mates y + con Javier

2 BACH-CCSS

TEMA 8. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Elementos fundamentales para la construcción de curvas
El valor absoluto en la representación de funciones
Representación de funciones polinómicas
Representación de funciones racionales
Representación de otros tipos de funciones

1. Elementos fundamentales para la construcción de curvas

Ahora toca poner en orden todos los instrumentos matemáticos que poseemos para la búsqueda de rasgos intereantes de una curva con vistas a su representación. Recordemos cuales son:

Dominio de definición: son los valores de la variable x en donde se define la función y=f(x). Según la función que tengamos podremos hacer distintas afirmaciones:

Funciones polinómicas: Dom[ f(x)] = ℝ
Funciones exponenciales: Dom[ f(x)] = ℝ
Funciones racionales: Dom[ f(x)] = ℝ - {valores que anulen el denominador}
Funciones irracionales:
- - - En caso de raíces de índice par: Dom[ f(x)] = ℝ - {valores que hagan negativo el radicando }
    - En caso de raíces de índice impar: Dom[ f(x)] = ℝ
Funciones logarítmicas: Dom[ f(x)] = ℝ - {valores que hagan cero o negativo el argumento }
Fúnciones trigonométricas (excepto la tangente principalmente): Dom[ f(x)] = ℝ
Función tangente: Dom[ f(x)] = π/2 +kπ , k ∈ ℤ

Imagen: generalmente no es facil determinar a no ser que conozcamos la función, por lo que en la mayoría de los casos no se hará un estudio exhaustivo de la imagen.

Continuidad y derivabilidad: de manera general, las funciones que utilizaremos son continuas y deribables en todo su dominio de definición, salvo aquellas que se definen enlazando trozos (abría que estudiar en concreto como mínimo los puntos de conexión de los distintos trozos), con algunas excepciones:

Funciones irracionales: no son derivables generalmente en los puntos en los que anula el radicando
Funciones valor absoluto: suelen dar lugar a puntos angulosos donde el valor absoluto vale cero

Simetrías: la simetría en funciones se puede dar (simería par o impar) o no darse, para ello tendremos que hacer algunas averiguaciones. Si una función es simétrica podremos construir solo media curva y obtener el resto por simetría.

Simetría PAR: f(x) = f(-x)

Este tipo de simetría refleja una simetría con respecto al eje Y

Simetría IMPAR: f(x) = -f(-x)

Este tipo de simetría refleja una simetría al origen de coordenadas

Periodicidad: los valores que asocia a la variable independiente la función se repiten cada cierto intervalo. En este nivel, solo serán funciones períodicas las trigonométricas.

Ramas infinitas en un punto. Asintotas: determinaremos las diferentes asíntotas que puede presentar una función:

Asíntotas verticales: hacemos el lim cuando x→a de f(x) = ∓∞ , entonces la asíntota tiene por ecuación x=a
Asíntotas horizontales: hacemos el lim cuando x→∞ de f(x) = l , entonces la asíntota tiene por ecuación y=l
Asíntotas oblicuas: hacemos el lim cuando x→∞ de f(x) = ∓∞ , entonces la asíntota tiene por ecuación y=mx+n , siendo m= lim cuando x→∞ de f(x)/x y n=lim cuando x→∞ de [f(x)-mx)]. La posición de la curva con respecto a la asíntota se averigua estudiando el signo de f(x)-(mx+n) para valores grandes de x.

Puntos interesantes:

Extremos-Puntos de inflexión

Siendo f'(Xo)=0, entonces podremos utilizar la f''(Xo) para determinar si ese punto singular es un max, min o punto de inflexión:

- - - Una función presenta un MAX en Xo si f'(Xo) ᐸ 0
    - Una función presenta un MIN en Xo si f'(Xo) ᐳ 0
    - Una función tiene un punto de inflexión en Xo si f''(Xo)=0 y f'''(Xo)⁦⁦⁦⁦⁦ ≠ 0

Puntos de corte con los ejes: haciendo x=0 e y=0 obtendremos respectivamente los puntos de corte con el eje Y y con el eje X

Monotonía:

Una función es creciente en torno a un punto Xo si f'(Xo) ᐳ 0
Una función es decreciente en torno a un punto Xo si f'(Xo) ᐸ 0
Si f'(Xo)=0 en el entorno de un punto, en ese punto la función presentará un extremo o punto singular o ese punto puede también pertener a un intervalo donde la función sea constante.