Теорія 

Розділ 1. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості. Взаємне розміження прямих на площині

1. Геометричні фігури. Точка, пряма, промінь

2. Відрізок.  Вммірювання та відкладання відрізків. Відстань між двома точками

3. Кут. Вимірювання та відкладання кутів. Бісектриса кута

4. Паралельні прямі

5. Суміжні кути  та їхні властивості

6. Вертикальні кути та їхні властивості Перпендикулярні прямі. Кут між двома прямими

Розділ 2. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

7. Трикутник і його елементи. Рівність геометричних фігур

8. Перша ознака рівності трикутників та її застосування

9. Перпендикуляр до прямої. Відстань від точки до прямої

10. Друга ознака рівності трикутників та її застосування

11. Види трикутників. Рівнобедрений трикутник, його властивість та ознака

12. Медіана, бісектриса й висота трикутника. Властивості та ознаки рівнобедреного трикутника, прв`язані з ним

13. Третя ознака рівності трикутників та її застосування

1.  Перпендикулярні та паралельні прями

2. Координатна площина

Перпендикулярні та паралельні прямі

   Дві прямі на площині називаються  перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом

   Дві прями на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Координатна площина

   Проведено на площині дві перпендткулярні прями. Ці прями називають осями координат, точку О їхнього перетину - початком координат. Горизонтальну вісь називають віссю абсцис і позначають буквою х, вертикальну вісь називають віссю ординат і позначають буквою у.  Таку систему координат називають прямокутною системою координат або декартовою. Площину,  на якій задано прямокутну систему координат, називають координатною площиною.

   Кожній точці на площині можна поставити у відповідність пару чисел, взятих у певному порядку, і навпаки, кожній парі чисел відповідає єдина точка координатної площини. Така упорядкована пара чисел називається координатами точки в даній системі координат. Коротко записують: М(х;у), А(3;2). Читають: "Точка М з координатами х і у", "Точка А з координатами 3 і 2" або "3 - абсциса точки А, 2 - її ордината".

*****

Жила собі на світі маленька дівчинка. Її звали Герда. Їй було 10 років, вона дуже боялась темряви. А одного разу вона пішла прогулятися і зайшла дуже далеко від дому. Дівчинка злякалася і чимдуж побігла вперед.. А оскільки вона боялася темряви, а вже вечоріло, вона злякалася іще більше. Герда ішла і озиралася на всі боки і раптом перед нею з’явилася арка. Вона була вся різнокольорова і переливалася навіть у темряві. Дівчинка зайшла в ту арку і опинилася у дивовижній країні. Там будинки, дерева й навіть люди-усе було у формі різних геометричних фігур. Герда дуже здивувалася і запитала у чоловіка, який проходив поруч, куди вона потрапила.

·        Дівчинко, ти знаходишся у столиці країни Геометрії. Яка називається Овал, - сказав чоловік.

·        Але яким чином я тут опинилася? – стала Герда. – Я ніби – то зайшла в арку.

·        Правильно, - відказав чоловік.. Ти зайшла в одну із п’ятдесяти арок, які ведуть сюди.

·        Дивно, а я навіть  і не знала, що існує така країна, - здивувалась дівчинка. А як звідси вибратися? Бо вже темніє і мені треба йти додому, - злякалась Герда.

·        Повернути тебе у світ людей може тільки королева Геометрії – Геометрія. Її палац знаходиться недалеко звідси, - відказав чоловік.

·        А хіба вашу королеву звуть так, як і країну? – запитала дівчинка.

·        Так, це на її честь так назвали нашу країну. Наша королева безсмертна, бо в неї є чудодійний напій, який зробив учений Паралелепіпед. І тепер за його прикладом роблять і інші.

·        Я зрозуміла, а як дійти  до палацу Геометрії, Ви не знаєте дороги? – запитала Герда.

·        Так, знаю. Треба йти по цій дорозі вперед, а потім при першій нагоді звернути направо. Потім треба знову звернути направо і зайти в тунель і йти, йти, йти, аж поки не скінчиться тунель. Далі треба йти прямо, доки не побачиш браму, постукати 3 рази і тоді відчинять.

·        Гаразд, дякую, дядечку. Бувайте. – подякувала Герда і пішла.

Вона ішла вперед, ішла, потім звернула направо, як сказав чоловік. Потім звернула направо і йшла по тунелю. Вона пішла далі, вийшла з тунелю і попрямувала вперед по дорозі. Дійшовши до брами, вона тричі постукала. Їй відчинили і повели до королеви.

·        Чого ти хотіла, дівчинко? – запитала Геометрія.

·        Ваша величносте, я б хотіла попрохати Вас відправити мене додому, у світ людей.

·        Тож ти зі світу людей? Гаразд, я тебе відправлю, - сказала Геометрія. – Але  спочатку мені треба переговорити з радником, почекай за дверима.

Герда вийшла за двері.

·        Раднику, Ви знаєте, що люди не мають знати про те, що існує інший світ. Може, у Вас є ідеї, щодо цього, як відправити дитину у її світ, щоб вона не розповіла більше нікому?

·        Я думаю, Ваша величносте, що треба відправити її так, щоб вона прокинулася у себе вдома і подумала, що це був сон.

·        Чудова ідея, до того ж дуже проста, - відповіла королева. Я так і зроблю. Покличте дівчинку.

Піддані покликали Герду до Геометрії.

·        Дівчинко, - сказала Геометрія, я відправлю тебе додому, але випий це зілля перед поверненням додому. Воно допоможе тобі скоріше повернутися, - відказала королева.

Герда випила, і її закрутило у вихорі, і вона прокинулася у себе вдома (а був уже ранок). Вона встала і подумала, що це був просто чудовий сон, і пішла розповідати його мамі.

Герда зайшла в невідому для неї країну. Ця країна називається Математика. Дівчинка розгубилася. Її знайшли жителі цієї країни. Країна Математика мала форму кола. Герда стояла у центрі кола. Ніхто з жителів не знав, яка довжина їх країни. Дівчинка запропонувала їм свою допомогу. Вона відмотала мотузку обв’язала кругом себе. Дійшовши до краю кола вона попросила чарівника 2π допомогти мешканцям знайти довжину країни. «Довжина великої чарівної країни дорівнює 2π помножити на радіус» - голосно мовила Герда.

Виникнення геометрії сягає глибокої давнини і було обумовлено практичними потребами людської діяльності (необхідністю вимірювання земельних ділянок, вимірювання об'ємів різних тіл і т. д.).

Найпростіші геометричні відомості і поняття були відомі ще в Давньому Єгипті. У цей період геометричні твердження формулювалися у вигляді правил, які даються без доказів.

З VII століття до н. е. по I століття н. е. геометрія як наука бурхливо розвивалася в Стародавній Греції. У цей період відбувалося не тільки накопичення різних геометричних відомостей, а й відпрацьовувалася методика доказів геометричних тверджень, а також робилися перші спроби сформулювати основні первинні положення (аксіоми) геометрії, з яких чисто логічними міркуваннями виводиться безліч різних геометричних тверджень. Рівень розвитку геометрії в Стародавній Греції відображений у творі Евкліда «Начала».

У цій книзі вперше була зроблена спроба дати систематичну побудову планіметрії на базі основних невизначених геометричних понять і аксіом (постулатів).

Особливе місце в історії математики займає п'ятий постулат Евкліда (аксіома про паралельні прямі). Довгий час математики безуспішно намагалися вивести п'ятий постулат з інших постулатів Евкліда і лише в середині XIX століття завдяки дослідженням М. І. Лобачевського, Б. Рімана і Я. Бояї стало ясно, що п'ятий постулат не може бути виведений з інших, а система аксіом, запропонована Евклідом, є не єдино можлива.

«Начала» Евкліда справили величезний вплив на розвиток математики. Ця книга протягом більш ніж 2-х тисяч років була не тільки підручником з геометрії, але і служила відправним пунктом для дуже багатьох математичних досліджень, в результаті яких виникли нові самостійні розділи математики.

Систематична побудова геометрії зазвичай проводиться за таким планом:

I. Перераховуються основні геометричні поняття, які вводяться без визначень.

II. Дається формулювання аксіом геометрії.

III. На основі аксіом та основних геометричних понять формулюються інші геометричні поняття і теореми.

Джерело:  А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».

        1°. З історії розвитку геометрії, будова геометрії.

2°. Точка і пряма.

3°. Властивості точок і прямих.

а) Властивість належності точок і прямих;

б) аксіома проведення прямої;

в) аксіома розміщення точок на прямій.

Планіметрія - розділ геометрії, у якому розглядаються фігури на площині. ( від латинського "планум" - площина і грецького "метрео" - вимірюю).

Аксіома - твердження, що беруться як вихідні й не потребують обґрунтування (від грецького "аксіос" - загальноприйнятий, безперечний, який не викликає  сумніву).

Основні геометричні фігури на площині: точка, пряма.

Аксіома проведення прямої: через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Аксіома розміщення точок на прямій: із трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими. 

Променем (або півпрямою) називається частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, які лежать по один бік від деякої даної на ній точки, а також самої цієї точки. Дана точка називається початковою точкою або початком променя.

Два різні промені однієї прямої зі спільною початковою точкою називаються доповняльними променями.

Геометрія являється одним із основних розділів математики. Походження даної науки сягяє тисячі років у минуле. Давайте розглянем деякі цікаві факти про геометрію: 

• Давньогрецький вчений Ератосфен за законами геометрії знайшов довжину екватора Землі. Замітивши, що коли Сонце знаходиться в зеніті в Сієні (Африка), то в Александрії розташованій на 800 м, воно відклоняється на 7 градусів. Вчений встановив, що довжина екватора дорівнює: 360 / 7 * 800 = 41 140 (км)  

• В пристарілому віці англійський математик Абрахам де Муавр якось дослідив, що тривалість його сну з кожним днем росте на 15 хвилин. Склавши геометричну прогресію, Абрахам визначив дату своеї смерті. Це була дата — 27 жовтня 1754 року, сон досягнув 24-х годин.  

• Трикутник Рело — геометрична фігура, сформована перетином трьох рівних кругів радіусу а з центрами у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною а. Сверло, виготовлене на основі трикутника Рело, дає можливість сверлити квадратні отвори з похибкою в 2%. 

• Бермудський трикутник! Він отримав таку назву в 50-х роках через географічне розташування точок (вершин трикутника), всередині яких, згідно з існуючою теорією, виникали пов’язані з ним аномалії. Вершинами Бермудського трикутника виступають Бермудські острови, Флорида і Пуерто-Ріко. А чи відомо вам, що в теорії Лобачевського при додаванні кутів трикутника їх сума завжди має результат менший, ніж 180º. В геометрії Рімана, сума всіх кутів трикутника більше 180º, а в працях Евкліда вона дорівнює 180 градусам.

1°. Означення відрізка; його елементи та позначення.

2°. Означення рівних відрізків. Середина відрізка.

3°. Довжина як міра відрізка, одиниці вимірювання відрізків.

4°. Аксіома вимірювання відрізків.

Відрізком називається частина прямої, що складається з двох даних точок цієї прямої (кінців відрізка) й усіх точок, що лежать між ними.

Два відрізки називаються рівними, якщо вони суміщаються накладанням.

Серединою відрізка називається точка відрізка, що ділить його навпіл.

Аксіома вимірювання відрізків: кожний відрізок має певну довжину, що виражається додатним числом у заданих одиницях вимірювання. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які відрізок ділиться будь-якою його точкою.

Аксіома відкладання відрізків: на будь-якому промені від його початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і тільки один.

    Англійський письменник ХІХ ст.Томас Майн Рід написав для дітей і юнацтва 22 пригодницьких романи під псевдонімом «Капітан Майн Рід». Сучасники письменника відзначали: «Його книги є зразком того, якими мають бути книги для підлітків». Любителю пригод із роману «Морське вовченя» довелося вирішувати таку задачу: він визначив запаси води, що зберігалася в одній з бочок. Щоб обчислити об'єм бочки, треба було якомога точніше виразити її розміри в футах і дюймах. Але у хлопчика ні лінійки, ні будь-якої іншої шкали для вимірювання. Тим не менше він знайшов вихід з цієї ситуації: «Я сам був одиницею виміру! Я ще на пристані зміряв свій зріст і встановив, що в мені майже повних чотири фути. Я зможу відміряти цю довжину на палиці, і таким чином у мене з’явиться чотирифутова мірка ... Як же розділити чотирифутову палицю на дюйми і нанести їх на неї? ... Зізнаюся, що я кілька хвилин сидів і думав, зовсім спантеличений. Втім, це тривало недовго; скоро я знайшов спосіб подолати і цю перешкоду. Ремінці від черевиків - ось що послужить мені лінійкою!». Виконавши ряд простих дій з двома шкіряними ремінцями, герой Майн Ріда розділив їх на відрізки довжиною один фут, чотири, два і один дюйм. З їх допомогою він позначив ножем поділки на палиці, тобто перетворив її на інструмент для вимірювань. Як хлопчик розділив ремінці від черевиків на частини потрібної довжини? Ось відповідь, подана автором роману: «Я взяв обидва шнурка і зв'язав їх міцним вузлом. Вийшов ремінець більш ніж в чотири фути завдовжки.  Приклавши його до чотирифутової лінійки, я обрізав лишок, щоб в ремінці було рівно чотири фути. Впевнившись, що ремінець точно відповідає чотирифутовій лінійці, я склав його кінці докупи і, простягнувши між стиснутими пальцями, знайшов середину. Міцно тримаючи ремінець, я розрізав його в місці згину і таким чином розділив на дві половини однакової довжини, кожна по два фути. Ту половину, де був вузол, я відклав убік, бо вона мені була вже не потрібна, а ту половину, що залишилась, я знову склав удвоє і розрізав. Тепер у мене вже було два відрізки ремінця, кожний довжиною в один фут. Один з цих маленьких ремінців я склав утроє, притиснув пальцями і розрізав… мені пощастило розділити шворку на три частини… однакової довжини. Розрізаючи ремінець на три частини, я хотів одержати кусочки довжиною в чотири дюйми кожний, щоб потім, склавши чотиридюймовий кусочок вдвічі, мати міру в один дюйм… Тепер я мав у своєму розпорядженні міру: … кусочки ремінця довжиною один фут, чотири дюйми, два дюйми і один дюйм. З їх допомогою я наніс всі ці відрізки на чотирифутову планку, перетворивши її в щось подібне до аршина, яким користуються торговці тканинами». 

1°. Означення кута. Елементи кута. Позначення кутів.

2°. Внутрішня область кута. Промінь, що ділить кут на два кути.

3°. Розгорнутий кут та його внутрішня область.

4°. Рівність кутів. Бісектриса кута.

5°. Вимірювання кутів: одиниці вимірювання, аксіома вимірювання.

6°. Аксіома відкладання кутів; порівняння кутів за градусною мірою.

7°. Види кутів.

Кутом називається геометрична фігура, що складається з двох променів (сторін кута), які виходять з однієї точки (вершин кута).

Два кути називаються рівними, якщо вони суміщаються накладанням.

Бісектрисою кута називається промінь,що виходить із вершини кута й ділить кут навпіл.

Аксіома вимірювання кутів: кожний кут має градуснуміру, що виражається додатним числом. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Якщо промінь ділить даний кут на два кути, то градусна міра даного кута дорівнює сумі градусних мір двох отриманих кутів.

Аксіома відкладання кутів: від будь-якого променя даної прямої можна відкласти в заданий бік від прямої кут із заданою градусною мірою, меншою за 180°,  і тільки один.

Види кутів:

розгорнутий кут, що дорівнює 180° ;

прямий кут, що дорівнює 90° ;

гострі кути, менші за 90° ;

тупі кути, більші за 90° ,  але менші за 180° .

Чи знаєте ви, що Шарль Перро, автор «Червоної Шапочки», написав казку «Любов циркуля і лінійки»?

      Чи знаєте ви, що Наполеон Бонапарт писав математичні роботи і один геометричний факт називається «Задача Наполеона»?

Чи знаєте ви, що всі сучасні підручники з геометрії укладено на основі відомих «Начал» Евкліда, які написані в IV ст. до н. є.?

Чи знаєте ви, що О. С. Пушкін написав такі рядки: «Натхнення потрібне в геометрії, як і в поезії»?

Чи знаєте ви, що великий Евклід сказав царю Птолемею: «В геометрії немає царської дороги»?

1°. Уявлення про випадки взаємного розташування двох прямих на площині.

2°. Означення паралельних прямих.

3°. Паралельні відрізки, паралельні промені.

        4°. Аксіома паралельних (Евкліда 

Дві прямі на площині називаються паралельними (від грецького слова "паралелос" - той, що йде поряд), якщо вони не перетинаються.

Два відрізки називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.

Аксіома паралельних прямих (аксіома Евкліда): через точку, що не лежить на прямій, можна провести не більш ніж одну пряму, паралельну даній.

Теоремою (від грецького "теорео" - розглядаю, обмірковую)називаються твердження, справедливість якого встановлюється шляхом доведення.

Теорема про дві прямі, паралельні третій: дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Теорема складається з двох частин: те, що дано (умова), і те, що треба довести (висновок).

Схема доведення від супротивного

1. Припущення:  припускаємо, умова теореми справджується, а висновок - ні.

2. Міркування: міркуємо, спираючись на аксіоми та  раніше доведені теореми.

3. Суперечність: отримуємо нове твердження, що суперечить або даній умові, або одній з аксіом, або раніше доведеній теоремі.

4. Висновок: переконуємося, що наше припущення хибне, тобто дане твердження є правильним.

1°. Уявлення про суміжні кути. Означення.

2°. Теорема про суму суміжних кутів та її доведення.

Два кути називаються суміжними, якщо вони мають спільну сторону, а інші сторони цих кутів є доповняльними променями.

Теорема про суміжні кути:  сума кутів дорівнює 180° .

Наслідки з теореми про суміжні кути

1. Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.

2. Два кути, суміжні з одним і тим самим кутом, рівні.

3. Кут, суміжний із прямим кутом, також прямий. Кут, суміжний із тупим кутом, гострий. Кут, суміжний із гострим кутом, тупий.

Жили собі Суміжні кути. Дружно жили, адже мали чудову властивість: разом вони завжди дорівнювали 180о. це було головне для суміжних кутів, вони пишалися такою властивістю. Особливо дружними були ті сторони суміжних кутів, які доповнювали одна одну до прямої. Вони так і називалися – Доповняльні.

Гарно і цікаво їм було вдвох: вони розмовляли, гралися, шепотіли і сміялися. А третя пів пряма, яка була спільною стороною Суміжних кутів, ображалася, вона думала, що сміються з неї. Вона шукала у собі недоліки, а коли їх не знаходила, то ще більше ображалася і засмучувалася. А Доповняльні пів прямі зовсім з неї не насміхалися: їм просто було добре вдвох на одній прямій. Вони вирішили допомогти своїй сусідці – запросити до неї родичку – Доповняльну пів пряму. Як вирішили, так і зробили. 

Дві нові півпрямі одна одній сподобалися, утворили свою пряму, і також почали весело розмовляти, шепотіти і посміхатися.

Але перші дві сторони побачили, що зробили щось дивне. Зовсім змінився їх малюнок. Коли вони його вивчили, то у кожного даного кута є кут, що йому дорівнює.

Отже, запросивши подругу, Кути стали удвічі багатшими. Ось що дає дружба! І почали всі Пів прямі весело розмовляти з подвійною енергією. Та не знали вони, що нові кути мають іншу назву. Їх називали вертикальними, а хто шукав там суміжні кути, то їх стало аж чотири пари.

Тільки дружба і турбота можуть зробити таке диво!

1°. Означення вертикальних кутів.

2°. Теорема про вертикальні кути з доведенням.

3°. Означення перпендикулярних прямих; перпендикулярні відрізки та промені.

4°. Теорема про дві прямі, перпендикулярні до третьої.

5°. Застосування теореми про дві прямі, паралельні третій для побудови паралельних прямих за допомогою косинця і лінійки 

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними променями сторін другого.

Теорема про вертикальні кути: вертикальні кути рівні.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Кутом між двома прямими, що перетинаються, наазивається менший із кутів, що утворилися в результаті перетину цих прямих.

Теорема про дві прямі, перпендикулярні до третьої: дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.

Бал у Планіметрії

— Усім! Усім! Усім! — лунало з усіх боків оголошення про королівський бал у країні Планіметрія.

— Запрошуємо всіх на бал!

— Усім! Усім! Усім!

Давно не було свята в працелюбній країні Планіметрії, тому всі її мешканці з радістю зібралися на Площині, яку обрали для проведення балу. Ішли цілими родинами, щоб показати, які їхні родини великі та дружні. Це був не звичайний рух, а справжній парад.

Ось ідуть, стрибаючи з вершини на вершину, різні трикутники. Їх так багато, і всі вони такі різноманітні за Кутами і Сторонами, що строкатіло в очах.

З іншого боку вийшли поважно в три колони чотирикутники. Вони поділилися на паралелограми, трапеції та інші чотирикутники.

За ними рухалися многокутники, у яких було більш ніж чотири вершини. Вони також побудували колони: опуклі многокутники і неопуклі. Останні мали такі чудові фігури, що їх зустрічали оплесками.

А ось викотилися, як близнюки, круги і кола. Вони котилися, як фігуристи, виконуючи різні піруети.

Раптом усі розступилися, ішла еліта Планіметрії: правильні многокутники. Їх усі поважали за чудові фігури і, головне, властивості. Усі пишалися, що від кожної родини там був представник. Тільки кола і круги не звернули увагу на цю еліту, тому що вони вважали свої фігури більш правильними. Круги і кола продовжували крутитися, як еквілібристи на арені цирку.

І ось заграла музика, закликаючи на танці. Спочатку на танець виходили окремі фігури, але щомиті танцюристів ставало більше і більше. Уже не по одному, а парами танцювали з кожної родини. За сигналом ведучого змінювалися пари і складалися інші, з різних фігур. Одні знаходили спільну мову, вписувалися одна в одну, описували, і тоді їхнім розмовам не було кінця. Інші тільки дотикалися, і при зміні музики розбігалися в різні боки шукати нову пару. Усім було дуже весело і цікаво.

Оддалік від Площини, де проводився бал, зібралися точки, прямі та частини прямих: відрізки, промені. Вони не пішли на бал, сиділи похмурими-похмурими й мовчали, не звертаючи уваги на веселу музику, сміх, танці. Раптом почувся якийсь гам. Це запізнилася на бал велика родина Кутів. Вони швидко стрибали на своїх вершинах, щоб не заплутатися в сторонах, які були нескінченні, тому що вони — півпрямі. Побачивши своїх засмучених родичів кути на хвилинку зупинились і запитали їх:

— Ви чого тут, а не з усіма? Там так весело, цікаво! Ходімо разом.

— Ми зібралися на бал, але як побачили великі родини різних фігур, які вони красиві, чудові, скільки мають цікавих властивостей, то нам, незграбним і простим, соромно стало йти на бал. Ось і залишилися тут, — промовила Пряма.

— Наші Відрізки мають тільки Довжину, Промені — Початок, а я і Пряма й того не маємо. Чим нам похвалятися? — додала Точка.

— Так ми — ваші родичі, що складаються з двох променів зі спільним Початком, але на бал зібралися, — сказав Розгорнутий Кут.

— Це так. Ти, Розгорнутий Кут, дуже схожий зі мною, Прямою, але інші кути, такі різні: і гострі, і тупі, і прямі. А гострі і тупі за градусною мірою утворюють таку гаму різних кутів! Коли їх упорядкувати від найменшого до найбільшого, то вигляд вони матимуть, як клин журавлів, — продовжувала Пряма.

Кутам настільки сподобалося таке порівняння з птахами, що від радощів вони замахали сторонами-променями, як крилами. Подякували кути за високу оцінку їхніх якостей і хотіли знову рухатися на бал, але жаль їм стало своїх родичів... зупинилися кути з точками, відрізками, прямими. Довго всі мовчали. Не витримала одна Пряма і запропонувала:

— Ходімо, друзі, подалі звідси, щоб не бачити цих веселощів.

І вони тихесенько пішли геть. Услід їм лунала музика, сміх, і раптом вони почули свої імена. Що це? Міраж? Але знову і знову чули:

— Запрошується Точка! Ласкаво просимо звичайну Точку!

Зупинилися прості фігури, здивувалися:

— Кому ми потрібні? Хто нас гукає?

А трапилось ось що. Як на кожному балі настав час обирати королеву балу. Усі зібралися біля своїх родин в очікуванні результатів вибору. Було тихо-тихо. Слово надали члену комісії від правильних многокутників Правильному Шестикутнику. Він сказав:

— Ми довго радилися, кому віддати корону. Дуже важко обрати серед вас найкращу фігуру, усі ви чудові й маєте цікаві властивості. Тоді ми вирішили шукати фігуру, яку частіше використовують у побудовах, розв'язаннях.

— Ну і... ? Яка це фігура? Хто відповідає цим умовам? — не витримали мешканці і знову замовкли, думаючи, про яку фігуру йдеться. Завдання було важким.

— Важко?! Ось і нам було дуже не просто знайти правильну відповідь. Плідно працюючи, ми вирішили, що така фігура — Точка, — оголосила комісія.

— Як Точка? Яка Точка? — таке рішення спочатку всіх здивувало, — Що це? Жарт? Насміхаєтеся над нами? Що цікаве і красиве ви знайшли у звичайній Точці?

Але, поміркувавши, всі оцінили правильне і мудре рішення: Усе починається з Точки, у кожній фігури є точки; обираючи Точку королевою балу, ніби обирають частину кожної фігури. Це так чудово! І тоді всі закричали:

— Точка! Точка!

Це й почула Точка зі своїми друзями.

— Запрошуємо Точку! Ласкаво просимо Точку!

Нічого не залишилося, як повернутися на бал усім: і точкам, і прямим, і променям, і їх елементам.

Щойно зайшла Точка на святкову Площину, усі зустріли її оплесками. Точку запросили в центр і винесли корону. Тільки Точка не взяла її, вона сказала:

— Я дуже вдячна вам усім за оцінку звичайних точок, тільки чого я варта одна без прямих? Зверніть увагу, усі ви утворені за допомогою точок і прямих. Тому й корона має бути для нас спільною нагородою.

Усі оцінили справедливість слів Точки і її порядність. І знову залунали оплески, але вже для Точки і Прямої — головних фігур Планіметрії. Заграла музика, але ще веселіше, тому що зібралися всі-всі фігури країни Планіметрія.

Нехай танцюють, веселяться, назавтра їх знову чекає робота: побудови, розв'язання задач, доведення теорем. Це буде завтра, а сьогодні нехай дзвенить весела музика.

Трикутники і їх теорія мають важливе і теоретичне, і практичне значення.

Завдяки жорсткості трикутників їх форму мають елементи майже кожної будівельної конструкції.

Рівні трикутники мають рівні відповідні кути й рівні відповідні сторони.

Існує три ознаки рівності трикутників, записані як теореми:

Перша ознака. Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника відповідно рівні до двох сторін і кута між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака. Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні й прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні. 

Третя ознака. Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні. 

Відношення рівності важливе для математики. Воно має такі властивості:

Кожна фігура рівна сама собі.

Якщо перша фігура рівна другій фігурі, то друга фігура рівна першій фігурі.

Якщо перша фігура рівна другій фігурі, а друга фігура рівна третій фігурі, то перша фігура і третя фігура також рівні між собою.

З того, що трикутники рівні, випливає, що рівні їх периметри і площі. Але з того, що у деяких трикутників рівні периметри або площі, не випливає, що ці трикутники рівні. 

Якщо в умові задачі говориться, що задані трикутники рівні, то можна записати шість рівностей: три — про рівність відповідних сторін трикутників і три — про рівність відповідних кутів трикутників. Запишіть тільки ті з них, які пов’язані із заданими або шуканими елементами трикутників. Стежте за тим, щоб відповідні рівні кути у запису рівності трикутників займали однакові позиції.