Складено згідно  навчальної програми для загальноосвітніх навчальних закладів II ступеня, «Математика. 5-9 класи ( автори: М. І. Бурда, Б. В. Кудренко, О. Я. Біляніна, А. І. Азаренкова, О. І. Буковська, Т. С. Кіндюх, О. Є. Лисенко, А. В. Миляник, Н. В. Панова, А. В. Паньков)», затвердженої наказом МОН України від  07.06.2017 №804, з урахуванням змін, затвердже­них наказом МОН України  від 09.08.2017№1/9-436.

Складено до підручника: .А.Тарасенкова, І.М.Богатирьова,… Математика 6 клас для загальноосвіт. навч. закл./ Київ.»Освіта,2013/

Математика, 6 клас

                                                                                                    І семестр 

        дата проведення                       

                                                                                                                                                                               6-а              6-б              6-в

Тема 1. Звичайні дроби та дії над ними

 (40 годин)

1. Повторення і систематизація навчального матеріалу з математики 5 класу 

2. Повторення і систематизація навчального матеріалу з математики 5 класу

3. Повторення і систематизація навчального матеріалу з математики 5 класу

4. Дільники і кратні натурального числа

5. Прості і складені числа. Парні і непарні числа

6. Ознаки подільності на 2, 5, 10

7. Ознаки подільності на  3 і 9

8. Розкладання нату­ральних чисел на прості множники

9. Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа

10. Найменше спільне кратне

11. Розв'язування задач і вправ

12. Узагальнення і систематизація знань за темою: «Подільність чисел»

13. Основна властивість звичайного дробу

14. Скорочення дробу

15. Скорочення дробу

16. Зведення звичайних дробів до спільного знаменника. 

17. Зведення звичайних дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів

18. Зведення звичайних дробів до спільного знаменника. Порівняння звичайних дробів

19. Додавання і віднімання дробів із різними зна­менниками

20. Додавання і віднімання дробів із різними зна­менниками

21. Додавання і віднімання цілих і дробових чисел

22. Додавання і віднімання дробів

23. Розв'язування рівнянь і задач.

24. Узагальнення і систематизація знань за темою: «Додавання і віднімання дробів».

25. Множення звичайних дробів

26. Множення звичайних дробів

27. Властивості множення

28. Знаходження дробу від числа

29. Задачі на множення дробів

30. Взаємно обернені числа, їх властивість

31. Ділення звичайних дробів. Ділення цілих і дробових чисел

32. Ділення звичайних дробів. Ділення цілих і дробових чисел

33. Ділення звичайних дробів. Ділення цілих і дробових чисел

34. Знаходження числа за його дробом

35. Знаходження числа за його дробом

36. Перетворення звичайних дробів у десятковий.

Десяткові наближення звичайного дробу

37. Розв'язування задач на всі дії з дробами

38. Узагальнення і систематизація знань. Підготовка до контрольної роботи

39. Контрольна робота № 1 за темою: « Звичайні дроби та дії над ними»

40. Аналіз контрольної роботи

Розділ 2. Відношення і пропорції. Ймовірність випадкової події.

(24 годин)

41. Відношення та його властивості

42. Пропорція та її властивості

43. Розв'язування рівнянь на основні властивості пропорції

44. Розв'язування рівнянь

45. Пряма і обернена пропорційні залежності

46. Поділ числа в даному відношенні. Масштаб

47. Відсот­кові розрахунки. Знаходження відсотка від числа та числа 

за його відсотком

48. Відсот­кові розрахунки. Знаходження відсоткового відношення 

двох чисел та зміни відсотка за зміною числа

47. Відсот­кові розрахунки. Знаходження числа за його відсотковою зміною 

та відсоткового відношення двох чисел за змінною числа

48. Відсот­кові розрахунки

49. Узагальнення і систематизація знань  за темою: «Відношення і пропорції. 

Відсоткові розрахунки»

50. Вступ. Випадкові, достовірні та неможливі події. Ймовірність випадкової події

51. Ймовірність випадкової події. Порівняння імовірності за допомогою 

перебору варіантів

52. Ймовірність випадкової події. Обчислення ймовірності

53. Коло і круг. Круговий сектор

54. Діаграми

55. Циліндр. Конус. Куля

56. Узагальнення і систематизація знань. Підготовка до контрольної роботи

57. Контрольна робота № 2 за темою: «Відношення і пропорції. 

Ймовірність випадкової події. Коло. Круг. Конус. Циліндр»

58. Аналіз контрольної роботи

59. Розв’язування задач підвищеної складності

60. Розв’язування задач підвищеної складності

61. Розв’язування задач підвищеної складності

62. Підсумковий урок

1. Що таке дільники і кратні натурального числа

2. Які є ознаки подільності чисел

3. Які числа називаються простими та як їх знаходити

4. Як розкласти число на множники

5. Що таке найбільший спільний дільник чисел та як його знаходити

6. Що таке найменше спільне кратне та як його знаходити

1. Порівняння та округлення десяткових дробів

2. Додавання та віднімання десяткових дробів

3. Множення та ділення десяткових дробів

4. Середнє арифметичне. Середнє значення величини

5. Відсотки

Десяткові дроби

   З двох десяткових дробів більший є той, що має більшу цілу частину. Якщо цілі частини дробів рівні, то більший той, у якого більше десятих, і т. д.

   При округленні десяткового дробу  до певного розряду всі наступні за цим розрядом цифри замінюють нулями або відкидають Хякщо вони стоять після коми). Якщо першою наступною за цим розрядом цифрою є 5,6,7,8 або 9, то останню цифру, що залишилася, збільшують на одиницю. Якщо першою наступною за цим розрядом цифрою є 0,1,2,3, або 4, то останню цифру, що залишалася, не змінюють.

   Додавання і віднімання десяткових дробів виконують порядно, записуючи їх один під одним так, щоб кома розташовувалася під комою.

   Щоб помножити два десяткових дроби, треба виконати множення, не звертаючи увагу на коми, а потім у добутку відокремити комою праворуч стільки цифр, скільки їх стоїть після коми в обох множниках разом.

   Щоб поділити десятковий дріб на натуральне число, треба виконати ділення, не звертаючи на кому, але після закончення ділення цілої частини дробу позначити кому в частці.

   Щоб поділити десятковий дріб на десятковий дріб, треба в діленому і дільнику перенести коми на стільки знаків цифр праворуч, скільки їх стоїть після коми в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число.

*****

В однієї доброї вдови була дочка, звали її Попелюшка. Одного дня пішла вона в ліс по ягоди та гриби. Ішла вона та й заблукала. Дивиться посеред лісу галявина. Біля галявини озеро, а біля озера дуб на якому сидить орел.

Підійшла Попелюшка до дуба і думає:

· Як би перебратись через озеро?

Підлетів до неї орел і каже:

· Хочеш перебратись через озеро розв’яжи приклад.

· Я розв’яжу, задавайте.

· 140*80 – говорить орел

· Та це ж легко. Дайте мені листочок і ручку, та й скажу вам відповідь.

· Тримай, та запам’ятай, якщо не зможеш порахувати потрапиш в країну «Куля-розбійника».

· Добре – зітхнула Попелюшка.

· Ну то ж скільки буде?

· Буде 11.300

· Невірно буде 11.200

 Не встигла Попелюшка оглянутись, як опинилася в дивній країні. До неї підійшов якийсь чоловік у дивній формі.

· Я знак «ділення». Ти мабуть ідеш до «Куля розбійника».

· Звичайно до нього.

· Я тобі скажу куди іти, якщо відгадаєш мої загадки. Скільки буде 84/12?

· Та це ж легко, буде 7 .

· Правильно.

Тут в гості до «ділення» прийшли брати  «додавання» « віднімання»

· Відгадай дівчинку ще і наші приклади.

Вони по черзі задавали їй приклади, вона впевнено і правильно відгадала.

систематизувати знання  про зміст дії ділення натураль­них чисел;

розширити знання про властивості ділення натураль­них чисел, доповнити їх уявленням про такі поняття, як дільник числа, кратне числу, прості і складені числа; 

сформувати вміння знаходи­ти дільник числа та класифікувати натуральні числа залежно від кіль­кості дільників.

Дільники і кратні натурального числа. 

Прості числа

Дільником числа називається таке число, на яке ділиться дане число.

Кратним числа називається таке число, яке ділиться на дане число.

Натуральне число, яке має лише два дільники (1 і саме число), називаються простими.

Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Виконати вправи №  9, 11

Фокус 

   Перший учень задумав довільне двоцифрове число і записав його на папері. Пропонуємо другому учневі приписати справа і зліва це саме число і поділити його на 3. Третій учень ділить одержану частку на 7, четвертий – ділить нову частку на 13, а п’ятий – новий результат ділить на 37 і передає «фокуснику». Не розгортаючи папірця, він передає першому учневі задумане ним число. Пояснення. Якщо до довільного двозначного числа приписати справа і зліва це саме число, то одержимо нове шестизначне число, яке в 10101 раз більше початкового. Число 10101= 3*7 *13*37 (* - знак множення), отже, одержане шестизначне число ділиться без остачі на 3, на 7, на 13, на 37. Якщо це число поділити послідовно на 3, 7, 13, 37, то воно зменшиться в 10101 раз, а в частці одержимо задумане число.

Джерела

А. Л. Воєвода В63 Зацікавити математикою: (методичні матеріали для підвищення інтересу до математики): Методичний посібник. – 2-ге вид., допов. і перероб. – Вінниця:,ФОП «Легкун В.М.», 2012. 

Прості і складені числа

Натуральне число називається простим, якщо воно має лише два дільники, одиницю і саме число.

Натуральне число називається складеним, якщо воно має більше, ніж два дільники.

Число 1 не є складеним і не є простим.

Найменше просте число – число два. Найбільшого простого числа не існує.

Усі прості числа, крім числа два, є непарними.

систематизувати інтуїтивні знання про ознаки поділь­ності, відомі  з початкової школи (подільність на 2, 5, 10) 

знаки подільності на 2, 10, 5

   2n, де n - натуральне число вважають парними числами.

   2n-1, де n - натуральне число вважають непарними числами.

Ознака подіОзнака подільності на 2:  на 2 діляться ті й тільки ті числа, запис яких закінчується парною цифрою.

Ознака подільності на 10:  на 10 діляться ті й тільки ті числа, запис яких закінчується  цифрою 0.

Ознака подільності на 5:  на 5 діляться ті й тільки ті числа, запис яких закінчується  цифрою 5 або 0

Математика в підводному царстві

*****

Десь в далеких глибинах, в чистій синій воді жила і правила королева Математика. Було в неї багато підданих: натуральні числа, дроби дії І і ІІ ступенів, квадрат і куб числа і ще багато інших. І тут сталася велика біда! Всі дії забули, як їх звати, і що їм робити. Цариця Математика була в розпачі. Якщо не взнати, як звати всі дії, то всі діти і рибки не знатимуть, як вирішувати приклади! І тут вона згадала, що 74 роки назад була збудована підводна машина часу. Королева покликала всіх своїх учених і наказала їм, щоб вони негайно знайшли цю машину часу. Вони повернулись тільки через тиждень, але все ж таки привезли машину. До неї була інструкція і королева швидко розібралась і повернулася з одним дуже досвідченим вченим в минуле. Вона вже знала: ким були всі дії і що вони робили, записала все на листочку, який не пропускає воду і повернулася в теперішній час. Вона розказала всім діям хто вони і що роблять, а машину часу разом з інструкцією повернула туди, де взяла їх.

В честь того, що всі дії тепер знають хто вони, Математика влаштувала свято і запросила всіх, хто жив у неї в країні. Все стало на свої місця, а потім з’ясувалося, що причиною цього всього стала незвичайна хвороба, яку вчені прозвали лінню, тому що більша половина учнів з цього світу почали не робити домашні завдання, не вивчати правила і це призвело до дефіциту математичних знань.

Але зараз все чудово і за це потрібно дякувати величній королеві математиці!

доповни­ти знання ознаками подільності на 3 і 9.

Ознаки подільності на 9, 3

Ознака подільності на 9: на 9 діляться ті й тільки ті числа, сума цифр яких діляться на 9.

Ознака подільності на 3: на 3 діляться ті й тільки ті числа, сума цифр яких діляться на 3.

На 4: Якщо число, утворене двома останніми цифрами ділиться на 4. 

На 6: Якщо число ділиться на 2 і на 3. 

На 7: 

  1. Число розбивається на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число ділиться на 7, якщо різниця суми блоків, що стоять на парних місцях, і суми блоків, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7. 

 2. Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр і останніх двох цифр ділиться на 7. 

  3. Якщо сума числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7 .

  4. Різниця між числом без останньої цифри і подвоєної останньої цифри повинна ділитись на 7. 

На 8:

1. Якщо число, утворене останніми трьома цифрами, ділиться на 8. 

2. Якщо число сотень є парне, то число, утворене двома останніми цифрами повинне ділитись на 8. 

3. Якщо число сотень є непарним, то до числа, утвореного двома останніми цифрами, потрібно додати 4. Таке число повинне ділитись на 8. 

На 11: 

1. Число розбивається на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Сума блоків повинна ділитись на 11. 

2. Якщо різниця між числом без останньої цифри і останньою цифрою ділиться на 11. 

3. Якщо сума цифр, що стоять на парних місцях відрізняється від суми цифр, що стоять на непарних місцях, починаючи з кінця, на число, що кратне 11. 

На 12:

1. Якщо число ділиться на 3 і на 4. 

2. Число без останньої цифри множать на два і віднімають останню цифру. Таке число повинне ділитись на 12. 

На 13:

1. Число ділиться на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сумуються блоки, що стоять на парних і непарних місцях. Різниця цих сум повинна ділитись на 13. 

2. До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 4. Утворене число повинне ділитись на 13. 

3. Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 9. Утворене число повинне ділитись на 13. 

На 14:

1. Якщо число ділиться на 2 і на 7. 

2. Число без останніх двох цифр множать на 2. До результату додають число, утворене двома останніми двома цифрами. Сума повинна ділитись на 14. 

На 15: Якщо число ділиться на 3 і на 5. 

На 16:

1. Якщо число тисяч є парним, то перевіряють число, складене з останніх трьох цифр. 

2. Якщо число тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми трьома цифрами, додають 8. 

3. Число без останніх двох цифр множать на 4 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 16. 

На 17: 

1. Число без останніх двох цифр множать на 2 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 17. 

2. Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 5. Результат повинен ділитись на 17. 

На 18: Якщо число ділиться на 2 і на 9. 

На 19: До числа без останньої цифри додають подвоєну останню цифру. Результат повинен ділитись на 19. 

На 20:

1. Якщо число ділиться на 10 і число десятків є парне. 

2. Якщо число, утворенне двома останніми цифрами ділиться на 20. 

На 22: Якщо число закінчується на парну цифру й ділиться на 11. 

На 25: Якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25. 

На 26: Якщо число ділиться на 13 і є парним. 

На 27:

1. Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сума утворених блоків повинна ділитись на 27. 

2. Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 8. 

На 32:

1. Якщо число десятків тисяч є парним, то перевіряють на подільність число, утворене останніми чотирма цифрами. 

2. Якщо число десятків тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми чотирма цифрами, додають 16. 

3. Число без останніх двох цифр множать на 4 і до результату додають останні дві цифри. Суму перевіряють на подільність на 32. 

На 33:

1. Якщо число ділиться на 11 і на 3. 

2. Число ділять на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Утворені блоками числа сумують. Результат повинен ділитись на 33. 

На 37:

1. Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число, утворені блоками сумують. Сума повинна ділитись на 37. 

2. Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 11. Результат повинен ділитися на 37. 

На 49: До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 5. Таке число повинне ділитись на 49. 

Джерела[ред. | ред. код]

• Воробьёв Николай Николаевич. Признаки делимости. — 4-е, исправленное. — Москва : «Наука», 1988. — 96 с. — («Популярные лекции по математике», выпуск 39) — 165 000 прим. — ISBN 5-02-013731-6. (рос.)

Розкладання чисел на прості множники

Кожне складене число можна розкласти на прості множники.

Розкладом на прості множники називають запис числа у вигляді добутку простих множників.

Щоб розкласти число на прості множники, треба знайти його прості дільники. Зручно розкладати число на множники таким чином:

- записуємо число і проводимо праворуч вертикальну риску;

- найменший простий дільник цього числа записуємо праворуч від риски;

- зліва від риски під заданим числом записуємо частку від ділення числа на простий дільник;

- праворуч від риски записуємо найменший простий дільник одержаного числа.

Продовжуємо таким чином знаходити прості дільники, доки частка дорівнюватиме одиниці.

Праворуч від риски розташовані найменші прості дільники заданого числа.

Розкладом на прості множники буде добуток цих найменших дільників.

                                              Найбільший спільний дільник

Найбільшим спільним дільником двох чисел називається найбілььше число, на яке ділиться кожне з даних чисел.

Правило знаходженя НСД: 

1. розкладіть дані числа на прості множники;

2. знайдіть добуток спільних дільників даних чисел.

Герда мандрувала і потрапила у країну Подільність Натуральних Чисел.

Числа 7 і 14 попросили їх розсудити: хто з них є складеним числом. Тоді Герда взяла число 7 і розклала їх на множники 1*7, а 14 на 1*2*7 оскільки Герда добре знала математику сказала: складеним числом є 14, бо воно має більше, ніж 3 множники.

Йшла і побачила числа 50, 62, 25, вони сварилися. Число 62 говорило, що ділиться на 10, 5, 2, 25 теж саме, 50 теж. Але вони не вміли ділити, і Герда їх помирила, бо знала правила за якими можна було перевірити хто правий. Число  62 ділиться лише на 2, бо закінчується парною цифрою, 25 лише на 5, бо закінчується на 5, а 50 на всі: на 10, бо закінчується нулем, на 5, бо п’ятіркою, на 2, бо 0.

Ще одна ситуація була з числами 5742 і 5051, які сварилися через те, хто з них ділиться на 9. Правим Герда визнала число 5742, сума цифр якого дорівнювали 18, а 18 ділиться на 9, отже число 5742 теж ділиться на 9.

Числа 72, 84, 90 не змогли визначити НСД, тоді їм допомогла Герда. Вона розклала їх на прості множники і виявилося, що НСД (72, 84, 96) = 6

Проходячи біля НСК чисел не було питань. Тоді Герда пішла у країну Раціональних Чисел.

Вже декілька днів Герда блукала голодна і шукала Кая. Герда була настільки стомлена, що вона вирішила зупинилась. Сіла біля річки і незчулась як заснула. Сниться їй дивний сон. Начебто на іншому березі річки стоїть велике місто. Потрапити до міста можна через міст. Герда підійшла до нього і побачила, що міст засипаний великою кількістю чисел. Щоб перейти через міст потрібно було числа розкласти по комірках, на яких було написано: діляться на 2, на 3 на 5, на 9, і на 10. Герда почала ділити. Та їх було так багато, що вона швидко втомилася. Уважно роздивившись числа, Герда помітила, що числа, які діляться на 2 ті, що закінчуються п’ятіркою або нулем діляться на 5, а ті, що закінчуються нулем на 10.

Їй залишилося розкласти числа до яких ці правила не підходять. І ось тут вона згадала останній урок математики, на якому вивчали ознаки подільності. Вона спробувала додати цифри в числах і з’ясувалася, що числа в яких сума цифр ділиться на 3 чи на 9, то все число ділиться на 3 чи на 9. Герда хутко виконала це завдання. Вона потрапила в місто.

На великій площі перед королівським палацом сидів хлопчик і плакав.

·        Чому ти плачеш? – запитала Герда.

·        Злий король наказав мені із великої купи чисел вибрати ті, що діляться на 6. – відповів хлопчик.

·        Не плач – сказала Герда – я допоможу тобі. Тобі потрібні ті числа, які діляться на 2 і на 3 одночасно. Спочатку відбери числа, що закінчуються парною цифрою, це означає, що вони діляться на 2. А потім у відібраних числах порахуй суму цифр. Якщо вона поділиться на 3 то це означає, що число ділиться на 6.

Хлопчик швидко впорався з цим завданням. А Герда було приємно, що її знання комусь допомогли. Їй так хороше й радісно на душі зробилось, що вона від щастя прокинулась. А надворі світило ясне сонечко, яке нагадало, що пора в дорогу. І пішла дівчина далі шукати Кая.

На основі знань про кратне число сформувати уявлення учнів про поняття спільного кратного кількох натуральних чисел, НСК, а та­кож навчити їх користуватися алгоритмом знаходження НСК двох (трьох і т.д.) натуральних чисел.

Найменше спільне кратне

Найменшим спільним кратним двох чисел називається найменше число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

Правило знаходження НСК:

1. розкладіть дані числа на прості множники;

2. запишіть розклад одного числа з даних чисел;

3. допишіть до цього розкладу такі множники із розкладу іншого числа, які ще не увійшли до добутку;

4. обчисліть отриманий добуток.

Фокус 

( подільність на 11)

Демонстратор пропонує написати на класній дошці чи на аркуші паперу будь-яке багатоцифрове число. До цього числа він може приписати зліва чи справа одну цифру так, щоб одержане число ділилось на 11. Якщо, наприклад, ваш товариш написав число 43572, то вам треба приписати зліва чи справа до цього числа цифру 1. Одержане число поділиться на 11. Спосіб вгадування. Щоб розібратись, яку цифру треба приписати зліва чи справа до числа, щоб одержане після цього число ділилось на 11, скористайтесь ознакою подільності на 11: на 11 діляться ті і тільки ті числа, в яких сума цифр, що стоять на непарних місцях, або дорівнює сумі цифр, що стоять на парних місцях, або більша чи менша від цієї суми на число, що ділиться на 11. 

Джерела

А. Л. Воєвода В63 Зацікавити математикою: (методичні матеріали для підвищення інтересу до математики): Методичний посібник. – 2-ге вид., допов. і перероб. – Вінниця:,ФОП «Легкун В.М.», 2012. 

1. Про основну властивість дробу.

2. Як скорочувати дроби.

3. Як зводити дроби до спільного знаменника.

4. Як порівнювати дроби з різними знаменниками.

5. Як виконувати арифметичні дії з дробами.

6. Що таке десяткові наближення звичайного дробу.

7. Як застосувати вивчений матеріал на практиці

Повторити відомості про звичайні дроби, набуті в 5 класі (зміст чисельника і знаменника звичайного дробу, запис, читання; дріб як ча­стка; порівняння [додавання і віднімання дробів з однаковими знаменни­ками], види дробів: правильний і неправильний; запис неправильного дробу і мішане число і т. ін.); сформувати в учнів уявлення про рівність дробів (з однаковими знаменниками).

Сформувати уявлення учнів про зміст поняття скорочення дро­бів та навчити користуватися цими уявленнями для виконання завдань, що передбачають скорочення дробів та дробових виразів.

Основна властивість дробу. Скорочення дробу

Основна властивість дробу: якщо знаменник і чисельник звичайного дробу помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля, то значення отриманого дробу буде дорівнювати даному.

Ділення чисельника і знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називається скороченням дробу.

Дріб, чисельник і знаменник якого є взаємно простими числами, називають нескоротним.

Наприклад, дріб чотири восьмих можна скоротити на чотири, отримаємо дріб одна друга. Дріб три п’ятих нескоротний, оскільки числа три і п’ять взаємно прості.

На основі основної властивості дробу сформувати уявлення учнів про зміст поняття зведення дробів до спільного знаменника, а та­кож розпочати роботу з вироблення вмінь зводити дроби до найменшо­го спільного знаменника.

Найменший спільний знаменник. Зведення дробів до спільного знаменника

Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, потрібно:

- знайти спільне кратне знаменників дробів;

- для кожного дробу знайти додатковий множник, для чого потрібно спільний знаменник дробів поділити на кожний зі знаменників дробів;

- чисельник і знаменник дробів помножити на відповідний додатковий множник.

Порівняння дробів

Щоб порівняти дроби, їх треба перетворити так, щоб знаменники були однаковими, тобто звести дроби до найменшого спільного знаменника.

Із двох дробів з однаковими знаменниками менший той, у якого чисельник менший.

Із двох дробів з однаковими чисельниками менший той, у якого знаменник більший.

На основі вмінь додавати й віднімати дроби з однаковими зна­менниками та зводити дроби до НСЗ, сформувати уявлення про алго­ритм додавання і віднімання дробів з різними знаменниками, розпочати роботу з формування вмінь використовувати названі алгоритми (у най­простіших випадках) 

Додавання і віднімання звичайних дробів з різними знаменниками

Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно звести їх до найменшого спільного знаменника, виконати додавання або віднімання чисельників і підписати спільний знаменник.

Щоб додати або відняти мішані числа, дробові частини яких мають різні знаменники, необхідно звести дробові частини до найменшого спільного знаменника, після чого виконати додавання або віднімання цілих частин і додавання або віднімання дробових частин.

Сформувати уявлення учнів про алгоритм знаходження добут­ку звичайних дробів і розпочати роботу з вироблення вмінь виконувати множення дробів і розв'язувати завдання, що передбачають множення звичайних дробів.

Домогтися засвоєння учнями алгоритму знаходження значен­ня дробу від числа (відсотків від числа) як добутку даного числа на цей дріб (відсотки, які виражені дробом); повторити способи розв'язування інших видів задач на множення дробів.

Множення дробів

Добутком двох дробів буде дріб, у якого чисельник є добутком чисельників дробів, а знаменник — добутком знаменників.

Щоб перемножити звичайні дроби, треба перемножити їх чисельники і перемножити їх знаменники. Перший добуток записати в чисельник, а другий – у знаменник.

Знаходження дробу від числа.  

Щоб знайти дріб від числа, потрібно число помножити на цей дріб.

Щоб знайти відсотки від числа, необхідно відсотки представити у вигляді дробу і помножити задане число на одержаний дріб.

При множенні звичайних дробів можна спочатку записати в чисельник результату добуток чисельників, а в знаменник – добуток знаменників. Виконати скорочення одержаного дробу, якщо це можливо, і після цього перемножити одержані числа в чисельнику і знаменнику.

Множення дробів підпорядковується розподільній, переставній і сполучній властивостям.

При множенні звичайного дробу на натуральне число натуральне число записують у вигляді неправильного дробу зі знаменником одиниця, після чого виконують множення дробів.

При множенні мішаних чисел множники представляють неправильними дробами і виконують множення звичайних дробів.

Дотепність не завадить

 Ще в шкільні роки майбутній видатний німецький математик К. Гаусс вражав свого вчителя розумом і дотепністю. Одного разу він звернувся до свого кращого учня: «Я поставлю тобі два запитання. Якщо на перше даси правильну відповідь, то на друге – можеш не відповідати. Отже, скажи мені, юний друже, скільки голок на нашій різдв’яній ялинці?» Учень одразу відповів: «67534». - Як ти так швидко зумів полічити голки? – здивувався вчитель. - А це вже друге запитання. – посміхнувся Гаусс. 

Домогтися засвоєння учнями алгоритму ділення дробів; фор­мування вміння замінювати ділення дробів множенням; відпрацювати навички роботи із дробовими виразам.

Домогтися засвоєння учнями алгоритму розв'язування задач на знаходження числа за його дробом (відсотками); повторити алгорит­ми розв'язування інших задач на ділення; виробляти вміння розв'язу­вати задачі на застосування названих алгоритмів.

Ділення дробів

Два числа, добуток яких дорівнює одиниці, називаються взаємно оберненими.

Щоб знайти число, обернене до звичайного дробу, треба його чисельник і знаменник поміняти місцями.

Щоб знайти число, обернене до натурального числа, треба натуральне число представити у вигляді неправильного дробу зі знаменником одиниця і поміняти місцями чисельник і знаменник дробу. Отже, чисельник дробу, оберненого до натурального числа, дорівнює одиниці.

Щоб поділити один дріб на другий, потрібно перший дріб помножити на дріб, обернений до дільника.

Щоб поділити звичайний дріб на натуральне число, необхідно даний дріб помножити на дріб, у чисельнику якого одиниця, а в знаменнику число, що дорівнює дільнику.

Щоб поділити мішані числа, необхідно мішані числа представити у вигляді неправильних дробів і виконати ділення одержаних звичайних дробів.

Знаходження числа за його дробом 

Щоб знайти число за його дробом, потрібно дану величину його дробу поділити на цей дріб.

Щоб знайти число за його відсотками, необхідно відсотки представити у вигляді дробу і число, що відповідає відсоткам, поділити на одержаний дріб.

Особлива дошка 

Якось Ампер ішов вулицею і вираховував щось у голові. Раптом вчений побачив перед собою чорну дошку, таку ж, як в аудиторії. Зрадівши, він підбіг до неї, дістав шматочок крейди, яку завжди мав при собі, і почав писати формули. Дошка, однак, зрушила з місця. Ампер, не усвідомлюючи того, що робить, пішов за нею. Дошка набирала швидкість. Учений побіг. АПР 91 Отямився він тільки тоді, коли почув нестримний сміх перехожих. Аж тоді Ампер помітив, що дошка, на якій він писав формули – це задня стінка чорної карети. 

повторити й систематизувати знання, які учні мають з 5 класу про перетворення десяткових дробів у звичайні і навпаки; доповнити ці відо­мості уявленням про нескінченні періодичні дроби та ознакою дробу, що його можна записати скінченним десятковим дробом; сформувати вміння записувати дробове число у вигляді десяткового (періодичного) дробу.

Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Щоб перетворити звичайний дріб у десятковий, достатньо його чисельник поділити на знаменник.

Якщо при діленні чисельника на знаменник матимемо нескінченний дріб, у якого одна або кілька цифр повторюються в одній і тій же послідовності, то такий дріб називають періодичним.

У таких випадках говорять про наближене перетворення звичайних дробів у десяткові.

Чистий періодичний дріб — такий дріб, у якого період починається одразу після коми, мішаний — такий, у якому між комою і періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються.

Якщо в розкладі на прості множники знаменника звичайного дробу є лише числа 2 і 5, то такий дріб перетворюється у скінчений десятковий дріб.

Якщо в розкладі на прості множники знаменника звичайного нескоротного дробу, крім чисел 2 і 5, є інші прості множники, то такий дріб перетворюється у нескінчений десятковий дріб.

1. про відношення та його властивості

2. що таке пропорція

3. які є  пропорційні залежності величин

4. як поділити число в данному відношенні

5. що таке масштаб

6. про коло, круг, круговий сектор та просторові фігури обертання

7. які є види діаграм та як їх побудувати

8. як проводити відсоткові розрахунки

9. що таке ймовірність випадкової подіїта як її знаходити.

узагальнити знання учнів про зміст дії ділення чисел; сформу­вати уяву про поняття відношення двох чисел, його змісту, властивості, а також сформувати уяву про взаємно обернені відношення.

План

1.    Поняття відношення двох чисел.

Приклади. Як читається частка двох чисел?

2.    Що показує відношення чисел а і b, якщо: а) а < b; б) а > b?

3.    Як знайти відношення величин, що виражені:

а) однією одиницею вимірювання;

б) різними одиницями вимірювання?

4.    Властивості відношень.

5.    Обернені відношення.

Основна властивість відношення

Відношенням називається число, що показує, у скільки разів одна величина більша від іншої, або яку частину одна величина становить від іншої. Відношення двох чисел – це частка цих чисел.

Числа, що становлять це відношення, є його членами.

Основна властивість відношення: відношення не зміниться, якщо кожний член відношення помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля.

Відношення величин, які виміряно однаковими одиницями вимірювання, можна замінити відношенням чисел. Наприклад, відношення 15 см до 3 см дорівнює відношенню 15 до 3.

сформувати уявлення  про зміст понять пропорція, чле­ни пропорції, основна властивість пропорції та виробити вміння засто­совувати ці поняття під час розв'язування типових завдань, що передба­чають їх застосування.

1.    Поняття пропорції. Приклади пропорцій. Способи запису і читання пропорцій.

2.    Елементи пропорції.

3.    Основні властивості пропорції.

4.    Використання основної властивості пропорції.

Пропорція. Основна властивість пропорції

Пропорція – це рівність двох відношень. Наприклад, відношення чисел а і b дорівнює відношенню чисел c і d. При цьому числа а і d називаються крайніми членами пропорції, а числа b і c – середніми її членами.

Якщо значення першого відношення у пропорції дорівнює другому відношенню, то пропорція правильна.

Основна властивість пропорції: якщо пропорція правильна, то добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх

Правильним буде й обернене твердження:

Якщо добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, то пропорція правильна (істинна).

сформувати уявленняпро пряму пропорційну за­лежність величин, ознайомити із прикладами таких величин, що їх учні зустрічають у повсякденному житті та під час вивчення шкільних пред­метів; сформувати вміння розв'язувати задачі цього типу складанням пропорції.

сформувати уявлення про зміст поняття обернено про­порційних величин; навчити відрізняти прямо і обернено пропорційні вели­чини, розв'язувати обернено пропорційні величини складанням пропорції.

Якщо дві змінні величини пов’язані між собою так, що при зменшенні або збільшенні однієї з них друга теж зменшується або відповідно збільшується у стільки ж разів, то такі величини називають прямо пропорційними, а залежність між ними — прямою пропорційністю.

Якщо ж дві змінні величини пов’язані між собою так, що при зменшенні або збільшенні однієї величини друга збільшується або відповідно зменшується у стільки ж разів, то вони називаються обернено пропорційними, а залежність між ними — оберненою пропорційністю.

сформувати уявлення про зміст поняття відсоткове відношен­ня двох чисел та виробити вміння знаходити відсоткове відношення двох чисел та розв'язувати задачі, що передбачають цю дію.

Щоб поділити деяке число на частини, пропорційні даним числам, потрібно поділити його на суму цих чисел і знайдену частку послідовно помножити на кожне з них.

Масштаб

На географічних картах, планах тощо записують, у скільки разів зменшено відстані. Це записують за допомогою масштабу.

Масштаб – це частка, діленим у якій є одиниця, а дільником – число, що вказує, у скільки разів реальні розміри більші, ніж розміри на карті чи плані.

Наприклад, масштаб один до тисячі вказує на те, що в одному сантиметрі на плані міститься тисяча сантиметрів, тобто десять метрів, на місцевості.

Щоб знайти реальну відстань, зображену на карті, необхідно знайти цю відстань на карті і помножити її на дільник масштабу.

сформувати уявлення про геометричну фігуру круг та поняття площі круга; навчити користуватися формулою S = πR2 для розв'язування задач.

сформувати уявлення про повний кут, круговий сектор і вимі­рювання секторів частинами повного кута; відпрацювати навички розв'язування задач на застосування формул C = πD, S = πR2 та поняття кругового сектора.

Коло. Довжина кола. Круг. Площа круга. Круговий сектор

Коло – це фігура, що складається з точок, рівновіддалених від однієї точки, яка називається центром кола.

Відрізок, що сполучає будь-яку точку кола з центром кола, називається радіусом кола.

Відрізок, що сполучає дві точки кола і проходить через центр кола, називається діаметром кола.

Для всіх кіл відношення довжини кола до його діаметра є величина незмінна. Її наближене значення – три цілі чотирнадцять сотих. Ця величина позначена грецькою буквою p.

Довжина кола визначається за формулою: c = pd або c = 2 pr. При цьому d – це довжина діаметра кола, r – довжина радіуса кола. Тобто, щоб знайти довжину кола, треба його діаметр помножити на p або два радіуси помножити на p.

Площа круга визначається за формулою: S = pr2, або S = 1/4pd2. Тобто, щоб знайти площу круга, треба квадрат радіуса помножити на p, або квадрат діаметра помножити на p і поділити на чотири. Площа круга також визначається як добуток половини довжини його кола на радіус.

систематизувати знання учнів про види задач на відсотки та доповнити їх алгоритмом розв'язування таких типів складанням про­порцій.

Відсоткове відношення двох чисел. Відсоткові розрахунки

Відношення чисел або величин можна виражати у відсотках. Щоб знайти, скільки відсотків перше число становить від другого, потрібно ці числа поділити перше на друге і частку помножити на 100 відсотків.

Щоб визначити, на скільки відсотків збільшилась або зменшилась задана величина, необхідно:

- знайти, на скільки одиниць збільшилась або зменшилась задана величина;

- знайти, скільки відсотків становить знайдена різниця від заданого значення величини.

• Запишіть чотирицифрові числа, які кратні 423 і закінчуються цифрою 5.

Якщо шукане число закінчується цифрою 5, то воно кратне 5 і, за умо­вою, кратне 423. Отже, воно кратне до 423 · 5 = 2115.

1) 1 · 2115 = 2115;

2) 2 · 2115 = 4230 — не підходить, бо закінчується нулем;

3) 3 · 2115 = 6345;

4) 4 · 2115 = 8460 — не підходить, бо закінчується нулем;

5) 5 · 2115 = 10575 — це п'ятицифрове число.

Відповідь. 2115, 6345.

II. Актуалізація опорних знань

• (Задача-жарт). Хлопчики-мізинчики вирішили організувати команду,яка охороняла б скарбницю. Труднощі почалися тоді, коли з'ясувалось,що може виникнути потреба поділити команду на загони або по 12, абопо 15 членів у кожному. Хлопчики-мізинчики розв'язали цю складнузадачу — знайшли найменшу кількість членів, з якої складалася б чер­гова команда. Спробуй і ти розв'язати цю задачу.

Нам потрібно знайти НСК(12; 15).

НСК(12; 15) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60.

Відповідь. 60 членів.

• У числі 7 030 605 усі нулі замініть такою однією і тією ж цифрою, щоб знайдене число ділилось на 9. Вкажіть усі можливі випадки.

Щоб число ділилось на 9, потрібно, щоб сума цифр даного числа діли­лась на 9. Нам потрібно тричі вписати одну цифру. Знайдемо суму цифр да­ного числа: 7 + 3 + 6 + 5 = 21. Наступним числом, яке ділиться на 9, є 27. 27 - 21 = 6. 6 : 3 = 2. Одержимо число 7232625. Далі: 36 - 21 = 15; 15 : 3 = 5. Отримаємо число 7535655. Наступним числом, яке ділиться на 9, є 45. 45 – 21 = 24. 24:3=8. Одержимо число 7838685. Наступне число 54 - 21 = 33; 33 : 3 = 11 — це двоцифрове число, воно не підходить. Продов­жувати перевірку далі немає сенсу.

Відповідь. 2; 5; 8.

• Обчисліть суму всіх дробів із чисельником 1, а знаменники яких — різніпрості одноцифрові числа.

Простими одноцифровими числами є 2, 3, 5 і 7.

.

• 
  Сума чотирьох чисел дорівнює 210. Перше число становить цієї су­ми, друге число — першого числа, а третє число — суми рештидвох чисел. Знайдіть ці числа.

1) 210 · = 84 — перше число;

2) 84 ·= 21 — друге число;

3) 84 + 21 = 105 — сума першого та другого чисел;

4) 210 – 105 = 105 — сума решти двох чисел;

5) 105 ·= 63 — третє число;

6) 105 – 63 = 42 — четверте число.

Відповідь. 84; 21; 63; 42.

• (Старовинна задача Я. П. Магницького.) Один чоловік запитав учителя:«Скільки в тебе в класі учнів, бо я хочу віддати тобі на навчання свогосина?» Учитель відповів: «Якщо прийде стільки учнів, скільки я маю, іпівстільки, і четверта частина, і твій син, то в мене буде 100 учнів».Скільки учнів було в учителя?

Нехай в учителя було х учнів. Тоді

;

;

2х = 99;    

.

х = 36.

Відповідь. В учителя було 36 учнів.

• Лосі становлять 30% загальної кількості козуль і лосів, які є в заповід­нику. Скільки козуль у заповіднику, якщо лосів на 144 менше, ніжкозуль?

Нехай у заповіднику є х козуль, тоді лосів — х - 144. Загальна кількість козуль і лосів — х + х - 144, 30% = 0,3.

х - 144 = 0,3 · (х + х - 144);

х - 144 = 0,3 · (2х - 144);

х - 144 = 0,6х - 43,2;

x - 0,6х =144 - 43,2;

0,4x = 100,8;

x = 252.

Відповідь. У заповіднику є 252 козулі.

• Перше число становить 80% другого. Скільки відсотків становить другечисло від першого?

Нехай друге число дорівнює х, тоді перше — 0,8х.

= 1,25 = 125%.             Відповідь. 125%.

V. Підсумок уроку

• Число зменшили на 50%. На скільки відсотків потрібно збільшити знайдене число, щоб отримати початкове?

Нехай початкове число дорівнювало х. Його зменшили на 50% і отри­мали 0,5х. Щоб це число знову дорівнювало х, до нього потрібно додати 0,5х, тобто збільшити на 100%.

Відповідь. 100%.