Теорія

Для позначення кількох частин цілої величини використовують дробові числа. Дробове число означає: a поділене на b, де a – чисельник дробу, а b – його знаменник. У запису дробового числа замість знака поділити ставлять горизонтальну риску дробу. Чисельник пишеться над рискою дробу, а знаменник під рискою дробу.

Дріб, чисельник і знаменник якого є натуральними числами, називається звичайним дробом.

Знаменник звичайного дробу показує, на скільки рівних частин поділили цілу величину. Чисельник звичайного дробу показує, скільки таких частин узяли.

Звичайний дріб є часткою двох натуральних чисел, де чисельник – ділене, а знаменник – дільник. 

Правильним називається звичайний дріб, чисельник якого менший від знаменника.

Неправильним називається звичайний дріб, чисельник якого більший за знаменник або дорівнює знаменнику.

Правильний дріб завжди більший за одиницю. Неправильний дріб, у якого чисельник і знаменник рівні, дорівнює одиниці. Неправильний дріб, у якого чисельник більший за знаменник, завжди більший за одиницю.

При порівнянні звичайних дробів за допомогою координатного променя користуємось загальним правилом:

Із двох чисел на координатному промені більше те з них, якому відповідає точка, що лежить правіше.

Можемо порівнювати дробові числа і без допомоги координатного променя.

Із двох звичайних дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого чисельник більший; і менший той, у якого чисельник менший.

Із двох звичайних дробів з однаковими чисельниками більший той, знаменник якого менший; і менший той, знаменник якого більший.

Із двох мішаних чисел більшим є те, у якого ціла частина більша.

Якщо два мішані числа мають однакові цілі частини, то порівнюємо їх дробові частини. Із двох мішаних чисел, цілі частини яких рівні, більшим буде те, дробова частина якого більша.

Одиницю зажди можна представити у вигляді дробу з рівними чисельником і знаменником. Наприклад, одиниця дорівнює двом другим або шести шостим тощо. 

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники і суму записати в чисельник, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба відняти їх чисельники і різницю записати у чисельник, а знаменник залишити без змін.

Щоб від одиниці відняти звичайний дріб, треба одиницю подати у вигляді неправильного дробу з однаковими чисельником і знаменником, що дорівнюють знаменнику від’ємника, і виконати віднімання.

При відніманні звичайних дробів чисельник зменшуваного повинен бути більшим за чисельник від’ємника.

Сумою двох мішаних чисел є мішане число, ціла частина якого є сумою цілих частин доданків, а дробова частина є сумою дробових частин доданків.

Якщо в результаті додавання одержимо мішане число, дробова частина якого є неправильним дробом, треба виділити з неї цілу частину і додати її до цілої частини мішаного числа.

Різницею двох мішаних чисел є мішане число, ціла частина якого є різницею цілих частин зменшуваного і від’ємника, а дробова частина є різницею дробових частин зменшуваного і від’ємника.

Звичайний дріб є часткою двох натуральних чисел, де чисельник – ділене, а знаменник – дільник. 

У неправильному дробі завжди можна виділити цілу частину.

Щоб виділити цілу частину у неправильному дробі, потрібно чисельник поділити на знаменник. Одержана неповна частка буде цілою частиною дробу, остача – чисельником дробу, знаменник дробу залишиться тим самим.

Неправильний дріб дорівнює сумі цілої і дробової частини. Знак плюс при цьому не записують. Наприклад, дріб 7/3 =2 2/3.

Числа, які мають цілу частину і дробову частину, яка є звичайним дробом, називаються мішаними числами.

Кожне мішане число дорівнює певному неправильному дробу.

Щоб мішане число перетворити у неправильний дріб, потрібно цілу частину помножити на знаменник і до їх добутку додати чисельник. Ця сума буде чисельником відповідного неправильного дробу, а знаменник залишиться тим самим, що й у дробової частини мішаного числа.

Десятковий дріб. Запис і читання десяткових дробів

Якщо у звичайному дробі знаменник дорівнює розрядній одиниці, наприклад, десяти, ста, тисячі і так далі, то його називають десятковим.

Цей дріб можна записати так: у числі після розряду одиниць ставлять кому, а після неї записують розряди десятих, сотих і т. д. Число, яке має такий вигляд, називають десятковим дробом. Комою відокремлюється ціла частина числа від його дробової частини.

Якщо звичайний дріб є правильним, то в запису відповідного йому десяткового дробу записують нуль цілих.

За допомогою десяткових дробів можна менші величини виразити через більші. Наприклад:

1 см = 0,1 дм;

1 см = 0,01 м;

1 г = 0,001 кг.

Коли десятковий дріб хочуть записати у вигляді звичайного дробу, то число, що стоїть зліва від коми, залишають у вигляді цілої частини; число, що стоїть справа від коми, записують у чисельник, а знаменником буде одиниця зі стількома нулями, скільки стоїть після коми.

Перший десятковий знак справа після коми в десятковому дробі – це десяті, другий – соті, третій – тисячні, четвертий – десятитисячні, п’ятий – стотисячні і так далі.

Кожний звичайний дріб, знаменником якого є десять, сто, тисяча тощо, можна записати у вигляді десяткового дробу.

Якщо в чисельнику звичайного дробу цифр менше, ніж нулів у знаменнику, то в десятковому дробі після коми дописують стільки нулів, щоб кількість цифр після коми дорівнювала кількості нулів у знаменнику звичайного дробу. 

Серед двох десяткових дробів менший той дріб, у якого число цілих менше; і більший той, у якого число цілих більше.

Якщо цілі частини десяткових дробів рівні, то менший той дріб, у якого число десятих менше; якщо число десятих однакове, то порівнюють соті і так далі.

Якщо запис деякого десяткового дробу закінчується нулями, то ці нулі можна відкинути. Одержаний дріб буде дорівнювати заданому. 

Округлюючи число до деякого розряду, всі цифри праворуч від цього розряду замінюють нулями, і якщо перша з відкинутих цифр менша від п’яти, то останню із залишених цифр не змінюють, а якщо перша з відкинутих цифр більша за п’ять, то останню залишену цифру збільшують на одиницю. 

Додавання і віднімання десяткових дробів виконують порозрядно.

Зручно це виконувати в стовпчик.

При цьому десяткові дроби підписують одне під одним так, щоб кома була під комою. Додають або віднімають десяткові дроби, як натуральні числа, не зважаючи на коми. У результаті кому ставлять під комами.

Для десяткових дробів справджуються властивості додавання і віднімання натуральних чисел. 

Додаючи чи віднімаючи десяткові дроби з різною кількістю десяткових знаків, пам’ятайте, що цю кількість можна зрівняти, дописавши нулі в кінці числа. 

Щоб помножити два десяткових дроби, треба перемножити їх, не беручи до уваги коми, а потім відділити комою у добутку стільки знаків, скільки їх стоїть справа після коми у двох множниках разом. Якщо в добутку буде менше цифр, ніж потрібно відокремити комою, то попереду дописують потрібну кількість нулів.

Для множення десяткових дробів справджуються всі закони множення.

Щоб помножити десятковий дріб на десять або сто, або тисячу тощо, потрібно в десятковому дробі кому перенести вправо на стільки знаків, скільки нулів стоїть після одиниці у множнику. Якщо десятковий дріб містить меншу кількість десяткових знаків, ніж та, на яку треба перенести кому, то справа від числа приписують необхідну кількість нулів.

Щоб виконати ділення десяткового дробу на натуральне число, треба виконати ділення так, як для натуральних чисел, але закінчивши ділення цілої частини діленого, в частці необхідно поставити кому, і продовжити ділення.

Щоб поділити десятковий дріб на десять або сто, або тисячу тощо, потрібно в десятковому дробі кому перенести вліво на стільки знаків, скільки нулів стоїть після одиниці у дільнику. Якщо ділене містить меншу кількість знаків перед комою, ніж та, на яку треба перенести кому, то зліва від числа приписують необхідну кількість нулів.

Щоб число поділити на десятковий дріб, потрібно у діленому і дільнику кому перенести вправо на стільки знаків, скільки їх стоїть після коми у дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число.

Часткою від ділення можуть бути скінченні або нескінченні (періодичні) десяткові дроби.

Середнє арифметичне кількох чисел — це сума цих чисел, поділена на їх кількість.

Якщо пройдений шлях поділити на час руху, то отримаємо значення середньої швидкості руху.

Сума температур за певну кількість днів, поділена на цю кількість днів, дає середню температуру повітря протягом цих днів.

Для обчислення значення середньої величини необхідно додавати величини, що вимірюються в однакових одиницях. 

Мотивація навчання.

Ми часто чуємо слово «середній». Середня заробітна плата у промисло­вості, середньодобова температура, середній урожай з 1 га, середній надій молока на одну корову. З'ясуємо його зміст.

  Сприймання і засвоєння навчального матеріалу.  

Задача. Шкільна бригада за перший день прополола 4,2 а буряків, а за другий день — 3,9 а, а за третій — 4,5 а. Визначте середній виробіток брига­ди за день.

1) Знайдемо, яку площу прополола шкільна бригада за три дні.

4,2 + 3,9 + 4,5 = 12,6 (а).

2) Середній виробіток показує, скільки гектарів прополола бригада за 1 день, якщо вважати, що кожного дня вона прополювала однакову площу.

12,6 : 3 = 4,2 (а).

Середнім арифметичним кількох чисел називають частку від ділення суми цих чисел на кількість доданків.

Висновок:

1.Середнє значення величини і середнє арифметичне кількох чисел — це різні поняття.

2. Щоб знайти середнє значення швидкості (ціни), потрібно загальний шлях (загальну вартість) поділити на загальний час (кількість одиниць това­ру) 

Відсотком називають одну соту частину величини. Один відсоток дорівнює нуль цілій одній сотій.

Щоб десятковий дріб записати у відсотках, потрібно помножити його на сто і дописати знак відсотків.

Щоб записати відсотки у вигляді десяткового дробу або натурального числа, необхідно число відсотків поділити на сто. Наприклад, сто тридцять відсотків дорівнюють одній цілій трьом десятим; сорок шість відсотків дорівнюють нуль цілим сорока шести сотим.

Ціле позначають як 100 відсотків.

Щоб знайти певну кількість відсотків від числа, потрібно поділити його на сто і помножити на кількість відсотків.

Знайти певну кількість відсотків від числа можна й іншим способом: задане число помножити на десятковий дріб, що відповідає кількості відсотків.

Відсотки

Відсотки — це особлива форма запису дробів.

Тому можна перетворювати відсотки у дроби: 1 % = 0,01,

2% = 2 · 0,01 = 0,02;

15% = 15 · 0,001 = 0,15;

100% = 100 · 0,01 = 1;

125% = 125 · 0,01 = 1,25.

Маємо: щоб записати відсотки десятковим дробом, треба кількість відсотків помножити на 0,01 (поділити на 100), при цьому 100 % = 1!

Також можна розв'язувати обернену задачу: будь-який десятковий дріб записати у вигляді відсотків: знаючи, що 1 = 100%, можемо сказати, що

2 = 2 · 1 = 2 · 100 % = 200 %;  0,3 = 0,3 · 1 = 0,3 · 100%; = 30 %;

0,125 = 0,125 · 1 = 0,125 · 100 % = 1,25.

Висновок: будь-яке число можна виразити у відсотках і навпаки; будь-яку кількість відсотків можна виразити десятковим дробом.

Знаходження відсотків від числа

Розглянемо задачу.

Полуниці містять у середньому 6% цукру. Скільки кілограмів цукру міститься в 15 кг полуниць?

Усі полуниці складають 100 %. Знайдемо, скільки кілограмів полуниць припадає на 1%: 15 : 100 = 0,15 (кг).

А у нас є 6%. Отже, 0,15 · 6 = 0,9 (кг) — припадає на 6%, або міститься цукру в 15 кг полуниць.

Відповідь. 0,9 кг.

Задачі, у яких потрібно знайти відсотки від числа, розв'язують так же, як розв'язують задачі на знаходження дробу від числа.

Щоб знайти число за його відсотками, потрібно відому частину числа помножити на сто і розділити на число відсотків.

Знайти число за його відсотками можна й іншим способом: задану частину числа поділити на десятковий дріб, що відповідає кількості відсотків.

Щоб знайти, скільки відсотків перше число становить від другого, потрібно поділити перше число на друге, частку помножити на 100 і дописати знак відсотків.

Задача 1.

Знайдемо число, 14% якого дорівнюють 42.

1) Знайдемо число, що припадає на 1%

  42 : 14 = 3.

2) Усе число це 100%, тому воно дорівнює

  3 · 100 = 300.

Задача 2.

Вершкове морозиво містить 14% цукру. Скільки кілограмів морозива виготовлено, якщо було використано 42 кг цукру?

1) 42 : 14 = 3 (кг) становить 1% морозива;

2) 3, · 100 = 300 (кг) виготовлено морозива.

(Або можна записати один вираз: 42: 14 • 100 = 300 (кг))

Відповідь. 350 кг.

Отже, щоб найти число за значенням його відсотків, треба поділити на кількість відсотків і помножити отриманий результат на 100.

Дії з десятковими дробами

Додавання та віднімання

Для додавання (віднімання) десяткових дробів необхідно:

1) записати дроби один під одним так, щоб кому було записано під комою;

2) вільні міста заповнити нулями;

3) виконати додавання (віднімання), не звертаючи уваги на кому;

4) у відповіді поставити кому під комами даних чисел.

Множення

Для множення двох десяткових дробів необхідно:

1) виконати множення цих чисел як натуральних, незважаючи на коми;

2) у добутку відокремити справа комою стільки десяткових знаків, скільки їх мають обидва множники разом.

Якщо в добутку менше цифр, ніж треба відокремити комою, то спереду дописують потрібну кількість нулів.

Ділення

Щоб поділити число на десятковий дріб, потрібно в діленому й дільнику перенести кому вправо на стільки десяткових знаків, скільки їх є в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число (виконати ділення, не звертаючи увагу на кому, але після закінчення ділення цілої частини дробу позначити кому в частці): .

Окремі випадки множення та ділення десяткових дробів

Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і так далі, треба перенести кому дробу праворуч на одну, дві, три і так далі цифри( скільки нулів в числі, на яке множимо).

Щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і так далі, треба перенести кому дробу ліворуч на одну, дві, три і так далі ­цифри (скільки цифр стоїть після коми в числі на яке множимо).

Щоб поділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і так далі, треба перенести в ньому кому ліворуч на одну, дві, три і так далі цифри(скільки нулів в числі, на яке ділимо).

Щоб поділити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і так далі, треба перенести в ньому кому праворуч на одну, дві, три і так далі цифри (скільки цифр стоїть після коми в числі, на яке ділемо).

1. Натуральні числа

2. Додавання і віднімання натуральних чисел

3. Множення та ділення натуральнис чисел

4. Звичайні дроби

5. Додавання і віднімання десяткових дробів

6. Множення та ділення десяткових дробів

7. Середнє арифметичне. Середнє значення