Теорія

Квадратні корені. Квадратні рівняння

Тема 4. Квадратні корені. Дійсні числа.

(14 годин)

33.Функція y = x2, її графік і властивості

34. Квадратні корені.Арифметичний квадратний корінь

35. Квадратні корені.Арифметичний квадратний корінь

36. Множина та її елементи. Підмножина

37. Числові множини

38. Тотожність. Рівняння х2=а. Самостійна робота

39. Властивості арифметичного квадратного кореня

40. Властивості арифметичного квадратного кореня

41. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені

42. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені

43. Функція у=коріньіз х, її графік і властивості

44. Функція у=корінь із х , її графік і властивості.

45. Узагальнення і систематизація знань. 

      Підготовка до контрольної роботи

46. Контрольна робота № 4 з теми 

      «Квадратні корені. Дійсні числа»

Тема 5. Квадратні рівняння

(18 годин)

47. Аналіз контрольної  роботи.

      Квадратні рівняння.

48. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння

49. Формула коренів квадратного рівняння

50. Формула коренів квадратного рівняння

51. Розв’язування задач і вправ. Самостійна робота . 

52. Теорема Вієта

53. Обернена теорема до теореми Вієта 

54. Узагальнення і систематизація знань.

      Підготовка до контрольної роботи

55. Контрольна робота № 5 з теми «Квадратні рівняння»

56. Аналіз контрольної роботи. Квадратний тричлен

57. Квадратний тричлен.

      Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники

58. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних

59. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних

60. Розв’язування  дробових раціональних рівнянь

61. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

62. Розв’язування задач за допомогою дробових 

      раціональних рівнянь

63.Узагальнення і систематизація знань. 

     Підготовка до контрольної роботи

64. Тематична контрольна робота № 6 з теми 

      «Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних»

Повторення навчального матеріалу з курсу алгебри 8-го класу

(5 годин)

65. Раціональні вирази

66. Квадратні корені. Дійсні числа

67. Квадратні рівняння і раціональні рівняння

68. Текстові і прикладні задачі

69. Підсумкова контрольна робота 

70. Підсумковий урок

Функція у = х2 та її графік

Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел.

Область значень — множина всіх невід’ємних чисел.

Графіком функції є парабола. Парабола — це крива, яка має дві вітки, що з’єднуються в точці, яка називається вершиною параболи.

Графік перетинає вісь ординат у точці з абсцисою 0.

Графік дотикається до осі абсцис.

Графік функції розміщується в першій і другій координатних чвертях.

Графік функції симетричний відносно осі ординат.

При від’ємних значеннях змінної x функція спадна. При додатних значеннях змінної x функція зростаюча.

При нульовому значенні змінної x значення функції y дорівнює нулю: x = 0, y = 0.

Якщо значення аргументу є протилежними числами, то значення функції в цих точках дорівнюють одне одному.

Щоб побудувати графік функції у = х2, достатньо знайти значення функції при декількох додатних значеннях аргументу і х = 0; провести вітку параболи через одержані точки, після чого відобразити її симетрично відносно осі ординат.

Квадратний корінь. Арифметичний квадратний корінь.

Рівняння х2 = а

Квадратним коренем із числа a називається число, квадрат якого дорівнює a.

Арифметичним квадратним коренем із числа a називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює a. Читаємо — «корінь квадратний з a».Знаком арифметичного квадратного кореня слугує радикал . Число a називається підкореневим виразом ().

Не існує кореня квадратного з від’ємного числа.

Якщо корінь квадратний із числа a має смисл, то квадрат цього кореня дорівнює самому числу a:.

Корінь квадратний із нуля дорівнює нулю: .

Історичні відомості

Поняття квадратного кореня з чисел відоме ще з часів стародавніх Вавилону та Єгипту, де були знайдені правила для їх наближеного обчислення.

Щоб розв’язати рівняння х2 = а, скористаємося спочатку графічним способом.

Для графічного розв’язання рівняння х2 = а необхідно побудувати графік функції y = x2 і графік функції y = a. Абсциси точок перетину побудованих графіків будуть розв’язками рівняння.

Кількість розв’язків залежить від положення прямої y = а, яка паралельна осі абсцис.

Якщо a від’ємне, то пряма лежить у третій і четвертій координатних чвертях і не перетинає параболу. Тоді рівняння розв’язків не має.

Якщо a дорівнює нулю, то пряма співпадає з віссю абсцис. Тоді рівняння має один розв’язок x = 0.

Якщо a додатне, то пряма лежить у першій і другій координатних чвертях і перетинає параболу у двох точках. Тоді рівняння має два розв’язки  .

Для аналітичного способу розв’язання рівняння х2 = а запам’ятайте:

1) якщо а — від’ємне число, рівняння коренів не має;

2) якщо а дорівнює нулю, то корінь рівняння — нуль;

3) якщо а — число додатне, то рівняння має два корені.

Множина

Множину можна уявити собі як сукупність деяких об’єктів, що об’єднані за якоюсь ознакою. У математиці множини — це одне з основних неозначуваних понять.

Кожний об’єкт, що входить до мно­жини А, називається елементом цієї множини.

Зазвичай елементи позначають малими латинськими літерами: a, b, c, d тощо.

Якщо a належить множині A, то пишуть a ∈ A (читають: «a належить множині A»). Якщо b не належить множині A, то пишуть b ∉ A (читають: «b не належить множині A»).

Множина, що не містить жодного елемента, називається порожньою множиною і позначається ∅.

Дві множини A і B називають рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний елемент множини A належить множині B, і навпаки, кожний елемент множини B належить множині A.

Якщо множини A і B рівні, то пишуть A = B.

З означення випливає, що множина однозначно визначається своїми елементами.

Для ілюстрації співвідношень між множинами використовують схеми, які називають діаграмами (кругами) Ейлера-Венна.

Підмножина

Якщо кожен елемент однієї множини A є елементом другої множини B, то кажуть, що перша множина A є підмножиною другої множини B і записують так: A ⊂ B.

Використовують також запис A ⊆ B, якщо множина A або є підмножиною множини B, або дорівнює множині B.

Операції над множинами

Перетин (переріз) множин

Перетином множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині A, і множині B. Перетин множин A і B позначають так: A∩B.

Об’єднання множин

Об’єднанням множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин: або множині A, або множині B. Об’єднання множин A і B позначають так: A∪B.

Різниця множин

Різницею множин А і В називається множина, яка складаєть­ся з усіх елементів, які належать множині А і не належать мно­жині В. Різницю A і B позначають так: A∖B.

Доповнення множини

Якщо всі множини, які ми розглядаємо, є підмножинами якоїсь так званої універсальної множини U, то різниця U \ A називається доповненням множини A. Тобто доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А (але які належать універсальній множині U)

Арифметичний квадратний корінь із добутку, дробу і степеня. Добуток і частка квадратних коренів. Тотожність 

Корінь квадратний із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів квадратних із цих множників. . Добуток коренів квадратних із невід’ємних чисел дорівнює кореню квадратному з добутку підкореневих виразів.

Корінь квадратний із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню квадратному з чисельника дробу, поділеному на корінь квадратний зі знаменника дробу. Частка коренів квадратних із додатних чисел дорівнює кореню квадратному з частки підкореневих виразів.

Корінь квадратний зі степеня невід’ємного числа дорівнює степеню цього числа з показником, удвічі меншим за даний. N-ий степінь кореня квадратного з числа a дорівнює кореню квадратному з n-ого степеня підкореневого виразу.

Корінь із квадрата будь-якого числа дорівнює модулю цього числа.

Модуль будь-якого виразу дорівнює кореню квадратному з квадрата цього виразу.

Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені

1) Винесення множника з-під знака кореня

Якщо задано квадратний корінь із добутку, що містить множники, які є парними степенями змінних, то такі множники можна виносити з-під знака кореня. При цьому одержимо добуток модуля цього множника у степені, удвічі меншому за даний, на корінь квадратний із множників із непарними показниками степеня.

Якщо показник степеня деякого множника непарний, але більший за три, то його можна розкласти на множники, які є степенями з тією ж основою і показниками, що в сумі дорівнюють заданому показнику степеня.

2) Внесення множника під знак кореня

Якщо дано вираз, що є добутком множників, деякі з яких не знаходяться під коренем квадратним, то такі множники можна внести під знак кореня множником, степінь якого буде вдвічі більшим за даний.

3) Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу

Щоб звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу, треба чисельник і знаменник помножити на вираз, спряжений зі знаменником. При цьому враховуйте, що:

- для кореня квадратного з числа a спряженим буде корінь квадратний із числа a;

- для суми коренів квадратних із чисел a і b  спряженим буде різниця коренів квадратних із чисел a і b ;

для різниці коренів квадратних із чисел a і b спряженим буде сума коренів квадратнихі з чисел a і b .

Зверніть увагу!

Треба слідкувати, щоб вираз, який залишається під коренем, був невід’ємним.

Функція у дорівнює кореню із х, її графік і властивості

Область визначення функції  є множина всіх невід’ємних чисел x.

Область значень функції — множина всіх невід’ємних чисел у.

Графік лежить лише в першій координатній чверті.

Для нульового значення змінної х значення функції у дорівнює нулю. Графік проходить через початок координат.

На всій області визначення функція є зростаючою. Ця властивість використовується при порівнянні квадратних коренів із чисел.

Більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Корінь квадратний із більшого числа є більшим, і, навпаки, корінь квадратний із меншого числа є меншим.

Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв’язування

Квадратним називається рівняння вигляду ax2 + bx + c, де х — змінна, а, b і c — деякі числа-коефіцієнти, при цьому a ≠ 0. Ліва частина такого рівняння містить многочлен, який називається квадратним тричленом.

Коефіцієнт a при x2 називається першим коефіцієнтом; коефіцієнт b при x називається другим коефіцієнтом; число c називається вільним членом.

Квадратне рівняння називається зведеним, якщо перший коефіцієнт його дорівнює одиниці. Будь-яке квадратне рівняння можна привести, поділивши його ліву і праву частини на перший коефіцієнт.

Якщо у квадратного рівняння другий коефіцієнт або вільний член дорівнюють нулю, то рівняння стає неповним.

Якщо і другий коефіцієнт, і вільний член дорівнюють нулю, отримаємо рівняння вигляду ax2 = 0. Воно має один корінь, який дорівнює нулю.

Якщо вільний член дорівнює нулю, а другий коефіцієнт нулю не дорівнює, отримаємо рівняння вигляду ax2 + bx = 0. Для його розв’язання виносимо за дужки x, тоді хоча б один із множників — x або той, що залишився в дужках ax + b — дорівнює нулю. Рівняння має два корені: x = 0  або .

Якщо другий коефіцієнт дорівнює нулю, а вільний член не дорівнює нулю, отримаємо рівняння вигляду ax2 + c = 0. Перенесемо вільний член до правої частини рівняння і поділимо на перший коефіцієнт. Одержимо рівняння . Таке рівняння не має коренів, якщо його права частина від’ємна, тобто якщо перший коефіцієнт і вільний член мають однакові знаки. Якщо права частина одержаного рівняння невід’ємна, тобто перший коефіцієнт і вільний член мають різні знаки, то рівняння має два корені: .

Формула коренів квадратного рівняння

Дискримінантом квадратного рівняння називається вираз, що дорівнює різниці квадрата другого коефіцієнта і добутку першого коефіцієнта та вільного члена, помноженого на чотири. Дискримінант позначається великою латинською буквою D : D = b2 - 4ac.

Корені повного квадратного рівняння знаходять за формулою .

Якщо дискримінант квадратного рівняння додатний, то рівняння має два корені.

Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то рівняння має один корінь, який дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком і поділеному на подвоєний перший коефіцієнт: .

Якщо дискримінант квадратного рівняння від’ємний, то рівняння не має коренів.

Теорема Вієта

Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Теорема, обернена до теореми Вієта.

Якщо деякі два числа такі, що їхня сума дорівнює другому коефіцієнту зведеного квадратного рівняння, узятому з протилежним знаком, а їхній добуток дорівнює його вільному члену, то дані числа є коренями цього зведеного квадратного рівняння.

За допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта, можна підбирати корені зведених квадратних рівнянь. Наприклад, щоб знайти корені рівняння

х2 – 6х + 5 = 0, розмірковуємо так:

1) добуток коренів дорівнює вільному члену рівняння, тобто 5, отже, це можуть бути числа 1 і 5;

2) їхня сума дорівнює 6, що є протилежним до другого коефіцієнта заданого квадратного рівняння;

3) тоді числа 1 і 5 є коренями цього рівняння.

Якщо вільний член додатний, то корені мають однакові знаки. Якщо вільний член від’ємний, то корені мають різні знаки. 

Квадратний тричлен, його корені.

Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники

Квадратним тричленом називається многочлен вигляду ax2 + bx + c, де x — змінна, a, b і c — деякі числа-коефіцієнти, при цьому a ≠ 0. Коренями квадратного тричлена називаються числа, при яких тричлен дорівнює нулю.

Отже, щоб знайти корені квадратного тричлена, треба скласти відповідне йому квадратне рівняння (у лівій частині даний тричлен, у правій — нуль) і розв’язати його. Корені квадратного рівняння будуть коренями відповідного квадратного тричлена.

Якщо числа x1 і x2 є коренями деякого квадратного тричлена, то його можна розкласти на три множники, один із яких є першим коефіцієнтом тричлена при x2, а два інші є різницею змінної x і кожного з коренів тричлена: ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

Якщо квадратний тричлен має один корінь, то його можна розкласти на множники, один із яких є першим коефіцієнтом, а другий є квадратом різниці змінної x і кореня тричлена: ax2 + bx + c = a(x - x1)2.

Якщо тричлен коренів не має, то його не можна розкласти на лінійні множники.

1.    Приклади рівнянь, що зводяться до квадратних шляхом уведен­ня нової змінної (заміною змінних). Як розв'язувати такі рів­няння?

2. Яке рівняння називають біквадратним рівнянням? Як розв'язати біквадратне рівняння?

3.    *Як розв'язати рівняння виду  (х + а)(х + b)(х + с)(х + d) = A,  де a + d = b + c?

4.    Повторення: яке рівняння називається дробово-раціональним? Чим відрізняється дробово-раціональне рівняння від цілого?

5.    Схема розв'язання дробово-раціонального рівняння загального ви­ду, що зводиться до квадратного.

Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних

Рівняння вигляду ax4 + bx2 + c = 0, називається біквадратним. Таке рівняння розв’язують, зводячи його до квадратного.

Для цього квадрат змінної x позначають іншою буквою і говорять, що вводять нову змінну. Тоді квадрати змінної x замінюють новою змінною і одержують квадратне рівняння відносно нової змінної. Розв’язують його, знаходячи значення нової змінної. Після цього повертаються до заданої змінної, надаючи по черзі її квадрату знайдених значень. З одержаних рівнянь знаходять значення заданої змінної, які і є коренями рівняння.

Якщо новою змінною позначають парний степінь заданої змінної, то нова змінна не може набувати від’ємних значень.

До квадратного можна звести рівняння й інших степенів. Наприклад, (х + 1)6 – 9(х + 1)3 + 8 = 0.

Позначимо за у куб суми (х + 1). Тоді рівняння набуває вигляду: у2 – 9у + 8 = 0.

Корені цього рівняння — 1 і 8.

Якщо у = 1, то (х + 1)3 = 1 (куб суми ікс і одиниці дорівнює одиниці), звідки х + 1 = 1, тоді х = 0.

Якщо у = 8, то (х + 1)3 = 8, звідки х + 1 = 2, тоді х = 1.

Програмою з математики в розділі «Рівняння, що зводяться до квадратних передбачено вивчення способів розв'язування цілих рівнянь, що зводяться до квадратних шляхом введення нової змінної, а також дробово-раціональних рівнянь.

Що стосується біквадратних рівнянь, то їх можна розглядати як особ­ливий випадок рівнянь, що, на відміну від інших подібних рівнянь, у біквадратних рівняннях завжди «спрацьовує» заміна х2 = t.

Введення нової змінної для переходу від даного рівняння до квадратного, слід вимагати від учнів враховувати кілька важливих моментів:

· якщо вводити заміну то тільки ефективну (щоб у результаті переходу до нової змінної рівняння з неквадратного перетворилось на квадратне);

· розв'язувати новоутворене квадратне рівняння відносно його змінної (типова помилка - виконання подібних записів: t2 + 4t + 3 = 0,

х1 = -1, х2 = -3);

· обов'язковим етапом розв'язування рівняння шляхом введення но­вої змінної є виконання оберненої заміни (звісно, у випадку, коли рівняння, здобуте після заміни, має корені).

1.    Загальна схема розв'язання задачі на складання рівнянь.

2.    Приклади задач на складання квадратного рівняння.

3.    Загальна схема розв'язання задачі на складання дробових рівнянь.

4.    Приклади задач на прямолінійний рівномірний рух, що розв'язу­ються складанням ДРР.

5. Розв'язування задач на сумісну роботу.

1) Позначити одну з величин буквою; виразити інші невідомі величини.

2) Використавши дані в умові задачі величини (або співвідношення між

ними), скласти рівняння.

3) Розв'язати складене рівняння.

4) Розтлумачити знайдені корені рівняння відповідно до умови задачі. За­писати відповідь.

Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь та рівнянь, які зводяться до квадратних

При розв’язанні задач за допомогою рівнянь діють за таким алгоритмом:

1) Позначають деяку невідому величину буквою.

2) Складають буквений вираз за умовою задачі.

3) Складають рівняння на основі буквеного виразу та умов задачі.

4) Розв’язують одержане рівняння. Надають величині, яку позначали буквою, знайденого значення.

5) Перевіряють результат на відповідність умовам задачі.

6) Записують відповідь щодо шуканих величин.

Зазвичай у задачах ідеться не про математичні об’єкти. Такі задачі називають прикладними. Тоді складають математичну модель задачі, у якій ідеться про математичні поняття.

Розв’язання прикладних задач методом математичного моделювання складається з трьох етапів:

- формування математичної моделі задачі;

- розв’язання відповідної математичної задачі;

- аналіз одержаних результатів.

У прикладних задачах, коли йдеться не про математичні об’єкти, величини набувають додатних значень. Оскільки квадратне рівняння може мати і від’ємні корені, слід на початку розв’язання задачі встановлювати умову на змінну і перевіряти на виконання умови знайдені корені рівняння

• знайти корені квадратного тричлена та розкласти квадратний три­член на множники за формулою;

• скоротити раціональний дріб, чисельник та (або) знаменник якого містить квадратні тричлени, розклавши їх попередньо на множники за формулою;

• розв'язати біквадратне (дробово-раціональне, рівняння вищого сте­пеня), що зводиться до квадратного за певним алгоритмом;

• скласти та розв'язати відповідно до умови текстової задачі рівняння, що зводиться до квадратного.