Теорія

ІІ СЕМЕСТР

Тема 3. Дода­вання і віднімання раціональних чисел

(18 годин)

    65. Додатні і від'ємні числа. Число нуль  

    66. Координатна пряма

    67. Модуль числа

    68. Модуль числа

    69. Цілі числа. Раціональні числа

    70. Порівняння раціональних чисел

    71. Порівняння раціональних чисел

    72. Порівняння раціональних чисел.

          Самостійна робота

    73. Додавання раціональних чисел

    74. Додавання раціональних чисел.

          Властивості до­давання

    75. Додавання раціональних чисел.

          Властивості до­давання

    76. Віднімання раціональних чисел

    77. Віднімання раціональних чисел.

          Властивості віднімання

    78. Додавання і віднімання раціональних чисел

    79. Розв'язування задач і вправ. Самостійна робота

    80. Узагальнення та систематизація навчального матеріалу. 

          Підготовка до контрольної роботи

    81. Контрольна робота № 3 за темою: 

         «Додавання і віднімання раціональних чисел»

    82. Аналіз  контрольної роботи

Тема 4. Множення і ділення раціональних чисел

(15 годин)

    83. Множення раціональних чисел

    84. Множення раціональних чисел.

          Властивості множення

    85. Множення раціональних чисел.

          Властивості множення

    86. Множення раціональних чисел.

          Квадрат і куб від'ємного числа

    87. Множення раціональних чисел.

          Знаходження значення виразів

    88. Множення раціональних чисел.

          Розв'язування рівнянь

    89. Множення раціональних чисел.

          Розв'язування задач

    90. Ділення раціональних чисел

    91. Ділення раціональних чисел.

          Знаходження значення виразів

    92. Ділення раціональних чисел.

          Розв'язування рівнянь і задач

    93. Множення та ділення раціональних чисел

    94. Розв'язування задач і вправ. Самостійна робота

    95. Узагальнення та систематизація навчального матеріалу.

          Підготуватися до контрольної роботи

    96. Контрольна робота № 4 за темою: 

         «Множення і ділення раціональних чисел»

    97. Аналіз  контрольної роботи

Тема 5. Вирази і рівняння

(14 годин)

    98. Вирази та їх спрощення.

          Зведення подібних доданків

    99. Вирази та їх спрощення.

          Розкриття дужок

    100. Вирази та їх спрощення. Розкриття дужок.

           Винесення спільного множника за дужки

    101. Рівняння. Розв'язування рівнянь

    102. Рівняння. Основні властивості рівнянь

    103. Рівняння. Основні властивості рівняня

    104. Застосування рівнянь до розв`язування задач

    105. Застосування рівнянь до розв`язування задач

    106. Застосування рівнянь до розв`язування задач

    107. Застосування рівнянь до розв`язування задач

    108. Розв'язування текстових задач за допомогою рівнянь.

            Самостійна робота

    109. Узагальнення та систематизація навчального матеріалу. 

            Підготовка до контрольної роботи

    110. Контрольна робота № 8 за темою: «Вирази і рівняння»

    111. Аналіз  контрольної роботи

Тема 6. Перпендикулярні і паралельні прямі. Координатна площина

(13 годин)

    112. Перпендикулярні прямі. 

            Побудова перпенди­кулярних прямих за допомогою косинця

    113. Паралельні прямі. 

            Побудова паралельних прямих за допомогою косинця

    114. Паралельні та перпендикулярні прямі

    115. Координатна площина

    116. Координатна площина. 

            Побудова точок на координатній площині

    117. Координатна площина.

            Розташування точок на координатній площині відносно осей 

    118. Графіки залежностей між величинами

    119. Графіки залежностей між величинами

    120. Графіки залежностей між величинами

    121. Розв'язування вправ. Самостійна робота

    122. Узагальнення та систематизація навчального матеріалу.

            Підготовка до контрольної роботи

    123. Контрольна робота № 5 за темою:

           «Перпендикулярні і паралельні прямі. Координатна площина»

    124. Аналіз  контрольної роботи

Повторення і систематизація навчального матеріалу

(16 годин)

    125. Розв'язування вправ на всі дії з раціональними числами

    126. Розв'язування вправ на всі дії з раціональними числами

    127. Перетворення виразів

    128. Перетворення виразів

    129. Розв'язування рівнянь

    130. Розв'язування рівнянь

    131. Розв'язування текстових задач усіх видів

    132. Розв'язування текстових задач усіх видів

    133. Розв'язування завдань геометричного змісту 

    134. Підготовка до підсумкової контрольної роботи

    135. Підсумкова контрольна робота

    136. Аналіз контрольної роботи

    137. Розв'язування задач підвищеної складності

    138. Розв`язування задач підвищеної складності

    139. Розв`язування задач підвищеної складності

    140. Підсумковий урок

Додатні та від’ємні числа. Число 0

Для позначення температури повітря використовують поняття додатних і від’ємних чисел. Температура вище нуля позначається додатними числами. Температура нижче нуля позначається від’ємними числами.

Число нуль не є ні додатним, ні від’ємним.

Додатними є числа, більші за нуль.

Від’ємними є числа, менші від нуля.

Будь-яке додатне число більше за від’ємне число і більше за нуль.

Координатна пряма

Координатна пряма – це пряма з визначеним напрямом, початком відліку та одиничним відрізком. Зазвичай для координатної прямої обирається напрям зліва направо. Кожне число на координатній прямій має свою координату.

Координата точки – це число, яке показує положення точки на координатній прямій відносно початку відліку.

Зліва від початку відліку лежать від’ємні числа, справа — додатні. Точка з координатою нуль на координатній прямій лежить між від’ємними і додатними числами.

Точки на координатній прямій позначають великою латинською літерою, після якої у дужках записують координату точки.

Із двох чисел на координатній прямій більшим є те число, яке є координатою точки, що лежить на координатній прямій правіше.

Протилежні числа. Модуль числа

Точки на координатній прямій, які є рівновіддаленими від точки з координатою нуль і знаходяться по різні боки від неї, мають протилежні координати.

Наприклад, протилежними числами є числа 5 і –5, 8 і –8, –1,5 і 1,5 тощо.

Модулем числа є відстань від початку відліку до точки на координатній прямій, що відповідає цьому числу. Наприклад, модуль числа сім дорівнює семи, модуль числа мінус сімнадцять дорівнює сімнадцяти.

Модулі протилежних чисел рівні, оскільки відстані від нуля до точок із протилежними координатами рівні.

Модуль додатного числа дорівнює самому числу.

Модуль числа нуль дорівнює нулю.

Модуль від’ємного числа дорівнює числу, протилежному йому. Наприклад, модуль десяти дорівнює десяти, модуль –4 дорівнює 4.

Будь-яке додатне число завжди більше від будь-якого від’ємного числа.

Із двох додатних чисел більшим є те число, модуль якого більший.

Із двох від’ємних чисел більшим є те число, модуль якого менший.

Цілі числа. Раціональні числа

Цілі числа – це натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль.

Раціональними називають додатні числа (і дробові, і цілі), від’ємні числа (і дробові, і цілі) і число нуль.

Раціональними називають числа, які можна представити у вигляді відношення двох натуральних чисел.

Сукупність натуральних чисел, протилежних їм чисел і числа нуль називають множиною цілих чисел.

Сукупність цілих чисел (і додатних, і від’ємних), а також дробових чисел називають множиною раціональних чисел.

Будь-яке додатне число завжди більше від будь-якого від’ємного числа.

Із двох додатних чисел більшим є те число, модуль якого більший.

Із двох від’ємних чисел більшим є те число, модуль якого менший.

Сумою двох раціональних чисел з однаковими знаками є число, яке має той самий знак, що й доданки, а модуль його є сумою модулів цих доданків.

Щоб додати два числа з однаковими знаками, необхідно додати їх модулі і надати одержаному числу знак доданків. Наприклад, сума чисел мінус десять і мінус тири дорівнює числу мінус тринадцять.

Сумою двох раціональних чисел з різними знаками є число, яке має знак доданка з більшим модулем, а модуль його дорівнює різниці модулів доданків.

Щоб додати два числа з різними знаками, необхідно від більшого модуля чисел відняти менший модуль і надати одержаній різниці знак числа з більшим модулем. Наприклад, сума чисел одинадцять і мінус шістнадцять дорівнює мінус п’яти.

Сумою двох протилежних чисел є число нуль. Наприклад, сума чисел три і мінус три дорівнює нулю.

Відняти від одного числа друге – означає до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику. Наприклад, щоб від 10 відняти 12, треба до 10 додати –12, і одержимо число –2.

Щоб від –4 відняти 8, треба до –4 додати –8, і одержимо число –12.

Щоб від 6 відняти –4, треба до 6 додати 4, й одержимо число 10.

Добуток двох раціональних чисел з різними знаками є від’ємним числом, а модуль добутку є добутком модулів множників.

Добуток двох чисел з однаковими знаками є додатним числом, а модуль добутку є добутком модулів множників.

Якщо один із множників — нуль, то добуток дорівнює нулю.

Добуток може дорівнювати нулю тоді, і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Непарний степінь від’ємного числа – число від’ємне.

Парний степінь числа, відмінного від нуля, – число додатне.

Властивості додавання і множення раціональних чисел

Для додавання раціональних чисел зберігаються переставна і сполучна властивості.

- Від перестановки доданків значення суми не змінюється.

- При заміні кількох доданків їх сумою результат додавання не зміниться.

Віднімання — дія, за допомогою якої за відомими сумою та одним із доданків знаходять другий доданок.

Щоб відняти будь-яке число, досить до зменшуваного додати протилежне до від’ємника число.

Множення раціональних чисел має переставну, сполучну та розподільну властивості, аналогічно до натуральних чисел.

- переставна властивість – від перестановки множників значення добутку не зміниться;

- сполучна властивість – щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел.

- розподільна властивість – щоб суму двох чисел помножити на деяке число, треба кожний доданок помножити на це число і результати додати.

Частка двох чисел із різними знаками є від’ємним числом, а модуль частки є результатом ділення модуля діленого на модуль дільника.

Частка двох чисел з однаковими знаками є додатним числом, модуль частки є відношенням модулів діленого та дільника.

Результатом ділення нуля на будь-яке число (крім нуля) є нуль. На нуль ділити не можна.

При розкритті дужок користуємось такими правилами:

Якщо перед дужками стоїть знак «–», то, розкриваючи дужки, потрібно змінити знак кожного доданка на протилежний.

Якщо перед дужками стоїть знак «+», то, розкриваючи дужки, знак кожного доданка зберігаємо.

Подібними є доданки, які мають спільну буквену частину. Числові доданкі є подібними.

Заміну суми подібних доданків на один вираз називають зведенням подібних доданків.

Щоб звести подібні доданки, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на їх спільну буквену частину.

Повторення та систематизація знань

• зміст поняття «рівняння» (рівність, в якій є невідоме число);

• корінь рівняння (значення змінної, яке перетворює рівняння на правильну рівність);

• що означає «розв'язати рівняння» (знайти всі корені або довести, що їх немає);

• які правила ми використовували до цього моменту під час розв'язування
  рівнянь (залежності між компонентами  арифметичних дій  та властивість нуля при множенні).

Мотивація навчальної діяльності

 Задача. На одній шальці терезів лежать два однакових бруски мила, на іншій один такий брусок та ще гирка масою 100 г. Скільки важить один брусок мила?

Розв'язання. Зрозуміло, що один брусок важить 100 г. Але якщо запи­сати рівняння, що відповідає умові задачі, прийнявши масу бруска мила за х (г), будемо мати: 2х = х + 100 — бачимо, що невідоме знаходиться в різних частинах рівняння. Такі рівняння ми поки що розв'язувати не вміємо. Отже, треба дізнатись про певну властивість, яка допоможе нам розв'язати рівняння, що мають невідомі в різних частинах рівняння .

Властивість рівнянь:

Корені рівняння не зміняться, якщо будь-який доданок (доданки) перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак (на про­тилежний).

Алгоритм розв'язування лінійних рівнянь з однією змінною:

1)    Перевір, чи не треба помножити (поділити) обидві частини рів­няння на одне й те саме число, що не дорівнює 0. Якщо так, виконай цю дію.

2) Перевір, чи не можна спростити вирази в лівій та правій частинах

рівняння окремо (розкрити дужки, звести подібні доданки). Якщо так, спрости ці вирази.

3) Перевір, чи не знаходяться відомі та невідомі доданки в різних частинах рівняння. Якщо так, то перенеси доданки, щоб відомі чис­ла знаходились в одній частині рівняння, а невідомі — в іншій.

4) Приведи рівняння до вигляду ах = b, де а і b — числа, а х — невідо­мий множник, і знайди цей невідомий множник.

Під час виконання домашнього завдання перевіряємо і відтворюємо:

• означення кореня рівняння (з однією змінною);

• властивості (рівносильності) рівнянь;

• схему розв'язування (лінійних) рівнянь з однією змінною;

• деякі властивості раціональних чисел (протилежні числа).

Рівність, що містить невідоме, називається рівнянням.

Розв’язати рівняння – означає знайти його розв’язки або довести, що рівняння не має розв’язків.

Коренем рівняння називається число, підстановка якого в рівняння замість невідомого перетворює рівняння в правильну числову рівність.

Якщо до двох частин рівняння додати або відняти одне й те саме число або вираз, що містить невідоме, то одержане рівняння бути мати ті ж корені.

У рівнянні доданки можна переносити з однієї частини в іншу, змінюючи при цьому їхні знаки на протилежні.

Корені рівняння не зміняться, якщо обидві частини рівняня помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Щоб виконати перевірку знайдених розв’язків рівняння, необхідно в рівнянні замість невідомого підставити знайдене значення. Якщо одержана числова рівність правильна, то знайдене число є коренем рівняння; якщо одержана числова рівність неправильна, то знайдене число не є коренем рівняння.

Мотивація навчальної діяльності

Задача. Бригада робітників за два тижні виготовила 396 деталей, причому за другий тиждень було виготовлено у 3 рази більше деталей, ніж за перший. Скільки деталей було виготовлено за кожний тиждень?

Розв'язання. Нехай за перший тиждень було зроблено х (дет.), тоді за другий тиждень — 3х (дет.), а за 2 тижні разом х + 3х= 4х (дет.). А за умо­вою задачі за два тижні було виготовлено 396 деталей. Складемо і розв'я­жемо рівняння: 4х = 396; х = 396 : 4; х = 99.

Отже, за перший тиждень було виготовлено 99 (дет.),

а за другий — 99 · 3 = 297 (дет.).

@ Дуже важливо, що саме такому способу розв'язування задач (складанням рівняння) ми будемо віддавати перевагу, бо складання рівняння дозволяє багато різних за змістом задач розв'язувати за однією схемою.

Схема розв'язування задач за допомогою рівнянь

1) Позначити одне з невідомих (звичайно, найменше серед інших) бу­квою.

2) Виразити через цю букву інші невідомі величини (з умови задачі).

3) Скласти вираз, що містить букву, яка відповідає величині, значення якої відоме за умовою задачі; скласти рівняння.

4) Розв'язати рівняння та пояснити зміст знайдених у рівнянні чисел.

Перпендикулярні прямі

1.    Поняття двох прямих, що перетинаються.

2.    Поняття перпендикулярних прямих.

3.    Властивість кутів при перетині двох перпендикулярних прямих.

4.    Поняття перпендикулярних відрізків; перпендикулярна до даної прямої.

5. Побудова прямої, перпендикулярної до даної, що проходить через точку, що лежить: а) наданій прямій; б) поза даною прямою.

Паралельні прямі

1. Приклади з навколишнього середовища, що дають уявлення про паралельні прямі.

2. Означення паралельних прямих, паралельних відрізків.

3. Властивість паралельних (перпендикулярних) прямих.

4. Побудова прямої, що проходить через точку поза даною прямою паралельно до даної прямої.

Перпендикулярні прямі — прямі, що при перетині утворюють прямий кут; відрізки, що лежать на цих прямих теж називаються перпендикулярними.

Зверніть увагу!

При перетині двох перпендикулярних прямих утворюється чотири прямих кути.

Відрізок, проведений із точки, яка не лежить на прямій, до прямої, називається перпендикуляром, опущеним із точки на пряму.

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на дану пряму.

Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, перпендикулярну їй, і тільки одну.

Коли прямі на площині мають дві спільні точки, то кажуть, що вони збігаються.

На площині дві прямі можуть мати одну спільну точку, тоді вони перетинаються, або не мати жодної спільної точки, тоді вони паралельні.

Паралельними називаються прямі, що лежать в одній площині і не перетинаються; відрізки, що лежать на цих прямих, теж називаються паралельними.

Дві прямі, що лежать в одній площині і є перпендикулярними до третьої прямої, паралельні.

Через точку площини, яка не належить даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

Відстань між паралельними прямими – це довжина перпендикуляра, опущеного з обраної точки на одній прямій на другу пряму.

Зверніть увагу!

Протилежні сторони прямокутника є паралельними відрізками.

Прямокутна система координат складається з двох взаємно перпендикулярних прямих OX та OY, які перетинаються у точці O — початку координат, і обраного одиничного відрізку.

Кожна з цих прямих є координатною прямою. Пряма OX – горизонтальна і називається віссю абсцис, а пряма OY - вертикальна і називається віссю ординат.

Площина, на якій вибрано систему координат, — координатна площина.

Осі координат ділять координатну площину на чотири координатні чверті.

Кожна точка площини має дві координати. Координата, яка відкладається по осі OX, називається абсцисою, її завжди записують першою. Координата, що відкладається по осі OY, — ординатою.

Прямокутну систему координат називають прямокутною декартовою системою координат на честь французького математика Рене Декарта, який запропонував цю ідею.

На координатній площині можна наочно зобразити залежність між різними величинами, наприклад, відстані від часу, температури від часу тощо. Значення однієї величини зображуються на осі абсцис, другої – на осі ординат, а залежність між ними – точкою з відповідними координатами.

Неперервна лінія, що з’єднує ці точки, називається графіком залежності величин. За графіком можна знаходити відповідні значення величин, аналізувати їх зміни.

Зверніть увагу! Точка О – початок координат, має координати нуль-нуль.

Усі точки, що лежать на осі абсцис, мають ординати, що дорівнюють нулю.

Усі точки, що лежать на осі ординат, мають абсциси, що дорівнюють нулю.

Кожній точці на координатній площині відповідає лише одна пара координат.

Кожній парі чисел відповідає лише одна точка координатної площини.

 Друзі! Ви вже знаєте, що координатна площина відрізня­ється від звичайної площини тим, що на ній задано систему координат Сис­тема координат не дозволяє задати положення будь-якої точки на площині за допомогою двох чисел (її координат) Але виявляється, що цим фактом не обмежується «користь» системи координат У нашому повсякденному житті, в науці и техніці постійно розглядаються величини та залежності між ними мабуть, ваші батьки, спостерігаючи, як ви підростаєте, роблять помітки, якого зросту ви були в один, два, три і т.д. років, на уроках при­родознавства спостерігаєте за зміною температури упродовж місяця і т. ін.

      Ви, мабуть, знаєте, що такі спостереження можна записувати у ви­гляді таблиці Тепер виникає питання, а чи можна «побачити» ці залеж­ності (як міняється одна величина залежно від зміни іншої).

На координатній площині можна наочно зобразити залежність між різними величинами, наприклад, відстані від часу, температури від часу тощо. Значення однієї величини зображуються на осі абсцис, другої – на осі ординат, а залежність між ними – точкою з відповідними координатами.

Неперервна лінія, що з’єднує ці точки, називається графіком залежності величин. За графіком можна знаходити відповідні значення величин, аналізувати їх зміни.