La obtención de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos es la aplicación más inmediata de las derivadas.

• Caso elemental: tangente a una curva en uno de sus puntos

• Tangente a una curva y=f(x) conociendo su pendiente

• Tangente a una curva desde un punto exterior

Cuando se nos pide estudiar la monotonía de la función en un punto, lo que debemos determinar es si en el entorno de un punto determinado de esa función, la función crece, decrece, para ello nos vamos a apoyar en el estudio de la derivabilidad de la función en un punto, diciendo que:

•  Una función es creciente en torno a un punto Xo si f'(Xo) ᐳ 0 

• Una función es decreciente en torno a un punto Xo si f'(Xo) ᐸ 0

• Si f'(Xo)=0 en el entorno de un punto, en ese punto la función presentará un extremo o punto singular o ese punto puede también pertener a un intervalo donde la función sea constante.

Todo lo anterior se podrá extrapolar a estudiar la monotonía en un intervalo de la función haciendo el estudio extensible a cada uno de los puntos de la función que pertenecen a ese intervalo.

Se denomina extremo de una función a los puntos de la función que son máximos (absoluto o relativos) y mínimos (absoluto o relativos), estos puntos se caracterizan por ser frontera de dos intervalos con distinto tipo de cremiento, en los máximos pasamos de creciente a decreciente y en los mínimos de decreciente a creciente. Los puntos singulares, además de los anteriores, también incluyen los llamados puntos de inflexión (puntos donde cambia la curvatura de la función, pero no su monotonía).

A los puntos donde se cumple que f'(Xo)=0 se les llama puntos singulares o críticos.

• Una función DECRECE en Xo si f'(Xo) ᐸ 0

• Una función CRECE en Xo si  f'(Xo) ᐳ 0 

• Una función tiene un punto singular en Xo si f''(Xo)=0 

• Ejemplo 1 de cálculo de extremos de una función

• Otros ejemplos de cálculo de extremos de una función

DETERMINACIÓN DE EXTREMOS MEDIANTE LA f''(x)

• Siendo f'(Xo)=0, entonces podremos utilizar la f''(Xo) para determinar si ese punto singular es un max, min o punto de inflexión: 

  • • • Una función presenta un MAX  en Xo si f'(Xo) ᐸ 0

      • Una función presenta un MIN en Xo si  f'(Xo) ᐳ 0 

      • Una función tiene un punto de inflexión en Xo si f''(Xo)=0 y f'''(Xo)⁦⁦⁦⁦⁦ ≠ 0

Pasos para la resolución de problemas

 1  Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar. FUNCIÓN OBJETIVO

 2  Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales. (POSIBLES MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

 3  Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4 (nos dan la función)

Resumen