inversa, es necesario que la función sea uno-a-uno, es decir, que cada valor de "y" ha de corresponder un único valor de "x" (la función ha de ser inyectiva o biyectiva según la definición de función que consideremos)
Para calcular la función inversa de f(x), se hace f(x)=y, se intercambian x e y, y se despeja y en función de x.
La función reciproca o inversa de f es otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Las funciones arco son las funciones inversas de las funciones trigonométricas, es decir, las funciones que permiten calcular el ángulo conociendo la razón trigonométrica. También se les conoce como funciones antitrigonométricas o ciclométricas.
Las funciones arco son fundamentales en trigonometría y permiten resolver una amplia gama de problemas matemáticos y prácticos. Son esenciales para simplificar expresiones complejas y resolver ecuaciones trigonométricas.
Os dejo varios vídeos para su comprensión.
Os dejo material realizado en geogebra donde podréis manipular los conceptos vistos en esta unidad, teniendo una versión mucho más visual de los contenidos.
Lección:
Recursos curiosos: