De manera intuitiva, el límite de una función real en el infinito (o en el menos infinito) es el valor al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se hace "más y más grande".

Comportamiento de una función en el infinito (Mates con Andrés)

OPERACIONES CON EL  ∞ 

El infinito (∞) es un concepto que ha ocupado la mente de filósofos, matemáticos y grandes científicos a lo largo de la historia. Aunque la definición concreta depende del campo en el que nos encontremos (geometría, teoría de conjuntos, análisis de funciones), todas ellas tienen en común la noción de una cantidad sin límite.

Podemos definir el infinito, y representarlo ∞, como el elemento matemático usado para expresar un valor mayor que cualquier cantidad asignable.

Lo primero que tienes que tener claro es que el infinito no es un número real, es, más bien... una idea.

Como hemos dicho, operar con el infinito presenta ciertas particularidades que lo diferencian de los números de cualquier otro tipo. Comenzamos presentándote una tabla que puedes utilizar como futura referencia: 

El límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito es el valor al que se aproxima la función a medida que la coordenada x crece indefinidamente. 

Hay varios tipos de cálculo de límites cuando x tiende a infinito dependiendo del tipo de función a la que tengamos que calcular ese límite.

MÉTODO GENERAL

Para resolver límites en el infinito seguimos los siguientes pasos:

1. Sustituimos x, en f(x), por ∞

2. Operamos con ∞

3. Si obtenemos un valor real concreto,∞  ó  -∞, ya hemos terminado. Ese es el valor del límite buscado.

4. Si obtenemos una expresión indeterminada, debemos resolverla. Cada tipo de indeterminación tiene una manera concreta de resolverse, que estudiaremos en el apartado dedicado a ello.

COMPARACIÓN DE ORDEN DE INFINITOS

No todas las funciones que tienden a infinito nos acercan a él a igual velocidad. Así, para valores suficientemente grandes, el crecimiento de la función exponencial es mucho más rápido que el de la función lineal.

Se dice que el de f(x) es un infinito de orden superior al de g(x) cuando se cumple cualquiera de las dos condiciones equivalentes siguientes:

• El límite cuando  x→ ∞  del cociente f(x)/g(x) es igual a  ∞

• El límite cuando  x→ ∞  del cociente g(x)/f(x) es igual a  0

Por el contrario, se dice que el infinito de f(x) y el de g(x) son de igual orden cuando:

• El límite cuando  x→ ∞  del cociente f(x)/g(x) es igual a  k ≠ 0

Se cumple que el orden de las funciones exponenciales es mayor que el de las funciones con potencias de x (polinómicas y con raíces), que a su vez es mayor que el de las logarítmicas.

En una expresión en la que se mezclan sumas y restas de infinitos con distinto orden, el orden de la suma es el del sumando de mayor orden. Así, por ejemplo, el orden de 3x+1000x5+2x+ln(x) es el mismo que el de 3x.

Comparación de infinitos (Mates con Andrés)

LÍMITES CUANDO x→ +∞ EN FUNCIONES POLINÓMICAS

El límite de una función polinómica en infinito (o menos infinito) es infinito o menos infinito. El coeficiente del término de mayor grado es el que determina el resultado final.

LÍMITES CUANDO x→ +∞ EN FUNCIONES RACIONALES

El límite de una función cociente de polinomios P(x)/Q(x) en infinito (o menos infinito) da lugar a indeterminaciones del tipo ∞/∞. Para resolverlas por comparación de infinitos nos fijamos en los términos de grado máximo de cada polinomio:

• Si grado P(x) > grado Q(x), entonces manda P(x) por lo que el resultado del límite cuando x→ +∞ es infinito o menos infinito.

• Si grado P(x) < grado Q(x), entonces manda Q(x) por lo que el resultado del límite cuando x→ +∞ es 0.

• Si grado P(x) = grado Q(x), entonces el resultado del límite cuando x→ +∞ es a/b, siendo a y b los coeficientes líderes de los polinomios P(x) y Q(x) respectivamente.

LÍMITES CUANDO x→ +∞ EN FUNCIONES IRRACIONALES

Al considerar las raíces como potencias, podremos aplicar el mismo criterio que con las funciones polinómicas, solo hay que tener en cuenta además la existencia de esas raíces con radicandos negativos.

LÍMITES CUANDO x→ +∞ EN FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

El límite de una función exponencial o logarítmica en infinito (o menos infinito) es infinito o menos infinito. El coeficiente del término de mayor grado es el que determina el resultado final (al igual que con los polinomios pero con ritmos de crecimiento distintos que no nos influye a la hora de calcular el límite si no tenemos operaciones entre funciones de distinto tipo).

OPERACIONES CON LÍMITES CUANDO x→ +∞

De manera intuitiva, el límite de una función real en un punto 'c' es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se aproxima a c. En la siguiente imagen queda recogido el concepto y la notación que se suele utilizar:

Definición formal o de Cauchy

Concepto de límite de una función en un punto

Se lee "límite de f(x) cuando x tiende a c" . El valor del límite es L, representado en azul. La función f(x) está en rojo, y el punto en el que estamos estudiando el límite tiene una coordenada x cuyo valor es c, en morado. A medida que nos acercamos a x=c, las correspondientes imágenes se aproximan al valor del límite L. Aunque en este caso, el valor del límite coincide con el de la función en el punto, pues f(c)=L, en realidad se trata de dos conceptos distintos, como veremos.

Aunque decimos "límite de una función en un punto", cuando calculamos el límite lo que hacemos es estudiar si las imágenes de la función se acercan a un valor concreto cuando la variable independiente x "tiende c" a (o "se acerca a" c). Dicho de otra manera, el límite es un concepto dinámico.

El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a "c" tomando valores menores que c. 

Donde:

• f(x) : es la función cuyo límite por la izquierda estoy calculando

•  x→ c-: se lee "x tiende a c por la izquierda", es decir, con valores menores que c. Ten presente que, por ejemplo, 0.99 está a la izquierda de 1, pero -1.001 está a la izquierda de -1

• L : Es el valor del límite lateral. Puede ser un número real cualquiera, pero también infinito +∞ ó -∞

El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a c por la derecha es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a "c" tomando valores mayores que c. 

La condición necesaria y suficiente para que exista el límite de una función en un punto es que ambos límites laterales existan y sean iguales. Entonces decimos que el límite existe y tiene ese mismo valor:

L : Es el valor del límite, que debe coincidir con los límites laterales. Puede ser un número real cualquiera, pero también infinito +∞ ó -∞

MÉTODO GENERAL

De manera general, podemos decir que el primer paso para la resolución de un límite es sustituir en f(x) el valor hacia el que tiende x. Entonces puedo obtener:

• Un valor concreto

• Una expresión cuyo resultado no se puede conocer. A este tipo de expresiones se les denomina indeterminaciónes o indeterminadas. Por ejemplo, son indeterminaciones 0/0, ∞-∞, y otras muchas que estudiaremos a continuación.

Si obtienes un valor concreto, ¡ya está!. Ese es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a. Pero tranquilo, si obtienes una indeterminación, no quiere decir que el límite no exista... solo que debemos resolverla, esto es, encontrar otro camino que haga desaparecer la indeterminación y nos dé el resultado del límite. Cada tipo de indeterminación tiene una manera concreta de resolverse, que estudiaremos en el apartado dedicado a ello.

De momento vamos a estudiar algunos casos sencillos para los que podemos prescindir de la resolución de indeterminaciones.

TIPOS DE FUNCIONES

• Funciones contInuas en general: En los puntos en los que las funciones son continuas, el valor del límite coincide con el de la propia función. Si f(x) es una función habitual definida por una sola expresión analítica y que está definida en x=a, entonces el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a).

• Funciones polinómicas: por definición son continuas en todo su dominio por lo que el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a), siempre que a pertenezca al dominio.

• Funciones irracionales: por definición son continuas en todo su dominio por lo que el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a), siempre que a pertenezca al dominio.

• Funciones racionales: por definición son continuas en todo su dominio por lo que el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a), siempre que a pertenezca al dominio, es decir a no anule el denominador.

  • • • • Se anula el numerador y el denominador no, entonces L=0/k=0  

        • No se anula numerador y tampoco el denominador, entonces L=a/b

        • No se anula el numerador y el denominador es cero, entonces L=k/0=∓ ∞ , si los limites laterales coinciden, si uno es +∞ y el otro -∞, entonces no existe el límite. En ocasiones, y por convención, cuando estamos ante una indeterminación del tipo k/0 decimos que es ∞ independientemente del valor de los límites laterales. Aunque estrictamente hablando no es precisa dicha afirmación, significa que la función diverge en el punto (se aleja del eje x), sin importar hacia qué sentido lo hace a cada lado del punto.

        • Se anulan numerador y denominador, entonces L=(0/0) INDETERMINACIÓN

• Funciones exponenciales: por definición son continuas en todo su dominio por lo que el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a), siempre que a pertenezca al dominio.

• Funciones logarítmicas: por definición son continuas en todo su dominio por lo que el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a), siempre que a pertenezca al dominio, es decir a no anule o haga negativo el argumento del logaritmo.

• Funciones circulares: por definición son continuas en todo su dominio por lo que el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a), siempre que a pertenezca al dominio.

• Funciones arco: por definición son continuas en todo su dominio por lo que el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a), siempre que a pertenezca al dominio.

• Funciones a trozos: por definición son continuas en todo su dominio, si los distintos trozos que conforman f son continuos, por lo que el valor del límite de la función cuando x tiende a a (punto que pertenece a un trozo determinado y no es de unión entre dos trozos) es f(a), siempre que a pertenezca al dominio. Estudio especial requieren los puntos de unión de los trozos, es decir, donde f cambia de trozo. Aquí es obligatorio estudiar los límites laterales de todos esos puntos de cambio y asegurarse que coincidan para calcular esos límites.

PROPIEDADES DEL CÁLCULO DE LÍMITES

Una indeterminación o indeterminada es una operación cuyo resultado no está definido. Es habitual obtener este tipo de expresiones al intentar resolver límites, ya sean en un punto o en el infinito. La obtención de una indeterminación no significa que el límite no exista, sino que habrá que buscar otro camino para obtener su resultado. En este apartado vamos a ver las formas habituales en que puedes enfrentarte a los distintos tipos de indeterminaciones. 

Las principales indeterminaciones que te encontrarás resolviendo límites son las siguientes: k/0, 0/0, ∞/∞,    ∞-∞, ∞·0, 1∞, 0∞, ∞0 y 00.

A continuación tienes un cuadro resumen con las principales indeterminación y los métodos de resolución más usados sin recurrir a la Regla de L'Hôpital mediante derivación.

TIPOS DE INDETERMINACIONES Y RESOLUCIÓN:

6.1 TIPO K/0

Para resolver una indeterminación del tipo k/0 calculamos los límites laterales. Estos serán ∞ o -∞ según la relación entre k y 0. Por otro lado, este tipo de indeterminación marca la existencia de una asíntota vertical.

EJEMPLOS

6.2 TIPO 0/0

Para resolver la indeterminación de tipo 0/0:

• Si estamos ante un cociente de polinomios, factorizamos y simplificamos el factor común de numerador y denominador y resolvemos el nuevo límite

• Si estamos ante un cociente con raíces, ya sea en el numerador, en el denominador, o en ambos, multiplicamos numerador y denominador por el/los conjugados  y resolvemos. Es muy importante que recuerdes que "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados"

EJEMPLOS

6.3 TIPO ∞/∞

Ya sabemos que no todos las funciones que se acercan al infinito (o al menos infinito) lo hacen a igual velocidad. Dicho de otra manera, no todos los infinitos tienen igual grado. Es precisamente por eso que:

Para resolver la indeterminación de tipo ∞/∞, comparamos los grados de los infinitos del numerador y del denominador:

• Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite es infinito o menos infinito, según la relación de signos entre los términos de mayor grado del numerador y del denominador.

• Si el grado del denominador es mayor que el grado del denominador, el límite es cero.

• Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el resultado es un valor finito que depende de los términos de mayor grado del numerador y del denominador.

EJEMPLOS

6.4 TIPO ∞-∞

Por la misma razón que no podemos decir que ∞/∞ sea 1, tampoco podemos decir que ∞-∞ sea 0: Cada función que da origen a dicho infinito puede acercarse a él a distinta velocidad (es decir, cada infinito puede tener un grado distinto). Podemos decir que:

Para resolver la indeterminación de tipo ∞-∞, podemos proceder de las siguientes formas:

• Por comparación de infinitos, cuando podemos apreciar a simple vista el grado de los infinitos

• Operando la diferencia que origina la indeterminación y calculando después el límite que quede

• Cuando hay raíces se debe multiplicar y dividir por el conjugado para hacer desaparecer la raíz que dificulta el cálculo del límite

EJEMPLOS

6.5 TIPO ∞·0

Cuando multiplicas un número por 0, el resultado es cero. Pero ya sabemos que ni el infinito es un número ni el 0 en los límites es un valor 'estático', sino un valor al que nos aproximamos... Podemos decir:

Para resolver la indeterminación de tipo 0·∞, trataremos de operar convirtiéndola en otra de tipo 0/0 o ∞/∞:

EJEMPLOS

6.6 TIPO 1∞  

Sabemos que 1 elevado a cualquier número n, es decir, multiplicado por sí mismo n veces, da 1. Sin embargo, cuando nos aproximamos a 1 y elevamos a infinito a la vez (recuerda que estamos calculando límites), no podemos estar seguros de lo que ocurre. Es por eso que estamos, de nuevo, ante una indeterminación.

Normalmente la regla práctica para resolver las indeterminaciones de tipo 1∞ es:

EJEMPLOS

1. Vídeo

6.7 TIPO  0∞, ∞ 0 y  0 0

Para resolver indeterminaciones del tipo 0∞, ∞0 y 00, todas ellas provenientes de una función elevada a otra, transformaremos el límite utilizando las propiedades de los logaritmos.

A veces, la gráfica de una función se acerca infinitamente a algunas rectas. Estas rectas se denominan asíntotas.

La asíntota es la recta de color rojo y su ecuación es y=x+1.

 Una asíntota puede ser horizontal, vertical u oblicua (como en el ejemplo).

A continuación, definimos y explicamos cómo calcular las asíntotas de una función.

7.1 Asíntota horizontal

Una función f(x) tiene la asíntota horizontal y=k si su límite cuando x tiende a infinito es k.

Distinguimos tres casos:

• Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que y=k es una asíntota horizontal de f(x).

Para calcular la asíntota horizontal sólo tenemos que calcular los límites cuando x tiende a ±∞.

7.2 Asíntota vertical

Una función f(x) tiene la asíntota vertical x=k ∈ R si su límite cuando x tiende a k es infinito.

Los k candidatos para ser asíntotas verticales suelen ser los x=k para los que f(x) presenta problemas en su definición.

También, distinguimos tres casos:

7.3 Asíntota oblicua

Decimos que la recta y=m·x+n es una asíntota oblicua de la función f(x) cuando se cumple:

Gráficamente, las asíntotas oblicuas se distinguen porque cuando la x se hace infinitamente grande (por la derecha o por la izquierda), la función se aproxima a una recta con cierta pendiente m. A la izquierda, en 1, a medida que crecen los valores de x, los correspondientes valores de y=f(x) se aproximan a la recta y=x (m=1, n=0). A la derecha, a medida que creen los valores de x, la función se aproxima a y=-x+1 (m=-1, n=1).

RAMAS PARABÓLICAS

Las asintotas son características de las funciones racionales, en el apartado anterior se ha visto como aparecen las asintotas verticales en este tipo de funciones cuando existen problemas de definición en el dominio, pero con respecto a las posibles asíntotas horizontales u oblicuas, éstas dependen del grado de los polinomios que conforman la función racional. 

Cuando la función es racional, f(x)=P(x)/Q(x), se producen asíntotas oblicuas siempre que:

grado P(x) - grado Q(x) = 1. 

Si es así, realizaremos la división de P(x) entre Q(x): El cociente de la misma, en la forma m·x+n, es la asíntota oblicua.

Encontrar las asíntotas oblicuas parece más complicado que las horizontales y las verticales, sin embargo, el siguiente resultado facilita la tarea:

Si la recta y=mx +n es una asíntota oblicua de f(x), entonces

EJEMPLO