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Relación de proporcionalidad entre magnitudes
Problemas de proporcionalidad directa
Problemas de proporcionalidad inversa
Porcentajes
Aumentos y disminuciones porcentuales
Y +
- Relación de proporcionalidad entre magnitudes
Tal y como dijimos en la unidad 5-6 (Definición de Magnitud), una magnitud es una propiedad de los elementos de cierto conjunto (la población, una persona,...) que se puede medir con números, por ejemplo, la altura de una persona, el peso, el tiempo que un animal utiliza para comer, etc...
Cuando en una situación tenemos varias magnitudes, puede que entre ellas exista una relación, por ejemplo, el número de miembros de una familia y el dinero que gastan en un mes, o simplemente una y otra no tengan ningún tipo de relación, el número de trabajadores que hay en una empresa y el sueldo de esos trabajadores (no por más trabajadores tenga una empresa, éstos van a cobrar más o menos dinero) .
En este tema vamos a estudiar principalmente los casos donde tengamos dos magnitudes y éstas estén relacionadas.
A la relación que hay entre los valores de las dos magnitudes implicadas en la proporcionalidad, se le llama constante de proporcionalidad.
Veremos que la relación que se puede establecer entre las dos magnitudes es de dos formas distintas, la llamada proporcionalidad directa y la llamada proporcionalidad inversa. Por ejemplo, no es lo mismo la relación establecida entre el número de manzanas que puedo comprar y el coste de la compra (cuanto más manzanas compre, más valor tengo que pagar) y la relación entre el número de obreros que contrato para realizar una reforma y el tiempo que tardaran en realizarla (cuantos más obreros contrate menor tiempo necesitaran en hacer la obra).
2. Problemas de proporcionalidad directa
2. Problemas de proporcionalidad directa
RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Veamos el siguiente ejemplo:
Vamos a una tienda porque queremos comprar rotuladores y en el mostrador aparecen los precios como sigue:
3 cajas de rotuladores cuestan 18 €, le pregunto a la tendera si eso es una oferta y me dice que no, que podemos comprar las cajas de rotuladores que queramos y el precio será proporcional a lo que se indica en el mostrador. ¿Cuál sería el precio para 6 cajas? ¿y para 4?.
Analizando la situación, detectamos que las magnitudes (lo que se cuantifica en el problema) que intervienen en el problema son:
Magnitud 1 (MAG1): la cantidad de cajas de rotuladores que deseo comprar
Magnitud 2 (MAG2): el precio que cuestan esas cajas de rotuladores.
¿Existe relación entre ambas magnitudes? Claramente Sí, el precio depende de las cajas que vaya a comprar, y más concretamente, cuantas más cajas de rotuladores compre, entonces más tendré que pagar. A este tipo de relación se le denomina PROPORCIONALIDAD DIRECTA. Para que exista una relación de proporcionalidad directa tiene que ocurrir:
MAG 1 Sube (+), entonces MAG 2 Sube (+)
Ó
MAG 2 Baja (-), entonces MAG 2 Baja (-)
Podríamos construir una tabla de precios como la que tenemos a continuación:
MAG 1 (número de cajas de rotuladores): 1 2 3 4 5 6
MAG 2 (precio en €): 6 12 18 24 30 36
Observamos aquí que si DIVIDIMOS los valores que se corresponden en ambas magnitudes, por ejemplo, de la MAG 2 entre los correspondientes de la MAG 1, obtenemos siempre el mismo resultado, en este caso 6, pues a este valor es a lo que denominamos constante de proporcionalidad directa.
¿Cómo resolveremos este tipo de problemas?
PASOS
Se reconocen las distintas magnitudes y se le asigna a una MAG 1 y a la otra MAG 2
Se establece el esquema de proporcionalidad, analizando si una magnitud sube o baja, y deduciendo/razonando qué es lo que le sucede a la otra . En este caso en el esquema deduciremos que es proporcionalidad directa PD
Se establece una proporción directa entre las magnitudes, para ello simplemente se transforma el esquema anterior en una igualdad de dos proporciones (razones o fracciones)
Se resuelve la incógnita X (qué es lo que queremos saber del problema)
Se da la solución en forma de enunciado de texto.
A continuación os dejo el ejemplo que estamos viendo resuelto:
3. Problemas de proporcionalidad inversa
3. Problemas de proporcionalidad inversa
RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Veamos el siguiente ejemplo:
Somos los responsables de un refugio de perros y queremos calcular la previsión de comida que necesitamos para el recintos de los pastores alemanes, sabiendo lo siguiente:
La comida para 3 pastores alemanes dura 10 días. Si en el refugio entran 2 pastores alemanes más, ¿Cuál sería la duración de la comida que disponemos? ¿y si tuviéramos la salida de 1?.
Analizando la situación, detectamos que las magnitudes (lo que se cuantifica en el problema) que intervienen en el problema son:
Magnitud 1 (MAG1): la cantidad de perros que tenemos en el recinto
Magnitud 2 (MAG2): el tiempo que dura la comida disponible.
¿Existe relación entre ambas magnitudes? Claramente Sí, el tiempo en acabarse la comida depende del número de perros a alimentar, y más concretamente, cuantos más perros tenga, entonces menos tiempo durará la comida. A este tipo de relación se le denomina PROPORCIONALIDAD INVERSA. Para que exista una relación de proporcionalidad directa tiene que ocurrir:
MAG 1 Sube (+), entonces MAG 2 Baja (-)
Ó
MAG 2 Baja (-), entonces MAG 2 Sube (+)
Podríamos construir una tabla como la que tenemos a continuación:
MAG 1 (número de perros): 1 2 3 5 6
MAG 2 (tiempo en acabar la comida en días): 30 15 10 6 5
Observamos aquí que si MULTIPLICAMOS los valores que se corresponden en ambas magnitudes, por ejemplo, de la MAG 2 por los correspondientes de la MAG 1, obtenemos siempre el mismo resultado, en este caso 30, pues a este valor es a lo que denominamos constante de proporcionalidad inversa.
¿Cómo resolveremos este tipo de problemas?
PASOS
Se reconocen las distintas magnitudes y se le asigna a una MAG 1 y a la otra MAG 2
Se establece el esquema de proporcionalidad, analizando si una magnitud sube o baja, y deduciendo/razonando qué es lo que le sucede a la otra . En este caso en el esquema deduciremos que es proporcionalidad inversa PI
Se establece una proporción inversa entre las magnitudes, para ello simplemente se transforma el esquema anterior en una igualdad de dos proporciones (razones o fracciones) inversa (a una de esas fracciones le damos la vuelta)
Se resuelve la incógnita X (qué es lo que queremos saber del problema)
Se da la solución en forma de enunciado de texto.
A continuación os dejo el ejemplo que estamos viendo resuelto:
4. Porcentajes
4. Porcentajes
CONCEPTO DE TANTO POR CIENTO
1. ¿Qué es eso del "%"? 🧐
1. ¿Qué es eso del "%"? 🧐
Imagina que tienes una tableta de chocolate gigante que viene dividida en 100 trocitos iguales.
Si te comes 20 trocitos, te has comido el 20% (20 por ciento).
Si le das 50 trocitos a un amigo, le has dado el 50% (¡la mitad!).
Si te los comes todos... bueno, te has comido el 100% (y probablemente te duela la barriga).
El símbolo % es como una abreviatura mágica que significa "dividido entre 100". Así de fácil.
2. Los tres amigos: Porcentaje, Fracción y Decimal
2. Los tres amigos: Porcentaje, Fracción y Decimal
Para entenderlo bien, tienes que saber que un porcentaje se puede escribir de tres formas distintas, pero todas significan lo mismo. Vamos a usar el ejemplo de una oferta del 25% en unas zapatillas:
3. ¿Cómo se calcula? (El truco de la vida real) 🛒
3. ¿Cómo se calcula? (El truco de la vida real) 🛒
Imagina que ves una sudadera que cuesta 60€, pero tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto dinero te ahorras?
Para calcularlo, solo tienes que multiplicar el número por el porcentaje y dividirlo entre 100. Mira:
4. Ejemplos que ves todos los días 📱
4. Ejemplos que ves todos los días 📱
La batería del móvil: Si ves que te queda un 15%, significa que de cada 100 "rayitas" de energía, solo te quedan 15. ¡Corre a por el cargador!
Las notas de un examen: Si has acertado el 80% de un examen de 10 preguntas, significa que has tenido 8 bien.
Las etiquetas de la ropa: "100% Algodón" significa que toda la prenda, de arriba a abajo, es de ese material.
¡Pro-tip de profe! Cuando veas un 50%, ni siquiera saques la calculadora. El 50% es siempre la mitad. Si algo cuesta 40€ y tiene el 50% de descuento, pagas 20€. ¡Pum! Matemáticas instantáneas.
🕵️ ¿Por qué son así? (El truco del profe)
🕵️ ¿Por qué son así? (El truco del profe)
Para pasar de porcentaje a fracción, solo tienes que poner el número sobre 100 y simplificar. Mira qué fácil:
El 25%: Es 25/100. Si divides arriba y abajo entre 25, te queda 1/4. Por eso, calcular el 25% es lo mismo que buscar la cuarta parte de algo.
El 10%: Es 10/100. "Tachamos" un cero arriba y otro abajo, es decir, dividimos numerador y denominador entre 10 y... ¡tachán! 1/10. Para calcular el 10% de cualquier número que acabe en cero, solo tienes que quitarle ese cero. ¿El 10% de 500? ¡Es 50!
🚀 Reto rápido para clase
🚀 Reto rápido para clase
Imagina que vas a merendar con tus amigos y la cuenta total es de 40€. El camarero os dice que, por ser estudiantes, os hace un 25% de descuento.
Como el 25% es la cuarta parte (1/4)...
Dividimos 40€ entre 4.
¡Os ahorráis 10€! La merienda os sale por 30€.
¿Ves qué útil? Casi no hemos necesitado ni papel ni boli.
5. Aumentos y disminuciones porcentuales
5. Aumentos y disminuciones porcentuales
Ahora vamos a ver cómo podemos calcular los aumentos o disminuciones porcentuales y mediante dos métodos, para ello lo que vamos a hacer es poner un ejemplo práctico y ver cómo lo solucionamos.
MÉTODO TRADICIONAL.
Calculamos el porcentaje que vamos a aumentar o disminuir una cantidad y luego se la sumamos a esa cantidad
MÉTODO COEFICIENTES DE VARIACIÓN
¡Esto es subir de nivel! Lo que te voy a explicar ahora es el "truco definitivo" que usan los contables y la gente que trabaja en tiendas para calcular precios de un solo golpe, sin tener que hacer dos o tres operaciones separadas.
Imagina que ya no calculas cuánto te descuentan para luego restarlo, sino que calculas directamente lo que vas a pagar. Para eso usamos esta fórmula mágica:
Cf=Cv⋅Ci
Donde:
Cf (Cantidad Final): Lo que pagas al final.
Ci (Cantidad Inicial): El precio que marca la etiqueta.
Cv (Coeficiente de Variación): Es un número "llave" que nos dice si algo sube o baja.
📉 Caso 1: Disminuciones (¡Rebajas!)
📉 Caso 1: Disminuciones (¡Rebajas!)
Cuando hay un descuento, el precio baja. Por eso, a 1 (que representa el total, el 100%) le restamos el porcentaje que nos quitan.
Ejemplo: Unas botas de 80 € (Ci) tienen un 20% de descuento.
Calculamos el coeficiente (Cv): Como te quitan el 20%, pagas el 80%. En decimal es: 1−0,20=0,80.
Aplicamos la fórmula:
Cf=0,80⋅80=64 €
¡Directo! No hace falta calcular el descuento y luego restar.
📈 Caso 2: Aumentos (¡Impuestos o propinas!)
📈 Caso 2: Aumentos (¡Impuestos o propinas!)
Cuando algo sube (como el IVA o si un precio aumenta), a 1 le sumamos ese porcentaje.
Ejemplo: Un videojuego cuesta 50 € (Ci), pero hay que sumarle el 21% de IVA.
Calculamos el coeficiente (Cv): Es el total más el aumento: 1+0,21=1,21.
Aplicamos la fórmula:
Cf=1,21⋅50=60,50 €
💡 ¿Por qué funciona esto? (Para que lo entiendas de verdad)
💡 ¿Por qué funciona esto? (Para que lo entiendas de verdad)
Piensa que el número 1 es el precio completo:
Si multiplicas por 0,80 , le estás diciendo al precio: "Solo quiero que te quedes con el 80% de lo que vales". (Baja el precio).
Si multiplicas por 1,21 , le estás diciendo: "Quiero que seas tú mismo (el 1) y un poquito más (el 0,21)". (Sube el precio).
Recuerda:
Si Cv es menor que 1 (ej. 0,85) → ¡Es una rebaja!
Si Cv es mayor que 1 (ej. 1,15) → ¡Es un aumento!
📝 Tu turno, ¡desafío de clase!
📝 Tu turno, ¡desafío de clase!
Si una mochila cuesta 30 € y tiene un descuento del 10%, ¿cuál sería su Coeficiente de Variación (Cv) y cuál sería su Precio Final (Cf)?
👟 Ejemplo: Las botas de 80 € con un 20% de descuento
👟 Ejemplo: Las botas de 80 € con un 20% de descuento
Método Tradicional (En dos pasos)
Método Tradicional (En dos pasos)
Es el que solemos aprender primero. Es muy lógico porque vas "trocito a trocito".
Paso 1: Calculas cuánto dinero te descuentan. Multiplicas el precio por el porcentaje y divides entre 100: 80×20=1600→1600÷100=16€ (Esto es el descuento).
Paso 2: Restas ese descuento al precio original. 80 €−16 €=64 €.
Veredicto: Es fácil de entender porque ves el dinero que te ahorras por separado, pero tardas más tiempo porque haces dos operaciones.
Método del Coeficiente de Variación (Cf=Cv⋅Ci)
Método del Coeficiente de Variación (Cf=Cv⋅Ci)
Este es el método "profesional". Aquí pensamos en lo que sí vamos a pagar.
Paso único: Si me descuentan el 20%, yo pago el 80% del precio (1−0,20=0,80).
Calculamos directamente: Cf=0,80⋅80=64 €.
🏆 ¿Por qué el método de Cv es mucho mejor?
🏆 ¿Por qué el método de Cv es mucho mejor?
Aunque el tradicional parece más "claro" al principio, el método del coeficiente tiene unas ventajas increíbles para tu vida diaria:
Es más rápido: Solo haces una multiplicación. Con la calculadora del móvil lo sacas en 2 segundos.
Ideal para "mirar escaparates": Si ves que todo en una tienda tiene un 30% de descuento, ya sabes que tu número mágico es 0,70. Solo tienes que multiplicar cualquier etiqueta por 0,70 y ¡pum!, tienes el precio final al instante.
No te lías con los aumentos: Si quieres saber cuánto cuesta algo con el 21% de IVA, multiplicar por 1,21 es mucho más directo que calcular el IVA y luego sumarlo (donde mucha gente se equivoca al anotar los números).
Matemáticas de mayores: Este método es el que usarás en el futuro en economía o cuando veas interés compuesto. ¡Ya estás aprendiendo como un universitario!
⌨️ Ejemplo: Teclado de 40€ con un aumento del 21% (IVA)
⌨️ Ejemplo: Teclado de 40€ con un aumento del 21% (IVA)
Método Tradicional (En dos pasos)
Método Tradicional (En dos pasos)
Aquí calculamos el "añadido" y luego lo pegamos al precio inicial.
Paso 1: Calculas cuánto dinero es el 21% de 40€. Multiplicas el precio por el porcentaje y divides entre 100: 40×21=840→840÷100=8,40€ (Esto es lo que sube el precio).
Paso 2: Sumas ese aumento al precio original. 40€+8,40€=48,40€.
Veredicto: Es útil para saber exactamente cuánto dinero se lleva el Estado en impuestos, pero te obliga a hacer una suma al final.
Método del Coeficiente de Variación (Cf=Cv⋅Ci)
Método del Coeficiente de Variación (Cf=Cv⋅Ci)
Aquí usamos la "llave" del aumento. Como es un aumento, sumamos el porcentaje a 1.
Paso único: Calculamos el coeficiente (Cv). Como pagas el 100% (el teclado) más el 21% (el impuesto), pagas el 121%. En decimal: 1+0,21=1,21.
Calculamos directamente: Cf=1,21⋅40=48,40€.
🚀 ¿Por qué este método te hace "volar" en matemáticas?
🚀 ¿Por qué este método te hace "volar" en matemáticas?
Fíjate en las ventajas de usar el Cv=1,21:
Evitas errores de olvido: A veces, en el método tradicional, calculamos el 8,40€ y se nos olvida sumarlo al precio inicial. Con el coeficiente, el resultado final sale directamente en la pantalla de la calculadora.
Mentalmente es más limpio: Si te acostumbras a que "subir un 10%" es "multiplicar por 1,1", "subir un 5%" es "multiplicar por 1,05", etc., empezarás a ver los precios de otra forma.
Encadenar cambios: Imagina que un precio sube un 10% y luego otro 10%. Con el método tradicional es un lío de pasos. Con este método, solo tendrías que hacer: Ci⋅1,1⋅1,1. ¡Es magia!
¡Ojo al dato! > Si multiplicas por un número que empieza por "1,...", el precio siempre sube. Si multiplicas por un número que empieza por "0,...", el precio siempre baja.
💡 El último reto antes de terminar:
💡 El último reto antes de terminar:
Si el precio de una suscripción a una revista es de 20€ y sube un 5%, ¿por qué número crees que deberías multiplicar los 20€ para saber el precio final de un solo golpe?
¿Te atreves a decirme el Cv y el resultado final?
6. Y +
6. Y +
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