Теорія 

Подібність фігур

Перетворення подібності

Ще в Стародавній Греції виникло вчення про подібні фігури. Зокрема, у книзі «Начала» Евклід пише про перетворенні подібності.

Перетворенням подібності, або подібністю називається таке перетворення однієї фігури в другу, при якому відстані між точками змінюються в одне й те саме число разів. Це число називається коефіцієнтом подібності. Коефіцієнт подібності позначається латинською буквою k і є додатним числом.

Якщо коефіцієнт подібності дорівнює одиниці, то перетворення є рухом;

якщо коефіцієнт подібності менший від одиниці, то відстань між точками зменшується; якщо коефіцієнт подібності більший від одиниці, то відстань між точками збільшується.

Перетворення подібності має такі властивості:

-   перетворення подібності переводить прямі у прямі, півпрямі — в півпрямі, відрізки — у відрізки;

-   перетворення подібності зберігає кути між півпрямими;

-   перетворення подібності переводить паралельні прямі в паралельні прямі.

Дві фігури називаються подібними, якщо одну з них можна одержати з другої за допомогою перетворення подібності. Подібність фігур означає, що незалежно від розмірів і положення на площині ці фігури мають однакову форму.

Усі кола є подібними фігурами, усі квадрати є подібними фігурами.

Якщо перша фігура подібна другій фігурі з коефіцієнтом k, то друга фігура теж подібна першій фігурі, але з коефіцієнтом, оберненим числу k, — 1/k . Одним із перетворень подібності є гомотетія.

Якщо дві подібні фігури розміщені так, що всі півпрямі, проведені з деякої точки через точки однієї фігури, проходять через відповідні точки другої фігури, то це є гомотетія.

Гомотетією з центром у точці О і коефіцієнтом k називається таке перетворення однієї фігури в другу, при якому кожна точка Х першої фігури переходить у точку Х' другої фігури так, що точка Х' лежить на промені, що виходить з точки О і проходить через точку Х, а відстань між точкою О і точкою Х' дорівнює відстані між точкою О і точкою Х, помноженій на коефіцієнт гомотетії k.

Практичні поради.

Щоб побудувати відрізок, гомотетичний даному відрізку з заданим центром гомотетії і заданим коефіцієнтом гомотетії, проведіть півпрямі з початком у центрі гомотетії, які проходять через кінці відрізка. На півпрямих від їх початку відкладіть відрізки, довжини яких дорівнюють відповідно довжинам відрізків, що з’єднують центр гомотетії з кінцями заданого відрізка, помножених на коефіцієнт гомотетії, і з’єднують точки, одержані на півпрямих.

Координатами вектора є координати кінцевої точки цього вектора, якщо вектор розташований так, що його початок знаходиться на початку координат. Якщо вектор розташований на координатній площині, то кожна координата вектора дорівнює різниці відповідних координат його кінця і початку. 

Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини на довжину проєкції 

Многокутник усі вершини якого лежать на колі називається вписаним у це коло, а коло описаним навколо цього многокутника.

Сторони вписаного многокутника і його діагоналі є хордами кола

Кожен його кут є вписаним кутом.

Многокутник усі сторони якого дотикаються до кола, наивається описаним навколо цього кола, а коло - вписаним у цей многокутник

 Будь-який правильний многокутник є як вписаний у коло, так і описаний навколо кола, причому центри описаного та вписаного кіл збігаються.  

1. Укажіть градусні міру центрального кута правильного двадцятикутника.

 А. . Б. . В. .  Г. .

2. Довжина кола, радіус якого 7 см, дорівнює…

 А.  см. Б.  см. В.  см.  Г.  см.

3. Знайдіть площу круга, діаметр якого дорівнює 8 см.

 А.  см2. Б.  см2. В. 16 см2.  Г.  см2.

4. Знайдіть міру внутрішнього і зовнішнього кутів правильного вісімнадцятикутника.

5. Радіус кола дорівнює 18 см. Знайдіть довжину дуги, що відповідає центральному куту .

6. Знайдіть площу сектора круга радіуса 9 см, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює .

7. Знайдіть кількість вершин правильного многокутника, у якого внутрішній кут на  більший за зовнішній.

8. Хорда, довжина якої  см, стягує дугу кола, градусна міра якої . Знайдіть довжину кола.

9. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію з основами 2 см і 18 см.

___________________________________________________________________________________________________

9 клас КР № 4 Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга Варіант ІІ

1. Укажіть градусні міру центрального кута правильного тридцятикутника.

 А. . Б. . В. .  Г. .

2. Довжина кола, радіус якого 8 см, дорівнює…

 А.  см. Б.  см. В. 16 см.  Г.  см.

3. Знайдіть площу круга, діаметр якого дорівнює 12 см.

 А.  см2. Б.  см2. В.  см2.  Г.  см2.

4. Знайдіть міру внутрішнього і зовнішнього кутів правильного дванадцятикутника.

5. Радіус кола дорівнює 24 см. Знайдіть довжину дуги кола, що відповідає центральному куту .

6. Знайдіть площу сектора круга радіуса 6 см, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює .

7. Знайдіть кількість вершин правильного многокутника, у якого зовнішній кут на  менший за внутрішній.

8. Хорда, довжина якої  см, стягує дугу кола, градусна міра якої . Знайдіть довжину кола.

9. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію з основами 4 см і 16 см.

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

9 клас КР № 4 Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга Варіант ІІІ

1. Укажіть градусні міру центрального кута правильного вісімнадцятикутника.

 А. . Б. . В. .  Г. .

2. Довжина кола, радіус якого 5 см, дорівнює…

 А.  см. Б.  см. В.  см.  Г.  см.

3. Знайдіть площу круга, діаметр якого дорівнює 10 см.

 А.  см2. Б.  см2. В. 25 см2.  Г.  см2.

4. Знайдіть міру внутрішнього і зовнішнього кутів правильного дванадцятикутника.

5. Радіус кола дорівнює 15 см. Знайдіть довжину дуги, що відповідає центральному куту .

6. Знайдіть площу сектора круга радіуса 12 см, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює .

7. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, у якого зовнішній кут на  менший за внутрішній.

8. Хорда, довжина якої  см, стягує дугу кола, градусна міра якої . Знайдіть довжину кола.

9. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію з основами 2 см і 8 см.

___________________________________________________________________________________________________

9 клас КР № 4 Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга Варіант ІV

1. Укажіть градусні міру центрального кута правильного дванадцятикутника.

 А. . Б. . В. .  Г. .

2. Довжина кола, радіус якого 6 см, дорівнює…

 А.  см. Б.  см. В. 12 см.  Г.  см.

3. Знайдіть площу круга, діаметр якого дорівнює 14 см.

 А.  см2. Б.  см2. В.  см2.  Г.  см2.

4. Знайдіть міру внутрішнього і зовнішнього кутів правильного десятикутника.

5. Радіус кола дорівнює 18 см. Знайдіть довжину дуги кола, що відповідає центральному куту .

6. Знайдіть площу сектора круга радіуса 9 см, що відповідає центральному куту .

7. Знайдіть кількість вершин правильного многокутника, у якого внутрішній кут на  більший за зовнішній.

8. Хорда, довжина якої  см, стягує дугу кола, градусна міра якої . Знайдіть довжину кола.

9. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію з основами 1 см і 9 см.

Запитання 1

Довжина кола дорівнює 6π см. Знайдіть його радіус.

варіанти відповідей 

3 см

6 см

3/π

6 /π

Запитання 2

Яка градусна міра дуги кола, радіус якого становить 6 см, а довжина дуги дорівнює π см?

варіанти відповідей

30°

45°

15°

60°

Запитання 3

Радіус кола дорівнює 2√3 см. Знайдіть сторону правильного трикутника, описаного навколо цього кола.

варіанти відповідей

12 см

6 см

6√3 см

3√3 см

Запитання 4

Знайдіть площу кругового сектора радіуса 5 см, центральний кут якого дорівнює 72°.

варіанти відповідей

10 π см2

20 π см2

π см2

5 π см2

Запитання 5

Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, зовнішній кут якого дорівнює 60°.

варіанти відповідей

8 сторін

5 сторін

7 сторін

6 сторін

Запитання 6

Знайдіть міру внутрішнього кута при вершині правильного шестикутника

варіанти відповідей

150°

100°

90°

120°

Запитання 7

Коло вписано у правильний шестикутник зі стороною 4√3 см. Знайдіть площу круга, обмеженого даним колом.

варіанти відповідей

6 π см2

36 π см2

48 π см2

16 π см2

Запитання 8

Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 60°, якщо радіус кола 3 см.

варіанти відповідей

1/ π см

2 π см

π см

π / 2 см

Запитання 9

Навколо рівностороннього трикутника описано коло радіуса 4 см. Знайдіть площу трикутника.

варіанти відповідей

12 см2

12√3 см2

6√3 см2

16√3 см2

Запитання 10

Центральний кут правильного многокутника дорівнює 30°. Визначте кількість сторін многокутника.

варіанти відповідей

12 сторін

6 сторін

18 сторін

10 сторін

Запитання 11

Площа круга, вписаного в квадрат, дорівнює 4 π см2. Знайдіть довжину сторони квадрата.

варіанти відповідей

π / 4 см

2 см

4 см

2 / π см

Запитання 12

Довжина кола, вписаного в правильний многокутник, дорівнює 3π см, а довжина його сторони - √3 см. Скільки сторін має цей многокутник?

варіанти відповідей

3 сторони

4 сторони

6 сторін

Інша відповідь