Теорія

ІІ семестр

Тема 3. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

 (15 год)

33. Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику

34. Теорема Піфагора

35. Перпендикуляр і похила, їх властивості

36. Розв’язування задач

37. Розв’язування задач

38. Синус, косинус, тангенс гострого кута прямокутного 

трикутника. Значення синуса, косинуса, тангенса деяких кутів

39. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника

40. Розв’язування задач

41. Розв’язування прямокутних трикутників

42. Розв’язування задач

43. Розв’язування задач

44. Розв’язування задач

45. Узагальнення і систематизація знань.

46. Контрольна робота №5 за темою: 

«Розв’язування прямокутних трикутників»

47. Аналіз контрольної роботи

Тема 4. МНОГОКУТНИКИ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ

(13 год)

48. Многокутник і його елементи.

 Опуклі та неопуклі многокутники. 

Сума кутів опуклого многокутника.

49. Многокутник, вписаний у коло, і многокутник, описаний навколо кола

50. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника

51. Площі паралелограма, ромба

52. Розв’язування задач і вправ

53. Площа трикутника

54. Розв’язування задач і вправ

55. Площа трапеції

56. Розв’язування задач і вправ

57. Розв’язування задач і вправ

58. Узагальнення і систематизація знань.

59. Контрольна робота №4 за темою:

 «Многокутники. Площі многокутників»

60. Аналіз контрольної роботи

Тема 5. ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ (10 год)

61. Чотирикутники

62. Чотирикутники

63. Подібність трикутників

64. Розв’язування прямокутних трикутників

65. Розв’язування прямокутних трикутників

66. Многокутники. Площі многокутників

67. Підсумкова контрольна робота за рік

68. Розв’язування задач підвищеної складності

69. Розв’язування задач підвищеної складності

70. Підсумковий урок

Теорема Піфагора

Прямокутні трикутники мають властивість, яка сформульована в теоремі Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо у деякому трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник є прямокутним.

У будь-якому прямокутному трикутнику катет менший від гіпотенузи.

Квадрат катета прямокутного трикутника дорівнює різниці квадрата гіпотенузи і квадрата другого катета.

Перпендикуляр і похила, їх властивості

Перпендикуляром, проведеним з деякої точки до заданої прямої, називається відрізок, що лежить на прямій, перпендикулярній до заданої прямої і з кінцями в заданій точці, і точки, що лежить на заданій прямій. Кінець перпендикуляра, що лежить на прямій, до якої він проведений, називається основою перпендикуляра.

Похила — будь-який відрізок, проведений із точки на пряму, відмінний від перпендикуляра. Кінець похилої, що лежить на прямій, до якої він проведений, називається основою похилої.

Відрізок, що сполучає кінець перпендикуляра і похилої до прямої, проведених з однієї точки, називається проекцією похилої на пряму.

Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпендикуляра.

Рівні похилі мають рівні проекції.

Якщо проекції похилих рівні, то рівні і похилі.

Із двох похилих більшою є та, у якої більша проекція на пряму.

Більшій похилій відповідає більша проекція і навпаки.

Важливу роль в геометрії відіграє нерівність трикутника.

Для будь-яких трьох точок відстань між двома з них не більша за суму відстаней від них до третьої точки.

У будь-якому трикутнику кожна сторона менша від суми двох інших сторін.

У будь-якому трикутнику кожна сторона більша за різницю двох інших сторін.

Іноді при розв’язанні задач, де з однієї точки проведено дві похилі до однієї прямої, використовують такий метод: із зазначеної точки проводять до прямої перпендикуляр і із кожного з утворених прямокутних трикутників за допомогою наслідків з теореми Піфагора виражають довжину перпендикуляра (або квадрат довжини перпендикуляра). Після цього прирівнюють одержані вирази і з утвореної рівності визначають невідомий відрізок.

Окремі випадки Теореми Піфагора, зокрема щодо так званих єгипетських, або «священних», трикутників зі сторонами 3, 4 і 5, були відомі ще до Піфагора в Стародавньому Єгипті, у Вавилоні, Індії і Китаї. Можливо, Піфагор першим навів доведення цієї теореми.

Числа, які можуть бути сторонами прямокутного трикутника, тобто зв’язані залежністю, яку виражає теорема Піфагора, називаються числами Піфагора. Найпростішим прикладом таких чисел є 3, 4 і 5, а також трійки чисел, кратних числам цієї трійки, наприклад, 6, 8 і 10 і так далі.

Є нескінченна множина трійок піфагорових чисел. Відповідні їм трикутники називають єгипетськими. Вважають, що єгипетські землеміри будували прямі кути за допомогою мотузки з 12 вузлами на ній, однаково віддаленими один від одного. Мабуть, тому і самих землемірів називали натягувачами мотузокок. В окремих випадках таким прийомом користуються і сьогодні.

Многокутник і його елементи. Опуклі і неопуклі многокутники

Ламана — це фігура, яка складається з певної кількості точок і відрізків, що послідовно їх сполучають.

Точки називаються вершинами ламаної, а відрізки — ланками ламаної.

Проста ламана — це ламана, котра не має самоперетинань.

Довжина ламаної — сума довжин її ланок.

Сторони ламаної не менші від довжини відрізка, що з'єднує його кінці.

Замкнута ламана — ламана, у якої збігаються кінці.

Многокутник — це проста замкнута ламана. Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, ланки ламаної — сторонами многокутника.

text-indent: 1cm;" align="JUSTIFY">Діагоналі многокутника — це відрізки, що з'єднують несусідні вершини многокутника.

n-кутник— це многокутник з n вершинами.

Плоский многокутник — скінченна частина площини, обмежена многокутником.

Опуклий многокутник — многокутник, що лежить в одній півплощині щодо будь-якій прямої, яка містить його сторону.

Внутрішній кут опуклого многокутника при даній вершині — це кут між його сторонами, що сходяться в цій вершині.

Будь-який кут опуклого многокутника менший за 180°. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°(n – 2) . Зовнішній кут опуклого многокутника — кут, суміжний внутрішньому куту многокутника при даній вершині.

Сума кутів опуклого многокутника

Сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, узятих по одному при кожній вершині, за будь-якого n дорівнює 360°.

Вписані і описані многокутники

Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на деякому колі.

Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються деякого кола.

Поняття площі многокутника. Основні властивості площ. Площа прямокутника, паралелограма

Просте тіло — геометрична фігура, яку можна розбити на скінченне число плоских трикутників

Площа простої фігури — додатна величина, числове значення якої має такі властивості:

Рівні фігури мають рівні площі.

Площа фігури дорівнює сумі площ її частин.

Площа квадрата зі стороною, рівній одиниці виміру, дорівнює одиниці.

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин двох його нерівних сторін.

Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони.

Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

У паралелограмі більшою висотою є висота, проведена до меншої сторони, і навпаки, меншою є та висота, яка проведена до більшої сторони.

Площа ромба дорівнює добутку його сторони на висоту ромба.

Іноді при розв’язанні задач використовують метод площ, який полягає в тому, що площу фігури записують двома різними способами, наприклад, площу паралелограма записують як добуток однієї висоти на відповідну їй сторону і як добуток другої висоти на відповідну їй сторону. Після цього прирівнюють одержані вирази, і з рівності знаходять невідомий елемент. 

Площа трикутника. Площа трапеції

Площа будь-якого трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Оскільки трикутник має три висоти, то площу трикутника можна записати трьома способами. При розв’язанні задач на трикутник можна користуватись методом площ.

Сторони трикутника обернено пропорційні його висотам, тобто чим більша сторона трикутника, тим менша висота, проведена до неї, і навпаки.

Площу трикутника можна знаходити за формулою Герона. Площа трикутника дорівнює кореню квадратному з добутку половини периметра трикутника на половину периметра без однієї сторони на половину периметра без другої сторони і на половину периметра без третьої сторони.

Площа рівностороннього трикутника дорівнює чверті добутку квадрата його сторони на корінь квадратний з числа три.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.

Будь-яка медіана трикутника поділяє його на два рівні за площею трикутники (рівновеликі трикутники).

Три медіани трикутника перетинаються в одній точці і при цьому утворюються шість трикутників, площі яких рівні.

Якщо основи двох трикутників рівні, то відношення площ цих трикутників дорівнює відношенню їх висот. І навпаки, якщо у двох трикутників висоти рівні, то відношення їх площ дорівнює відношенню їх основ.

Якщо у внутрішній області правильного (рівностороннього) трикутника обрати будь-яку точку, то сума відстаней від цієї точки до сторін трикутника буде дорівнювати висоті даного трикутника.

Площа трапеції дорівнює добутку висоти трапеції на половину суми його основ або добутку середньої лінії трапеції на її висоту.

1.    Теорема (про відношення площ подібних трикутників): формулю­вання та доведення.

2.    Приклади застосування теореми (про відношення площ подібних трикутників).

Доведення теореми майже повністю відповідає традиційному доведенню властивості площ подібних трикутників і спирається на властивість сторін подібних трикутників, на ознаки подібності прямокутних трикутників та застосування формули площі трикутника (доведення можна провести простіше, якщо використати властивості відношень відповідних лінійних елементів подібних трикутників, сформульовані і доведені в темі «Подібність трикутників»). 

Як приклад із застосування теореми про відношення площ подібних трикутників можна розглянути опорний факт, який є узагальненням задачі, а саме: площа трикутника, що відтинається від даного його середньою лінією, дорівнює чверті площі даного трикутника. 

·        обчислення суми кутів опуклого многокутника;

·        обчислення площ квадрата, прямокутника, паралелограма, три­кутника і трапеції;

·        обчислення елементів (сторін, кутів) названих видів многокутників за відомою площею;

·        застосування властивостей фігур (вписаних та описаних чотири­кутників, рівнобедрених трикутників, ромбів, трапецій тощо) та теореми Піфагора для обчислення площ.