Recordemos el concepto de TVM (tasa de variación media) como introducción a las derivadas.

• TASA DE VARIACIÓN MEDIA

La TVM entre dos puntos A y B de una función, mide la variación media de la función en ese intervalo.

TVM

• DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

La derivada de una función en un punto es la Tasa de Variación Instanténea de la función en ese punto, es decir, es la variación de la función cuando hacemos coincidir el punto A y el B.

Definición de derivada de una función en un punto

• DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN. DERIVADAS LATERALES

Una función es DERIVABLE en un punto si es CONTINUA en ese punto y la derivada en ese punto existe, es decir que los valores de la derivada (que es un límite) por la izquierda y por la derecha (DERIVADAS LATERALES) a ese punto coinciden y es un valor finito.

Ejemplo de derivabilidad en un punto de una función

• FUNCIÓN DERIVABLE EN UN INTERVALO

f es derivable en un (a,b) si lo es en todos los puntos que pertenecen al intervalo (a,b)

f es derivable en [a,b] si lo es en (a,b) y existe f'(a+) y f'(b-)

• DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

Una función es derivable en un punto → continua en ese punto

El recíproco no es siempre cierto

Derivabilidad Vs Continuidad

Si f(x) es derivable en cualquier punto que pertenezca al intervalo I=(a,b) → la función f'(x) se le denomina función derivada de f(x)

Si f'(x) es a su vez nuevamente derivable → la función f''(x) se le denomina derivada segunda. Si procedemos así indefinidamente a esas funciones se les denomina derivadas sucesivas de f(x) 

EJEMPLOS

Derivadas simples

Derivadas compuestas 1

Derivadas compuestas 2

Derivadas compuestas 3

Ejemplo 1. Función a trozos

Ejemplo 2. Con parámetros

Ejemplo 3. Función con valor absoluto