A continuación pretenderemos obtener las razones trigonométricas de ángulos usuales que suelen aparecer en ejercicios. Estudiaremos las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

• 𝛼 + 𝛽

  • • sen (𝛼 + 𝛽) = sen𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 sen𝛽

    • cos (𝛼 + 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 - sen𝛼 sen𝛽

    • tg (𝛼 + 𝛽) = (tg𝛼 + tg𝛽)/(1-tg𝛼tg𝛽)

• 𝛼 - 𝛽 : Para obtener estas razones trigonométricas basta invertir los signo + y - de las igualdades anteriores.

  • • sen (𝛼 - 𝛽) = sen𝛼 cos𝛽 - cos𝛼 sen𝛽

    • cos (𝛼 - 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 + sen𝛼 sen𝛽

    • tg (𝛼 - 𝛽) = (tg𝛼 - tg𝛽)/(1+tg𝛼tg𝛽)

• 2𝛼 : Parar obtener estas razones trigonométricas basta por sustituir 𝛽 =𝛼 

  • • sen (2𝛼) = sen𝛼 cos𝛼 + cos𝛼 sen𝛼 = 2sen𝛼 cos𝛼 

    • cos (2𝛼) = cos𝛼 cos𝛼 - sen𝛼 sen𝛼 = cos2𝛼 - sen2𝛼

    • tg(2𝛼)= (tg𝛼 + tg𝛼)/(1-tg𝛼tg𝛼) = (2tg𝛼)/(1-tg2𝛼)

• 𝛼/2: Se obtienen haciendo que 𝛼 =2 (𝛼/2) y aplicando a la fórmula del coseno del ángulo doble y a la relación fundamental de la trigonometría. (ver sitio web)

Videos:

Fórmulas trigonométricas para el ángulo suma, ángulo doble, ángulo diferencia y ángulo mitad (truco memorístico)

A veces conviene expresar una suma o una diferencia de razones trigonométricas en forma de producto, para ello utilizaremos las siguientes fórmulas: 

Web con las razones trigonométricas de todo lo expuesto en este apartado 

El radián: unidad de medida de ángulos.

Hasta ahora hemos utilizado como unidad de medida de ángulos el grado. Ha resultado útil, y lo seguirá siendo, para los problemas de trigonometría, astronomía, navegación y para la resolución de triángulos, en general. Pero para definir las funciones trigonométricas funciona mucho mejor otra medida, el radián, que veremos a continuación.

Se llama radián a un ángulo tal que el arco que abarca tiene la misma longitud que el radio con el que se ha trazado.

Es decir,  α  es un radián porque la longitud del arco  AB  es igual a la del radio.

Paso de grados a radianes y viceversa

La longitud de la circunferencia es  2πr.  Por tanto, el número de radianes de un ángulo completo es 2π. Sabemos que el número de grados de un ángulo completo es 360°. Por tanto:  

360° = 2π radianes

Esta igualdad nos permite pasar de grados a radianes y de radianes a grados.

El valor de un radián es ≈ 57° 17’ 45

Paso de grados sexagesimales a radianes

Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que aparecen funciones trigonométricas actuando sobre un ángulo incógnita que, como en todas las ecuaciones, hay que despejar.

Las soluciones que se obtengan deben ser comprobadas sobre la ecuación inicial, pues es frecuente que aparezcan «soluciones extrañas».

Se suele llamar «solución extraña» a un valor de la variable que se obtiene en el proceso de resolución de una ecuación pero que, realmente, no cumple la ecuación. Obviamente, no es una solución.

Suele ser suficiente dar las soluciones comprendidas entre 0° y 360°.

01 Ejemplos sencillos

02 Ejemplos

03 Ejemplos

04 Ejemplos

05 Ejemplos

06 Ejemplos

A continuación:

01 Funciones trigonométricas

02 Funciones trigonométricas

03 Funciones trigonométricas