Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno que puede tener una o dos incognitas.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Si queremos obtener ecuaciones equivalentes a otra, se pueden realizar ciertas operaciones a la ecuación original. Las operaciones permitidas (evidentemente a los dos miembros de la ecuación) son :

• Sumar/restar un mismo número a la ecuación. 

• Multiplicar/dividir  por cualquier número distinto de cero.

• Sumar o restar otra igualdad a la ecuación original

• Sumar o restar una combinación de otras ecuaciones a la ecuación original

Varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solución o soluciones comunes a todas ellas forman un sistema de ecuaciones.

Sistemas Equivalentes: dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se llaman transformaciones válidas a las que mantienen las soluciones del sistema.

SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incognitas representan un conjunto de rectas. Lo visto en cursos anteriores de la educación secundaria han sido los sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incognitas, cuya solución es el punto de intersección de ambas rectas (solución única, (x=a, y=b) sistema compatible determinado, las rectas se cortan), o soluciones infinitas (infinitas soluciones, (0=0), sistema compatible indeterminado, las rectas son coincidentes, o sin solución ((0=a), sistema incompatible, las rectas son paralelas). La resolución de estos sistemas se hace por los métodos ya vistos en cursos anteriores de sustitución, igualación, reducción o gráfico.

Aqui veremos algunos ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones.

• Sistemas de 2 ecuaciones lineales de primer grado (métodos de sustitución, igualación, reducción y gráfico vistos desde 2 ESO)

Método gráfico utilizando la pendiente y ordenada en el origen de la recta

Método de sustitución

Método de igualación

Método de reducción

SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

Un sistema de ecuaciones lineales con tres incognitas representan un conjunto de planos. La resolución de estos sistemas es el contenido a desarrollar en este tema. Resolver estos sistemas es encontrar el punto o puntos (rectas) que tienen en común todos estos planos. Estos sistemas los podemos clasificar en:

Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en un punto. La solución es única.

Sistema compatible indeternimado. Una de las ecuaciones no aporta información al sistema por lo que tenemos en realidad un sistema de dos ecuaciones con tres incognitas. Todos los puntos de la recta donde se cortan los planos son solución del sistema.

Sistema incompatible. El sistema no tiene solución. Los planos o son paralelos, o se cortan dos a dos.

Para la resolución de estos sistemas se utilizará el método de Gauss o también el método de Kramer.

Los sistemas escalonados son aquellos en los que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

Resolución de sistemas escalonados de 3 ecuaciones con tres incognitas

El método de Gauss, también conocido eliminación gaussiana, es un procedimiento algorítmico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Basado en la manipulación de ecuaciones, su objetivo principal es transformar el sistema a una forma escalonada o triangular, simplificando la resolución de incógnitas

Conceptos clave del método de Gauss:

• Sistemas de ecuaciones lineales: Consisten en dos o más ecuaciones lineales a resolverse simultáneamente, representando líneas o planos en el espacio. La solución es la intersección de estas líneas o planos.

• Forma escalonada: Transforma el sistema a una forma escalonada, donde cada ecuación subsiguiente tiene una incógnita menos, simplificando el proceso. Se caracteriza por coeficientes de cero debajo de la diagonal principal de la matriz asociada al sistema.

• Operaciones elementales: Utiliza operaciones elementales en las filas de la matriz asociada, como intercambiar filas, multiplicar por un escalar y sumar o restar múltiplos de filas, para lograr la forma escalonada.

Cómo aplicar el método de Gauss

La aplicación del método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales implica una serie de pasos sistemáticos. Estos pasos transforman el sistema en una forma más manejable, facilitando la identificación de las soluciones.

1. Formulación del Sistema en Forma Matricial. El primer paso es expresar el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial. Esto implica representar las ecuaciones como una matriz ampliada, donde cada fila corresponde a una ecuación y cada columna a una incógnita, incluyendo una columna adicional para los términos independientes.

2. Aplicación de Operaciones Elementales. El objetivo es transformar la matriz en una forma escalonada. Para ello, se realizan operaciones elementales en las filas, que incluyen:

   • Intercambiar dos filas.

   • Multiplicar una fila por un escalar no nulo.

   • Sumar o restar a una fila el múltiplo de otra fila.

3. Escalonamiento del Sistema. Se procede a escalonar el sistema, es decir, a reorganizar la matriz para que, en la medida de lo posible, los elementos debajo de la diagonal principal sean ceros. Se comienza trabajando desde la primera fila hacia abajo, eliminando los coeficientes de la primera incógnita en las filas subsiguientes. Este proceso se repite para cada incógnita, avanzando en cada paso a la siguiente columna.

4. Obtención de la Forma Escalonada. Al final de este proceso, la matriz debe estar en forma escalonada. En esta forma, cada fila tiene un coeficiente líder (el primer coeficiente no nulo de izquierda a derecha) que está más a la derecha que el de la fila anterior. Las filas con todos los elementos cero, si las hay, se colocan al final.

5. Solución del Sistema (Sustitución hacia Atrás). Una vez que la matriz está en forma escalonada, se procede a resolver las ecuaciones comenzando por la última fila y avanzando hacia arriba (sustitución hacia atrás). Se despeja la incógnita correspondiente en cada fila y se sustituye su valor en las filas anteriores, progresivamente, hasta encontrar todas las soluciones.

Resolución sistemas de 3 ecuaciones con 3 incognitas.

• • • Sistema de tres ecuaciones lineales con 3 incógnitas 

    • Método de Gauss 

    • MÉTODO DE GAUSS DE FORMA MATRICIAL

    • Vídeo tutorial

    • Ejercicios método de Gauss 

Aunque este apartado no forma parte de los contenidos de la PEvAU, además también lo veremos cuando veamos los determinantes y podamos utilizar el teorema de Rouché-Frobenius,  os dejo información para que ampliéis conocimientos.

Discutir un sisitema de ecuaciones dependiente de uno o más parámetros es identificar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible o incompatible, distinguiendo también los casos en que es determinado o indeterminado.

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Vídeo Unicoos