Para empezar aquí tienes una definición más formal de límite que la vista en clase.

Video definición formal de límites

Definición formal de límite.pdf

Aquí os dejo un enlace de un video donde podéis repasar el concepto de límite. Os dejo la DEFINICIÓN FORMAL para los que tengáis interés  y la DEFINICIÓN INTUITIVA con ejemplos prácticos para los que queráis reforzar vuestro aprendizaje, además también os facilito el enlace de la playlist sobre límites del canal YT Píldoras Matemáticas donde tenéis muchos más ejemplos.

LÍMITES POR DEFINICIÓN 

LÍMITES. IDEA GRÁFICA DEL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO 

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO 

TIPOS DE LÍMITES

PLAYLIST DE LÍMITES (CANAL PÍLDORAS MATEMÁTICAS) 

Operaciones con límites finitos I

Operaciones con límites finitos II

Operaciones con límites infinitos

Una indeterminación matemática es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de los límites y cuyo resultado no se puede predecir. 

Cuando aparece una indeterminación en un límite, el límite depende de la propia función. Esto conlleva que, aunque aparezca la misma indeterminación, el límite puede ser distinto para funciones distintas.

Tipos de indeterminaciones

Página dedicada a las indeterminaciones

Comparación de diferentes órdenes de infinitos

Cociente de polinomios

Este tipo de límites se resuelve de manera sencilla si consideramos solo los términos de mayor grado de los polinomios que forman el cociente. Se nos presentarán los siguientes casos: 

• Los términos de mayor grado de los polinimios tienen el mismo grado, entonces el límite es el cociente de los coeficientes de esos términos del mismo grado.

• El término de mayor grado del numerador es superior al del términio de mayor grado del denominador, entonces el límite es ∓∞

• El término de mayor grado del numerador es inferior al del términio de mayor grado del denominador, entonces el límite es 0

Con cociente de radicales

Idem al caso anterior

Diferencia de expresiones infinitas

Ejemplos

Estos cálculos se basan en sustituir el límite pedido por otro cuando  x→+∞, y cambiando las x por -x. Finalmente, se aplican los métodos conocidos de cálculo de límites.

Ejemplos

Límite en un punto

Recordando lo visto ya hasta ahora, para calcular el límite L de la función en un punto c, hacíamos los límites laterales cuando x→c+ y cuando x→c-

Ejemplos 

Continuidad

Una función f(x) se dice continua en un punto “a” si se cumplen tres condiciones:

• 1. El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” existe, es decir, los límites laterales en el punto “a” coinciden.

• 2. El valor de f(a) está definido. 

• 3. El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” es igual a f(a).

Ejemplos

Discontinuidades (no continuidad)

• Función 

  • • Continua

    • Discontinua

      • • • Evitable: Existe el límite en c pero no coincide con f(c) o f(c) no está definida. No se cumplen las propiedades 2 o 3

          • Inevitable o esencial: No existe el límite de f(x) cuando  x→c . No se cumple como mínimo la propiedad 1, (si solo no se cumple la propiedad 1 la discontinuidad se denomina de 1ª especie, si además de no cumplirse la propiedad 1, tampoco se cumple la propiedad 2, entonces se denomina discontinuidad de segunda especie). Pueden ser:

            • • • Salto finito: Cuando los límites laterales no coinciden pero son finitos (tienen un valor numérico)

                • Salto infinito: Cuando uno de los límites laterales o los dos son infinitos o bien carece de límites laterales

Discontinuidad evitable de una función definida “a trozos” 

Discontinuidad inevitable de salto finito en una función “a trozos”  

Discontinuidad inevitable de salto infinito en una función racional 

Para calcular el límite de una función cuando x→c, 

• simplemente o sustituimos directamente y calculamos f(c) cuando la función f no tenga ninguna singularidad en ese punto c, es decir que c pertenezca al dominio, o 

• calcularemos los límites laterales si c es un punto que no pertenezca al dominio de f o sea un punto donde por ejemplo se cambie de trozo de definición en una función dada a trozos o con algún valor absoluto.

• Se calculará por algún método especifico, en el caso que tengamos alguna de las 7 indeterminaciones.

Aquí veremos algunos ejemplos de como proceder con  las indeterminaciónes de 0/0 , ∞/∞ y ∞∓∞

Límites en un punto - Cociente de polinomios 

Límites en un punto - Cociente de expresiones radicales 01 

Límites en un punto - Cociente de expresiones radicales 02 

Límites en un punto - Indeterminaciones infinito menos infinito - Diferencias infinitas 

Para saber más de la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital 

Ejemplos de límites calculados utilizando la regla de L'Hôpital

Límites - Indeterminaciones 0/0 - Regla de l'Hopital 01 

Límites - Indeterminaciones 0/0 - Regla de l'Hopital 02 

Límites - Indeterminaciones infinito menos infinito e infinito por cero - Regla de l'Hopital 03 

y aunque no entra dentro de la materia de este curso, os dejo también otro tipo de indeterminación calculada por la regla de L'Hôpital

Límites - Indeterminaciones infinito elevado a 0 y 1 elevado a infinito - Regla de l'Hopital 04 

Curiosidad

Cuando L'HOPITAL FALLA, Límites de funciones aplicando la regla de l'Hopital