Складено згідно  навчальної програми для загальноосвітніх навчальних закладів IIступеня, «Математика. 5-9 класи ( автори: М. І. Бурда, Б. В. Кудренко, О. Я. Біляніна, А. І. Азаренкова, О. І. Буковська, Т. С. Кіндюх, О. Є. Лисенко, А. В. Миляник, Н. В. Панова, А. В. Паньков)», затвердженої наказом МОН України від  07.06.2017 №804, з урахуванням змін, затвердже­них наказом МОН України  від 09.08.2017№1/9-436.

Складено до підручника: Мерзляк А.Г.Алгебра: підруч. для 8-го кл. загальноосвіт. навч. закл./А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір..- Х.: Гімназія, 2016/

Алгебра, 8 клас

І семестр

Дата проведення                                                  

8-а                        8-б                      8-в                   

                                                          Тема1. Дії з раціональними дробами

( 18 годин )

1. Повторення курсу алгебри 7 класу

2. Повторення курсу алгебри 7 класу

3. Раціональні вирази. Раціональні дроби.

4. Основна властивість раціонального дробу

5. Основна властивість раціонального дробу

6. Розв’язування задач і вправ

7. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками

8. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

9. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

10. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

11. Множення дробів

12. Ділення дробів

13. Піднесення дробу до степеня

14. Розв’язування задач і вправ

15. Тотожні перетворення раціональних виразів

16. Тотожні перетворення раціональних виразів

17. Узагальнення і систематизація знань. 

Підготовка до контрольної роботи

18. Контрольна робота № 1 з теми «Дії з раціональними дробами»

Тема 2.Раціональні рівняння. Степінь із цілим показником

( 14 годин)

19. Аналіз контрольної роботи.

Рівносильні рівняння

20. Розв’язування раціональних рівнянь

21. Степінь із цілим від’ємним показником

22. Стандартний вигляд числа

23. Властивості степеня із цілим показником

24. Властивості степеня із цілим показником

25. Функція у= , її графік і властивості

26. Розв’язування вправ і задач

27. Узагальнення та систематизація знань.

Підготовка до контрольної роботи

28. Контрольна робота № 2 з теми «Раціональні рівняння.

 Степінь із цілим показником»

29. Аналіз контрольної роботи

30. Розв’язування вправ підвищеної складності

31. Розв’язування вправ підвищеної складності

32. Підсумковий урок

Лінійні рівняння та їх системи

1. Рівняння. Лінійні рівняння з однією змінною

2. Розв`яязування задач за допомогою лінійних рівнянь

3. Лінійне рівняння з двома змінними. Графік лінійного рівняння з двома змінними

4. Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв`язок. Розв`язування систем лінійних рівнянь з двома змінними графічно

5. Розв`язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки

6. Розв`язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання

7. Розв`язування задач за допомогою систем двох лінійних рівнянь з двома змінними 

Рівняння 

   Рівнянням називається рівність, що містить невідоме, значення якого треба знайти.

   Значення невідомого, за якого рівняння перетворюється на правильну числову рівність, називається коренем рівняння.

   Розв`язати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Основні властивості рівнянь

1. Корені рівняння не зміняться, якщо до обох частин рівняння додати (або від обох частин рівняння відняти) одне й те саме число.  

2. Корені рівняння не зміняться, якщо обидві частини рівняння помножити (або поділити) на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Схема розв`язування задач на складання рівнянь:

1. за умовою задачі скласти рівняння (сконструювати математичну модель задачі);

2. розв`язати отримане рівняння;

3. З`язувати, чи відповідає знайдений корінь змісту задачі, і дати відповідь.

Системи рівнянь із двома змінними

   Розв`язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, які перетворюють кожне рівняння в правильну рівність.

  Розв`язати систему рівнянь - це означає знайти всі її розв`язки або довести, що розв`язків не існує.

Графічний метод розв`язування систем двох лінійних рівнянь із двома змінними

   Графічний метод розв`язування системи рівнянь полягає в такому:

1. побудувати на одній координатній площині графіки рівнянь, що входять до системи;

2. знайти координати всіх точок перетину побудованих графіків;

3. отримані пари чисел і будуть шуканими розв`язками.

Якщо графіками рівнянь, що входять до системи лінійних рівнянь, є прямі, то кількість розв`язків цієї системи залежить від взаємного розміщення двох прямих на площині:

1. якщо прямі перетинаються, то система має єдиний розв`язок;

2. якщо прямі збігаються, то система має безліч розв`язків;

3. ящо прямі паралельні, то система розв`язків не має.

Розв`язування систем лінійних рівнянь методом підстановки

Щоб розв`язати систему лінійних рівнянь методом підстановки, треба:

1. виразити з будь-якого рівняння системи одну змінну через другу;

2. підставити в друге рівняння системи замість цієї змінної вираз, отриманий на першому кроці;

3. дібравши "вигідні" множники,ати рівняння з однією змінною, отримане на другому кроці;

4. підставити знайдене значення змінної у вираз, отриманий на першому кроці;

5. обчислити значення другої змінної;

6. записати відповідь.

Розв`язування систем лінійних рівнянь методом додавання

Щоб розв`язати систему лінійних рівнянь методом додавання, треба;

1. дібравши "вигідни" множники, перетворити одне чи обидва рівняння системи так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами;

2. додати почленно ліві й праві частини рівнянь, отриманих на першому кроці;

3. розв`язати рівняння з однією змінною, отримане на другому кроці;

4. підставити знайдене на третьому кроці значення змінної в будь-яке з рівнянь вихідної системи;

5. обчислити значення другої змінної;

6. записати відповідь.

РІВНЯННЯ. СИСТЕМИ РІВНЯНЬ

 Стародавнім єгиптянам деякі методи розв'язання рівнянь відомі ще з II тис. до н. е. У збережених математичних папірусах є не лише задачі, що розв’язуються за допомогою рівнянь першого степеня з одним невідомим, а й задачі, що призводять до рівнянь виду ax = b ^2 . Ще складніші задачі вміли розв’язувати математики Вавилону (2000–1700 рр. до н. е.), зокрема, квадратні й біквадратні рівняння, системи рівнянь з двома невідомими і навіть найпростіші кубічні рівняння. Вавилоняни як і єгиптянини не використовували буквених позначень, а наводили розв'язки типових задач, які супроводжувалися вказівкою «Роби, як робиться, і ти дістанеш правильне». З VI ст. до н. е. старогрецькі математики висловлювали всі алгебраїчні твердження в геометричній формі – замість додавання чисел виконували додавання відрізків, добуток двох чисел розглядали як площу прямокутника, добуток трьох чисел як об'єм прямокутного паралелепіпеда. Так з'явились терміни «квадрат числа» (добуток величини на себе), «куб числа». Вони розв'язували квадратне рівняння геометрично, шукаючи сторони прямокутника за заданими периметром і площею. Такий підхід до задач алгебри обмежував розвиток науки. Діофанту належить постановка і розв’язування задач, які зводились до невизначених рівнянь та систем рівнянь, у тому числі до систем, де кількість рівнянь менша кількості невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише додатні раціональні розв'язки. Китайські математики розробили метод послідовного виключення невідомих для розв'язання систем лінійних рівнянь (152 р. до н. е.). З VI ст. центр математичних досліджень переходить в Індію та країни Близького Сходу і Середньої Азії. Алгебра вже розглядалась як самостійна галузь математики, що займається розв'язуванням рівнянь. У IХ ст. узбецький математик і астроном ал-Хорезмі в трактаті «Китаб аль-джебр валь-мукабала» дав загальні правила розв'язання рівнянь першого степеня. Слово «аль-джебр» (відновлення), від якого походить назва алгебри, означало перенесення від'ємних членів рівняння з однієї частини в іншу зі зміною знака. Леонардо Пізанський (Фібоначчі) у «Книзі про абак» (1202) перший в Європі дав відомості з алгебри (до квадратних рівнянь включно). 

Засвоєння змісту понять: цілий вираз, дробовий вираз, раціональний вираз, раціональний дріб, допустимі значення змінної у виразі;

сформувати уміння виділяти названі види виразів серед запропонованих виразів зі змінними, а також вико­нувати дії, що мають на меті знаходження ОДЗ дробового виразу.

1.       Цілі вирази.

2.       Дробові вирази.

3.       Раціональні вирази.

4.       Раціональний дріб.

5.       Допустимі значення змінних у виразі (ОДЗ).

Раціональні вирази

В алгебрі мають справу не тільки з числовими виразами, а й із виразами, що містять і числа, і букви. Ці вирази поділяються на цілі та дробові.

Цілими називаються вирази, які містять числа, змінні, дії їх додавання, віднімання, множення та ділення на число, відмінне від нуля.

Дробовими називаються вирази, які містять числа, змінні, дії їх додавання, віднімання, множення та ділення на змінну.

Дріб, у чисельнику і знаменнику якого містяться многочлени, називається раціональним дробом.

Цілі вирази й раціональні дроби називаються раціональними виразами. Для таких виразів постає питання про їхню область допустимих значень.

Областю допустимих значень змінної (ОДЗ) називаються ті значення змінної, при яких вираз має смисл.

Область допустимих значень цілого виразу — множина всіх дійсних чисел.

Область допустимих значень раціонального дробу — множина всіх дійсних чисел, окрім тих, при яких знаменник дорівнює нулю. 

РІВНЯННЯ. СИСТЕМИ РІВНЯНЬ

 Розв’язування рівнянь третього і четвертого степенів почались ще в Стародавній Греції. Вчені Сходу вміли розв'язувати деякі кубічні рівняння, хоча не мали загальної формули для їх коренів. Геометричні задачі, що призводять до розв’язування рівнянь третього степеня, вперше зустрічаються в китайського астронома і математика Ван Сяотуна (VII ст.).Виклад методів розв’язування рівнянь четвертого і вищих степенів дано в працях китайських математиків ХІІІ-ХIV ст. Цзінь Цзю-шао, Ян Хуэя та ін. Перше значне досягнення європейських математиків XVI ст. належить італійцям С. дель Ферро, Н. Тартальї та Дж. Кардано. Тарталья розв’язав у радикалах деякі типи неповних кубічних рівнянь (1535). Після довгих умовлянь, давши клятву про нерозголошення «великого алгебраїчного секрету», Кардано отримав (у віршованій формі) від Тартальї його спосіб розв’язування. Він зумів узагальнити цей спосіб і поширив його на розв’язування в радикалах повних кубічних рівнянь, знайшовши лінійне перетворення коренів, яке зводило повне кубічне рівняння до виду, вільного від члена другого степеня. У 1545 р. вийшла праця Дж. Кардано «Велике мистецтво, або про алгебраїчні правила», в якій, з посиланням на Тарталью, подано правило розв’язування кубічного рівняння (формула Кардано) та спосіб розв’язування в радикалах рівнянь четвертого степеня, знайдений його учнем Л. Феррарі. Розвиваючи результати Кардано, Вієт відкрив, названу його ім’ям теорему про співвідношення між коренями і коефіцієнтами многочлена. Окремим випадком цієї залежності є теорема Вієта для квадратних коренів. Ф. Вієт вивів формулу коренів квадратного рівняння (1591). У праці «Практика аналітичного мистецтва…» (1631) Т. Гарріот, записуючи рівняння, у лівій частині прирівнював його до нуля. Він першим помітив, що число коренів рівняння визначається його степенем, а ліва частина рівняння повинна розкладатися на таке ж число лінійних множників. С. Стевін увів від’ємні корені рівняння, сформулював умови існування кореня на даному інтервалі (1585). А. Жирар у праці «Нове відкриття в алгебрі» (1629) розглядав від’ємні («розв’язки з мінусом») та уявні («приховані») корені рівнянь. Він першим став вважати нуль коренем рівняння, тобто числом. У XVIII ст. для розв'язку систем лінійних рівнянь виведені формули, які дозволяли виразити розв'язок через коефіцієнти і вільні члени. 

Виконати вправу № 6

Засвоєння змісту основної властивості раціонального дробу, понять скорочення дробу та правила знаків; 

сформувати вміння відтворювати зміст названих понять та використо­вувати вивчені поняття для розв'язування вправ на скорочення раціо­нальних дробів та перетворення їх за допомогою правила знаків.

1. Уявлення про основну властивість звичайного дробу; її адаптація на раціональний дріб (із доведенням).

2. Основна властивість дробу і скорочення дробів. Алгоритм скоро­чення раціонального дробу.

3.   Основна властивість дробу і правило знаків.

Основна властивість дробу

Щоб виконувати рівносильні перетворення виразів, уведемо поняття тотожності.

Тотожністю називається рівність, яка є правильною для всіх значень змінної, що входять до неї.

Вирази називаються тотожно рівними, якщо вони набувають рівних значень для всіх допустимих значень змінних, що містять вирази.

При перетворенні дробових виразів часто доводиться користуватись основною властивістю дробу.

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, що не дорівнює нулю, то одержимо дріб, тотожно рівний даному дробу. 

Основна властивість дробу дозволяє скорочувати дроби. Для цього визначають найбільший спільний множник чисельника і знаменника і скорочують дріб на цей вираз. 

Якщо змінити знак чисельника на протилежний, то знак дробу зміниться на протилежний.

Якщо змінити знак знаменника на протилежний, то знак дробу зміниться на протилежний.

Якщо змінити і знак чисельника, і знак знаменника на протилежний, то знак дробу не зміниться.

1. Старогрецький філософ і логік заснував у Афінах філософську школу (Лікей), яка проіснувала кілька століть. 

2. З 343 р. був вихователем майбутнього видатного полководця Олександра Македонського. 

3. Він добре знав елементарну математику, висловлював глибокі міркування про границю і нескінченність, розв’язав задачу про додавання сил. 

(Відповідь: Аристотель) 

Засвоєння змісту правила та алгоритму додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменни­ками та схеми доведення цього правила; 

сформувати вміння відтворю­вати вивчені правила та алгоритми, а також виконувати дії відповідно до вивчених правил та алгоритмів для виконання додавання і відніман­ня раціональних дробів з однаковими знаменниками.

1. Правило додавання раціональних дробів з однаковими знаменни­ками та його доведення. Алгоритм виконання додавання раціо­нальних дробів з однаковими знаменниками.

2. Правило віднімання раціональних дробів з однаковими знаменни­ками та його доведення. Алгоритм виконання віднімання раціо­нальних дробів з однаковими знаменниками.

 Додавання й віднімання дробових виразів

Щоб додати або відняти дробові вирази з однаковими знаменниками, треба додати або відняти їхні чисельники, а знаменник залишити той самий.

...Жартівливі приклади часто мають більше значення, ніж корисні. М. Штіфель Математичні пародії та жарти відомі в літературі дуже давно. Ще вчений-землемір Метоном з комедії Аристофана «Птахи» в розмові з афінянином Пісфотером нахвалявся розв’язати одну з найвідоміших задач давнини – задачу про квадратуру круга:

 Візьму лінійку, проведу пряму я,

 І круг тоді ураз квадратом стане:

 Всередині влаштуємо ми ринок, 

А вже від нього вулиці підуть –

 Рівненькі, мов проміння в зірки, 

Хоч сама зірка й кругла. 

Класичним зразкам математичної пародії притаманне несподіване, цікаве й дотепне використання математичних понять і методів, як зокрема, в оповіданнях А. Чехова («Задачі божевільного математика», «Канікулярні роботи Надійки N»), гуморесках Остапа Вишні («Геометрія», «Ведмідь», «Паралепіпед»). Цікаві задачі-пародії можна знайти в романах Я. Гашека («Пригоди бравого вояка Швейка»), І. Ільфа і Є. Петрова («Золоте теля», «Дванадцять стільців»), Б. Нушича («Автобіографія») та ін. 

Засвоєння змісту поняття «(найменший) спільний знаменник» для даних раціональних дробів, змісту алгоритму знаходження найменшого спільного знаменника для раціональних дробів, а також алгоритму додавання і віднімання раціональних дробів із різними знаменниками; 

сформувати вміння відтворювати вивчені алгоритми та виконувати дії за цими алгоритмами для запису суми або різниці раціональних дробів із різними знаменниками у вигляді (нескоротного) раціонального дробу.

1. Поняття спільного знаменника для раціональних дробів.

2. Алгоритми зведення дробів до спільного знаменника.

3.* Загальне правило додавання та віднімання раціональних дробів із різними знаменниками.

Щоб додати або відняти дробові вирази з різними знаменниками, треба звести їх до найменшого спільного знаменника, після чого додати або відняти чисельники одержаних дробових виразів, а знаменник залишити той самий.

Запам’ятайте!

Щоб звести дробові вирази до найменшого спільного знаменника, треба:

- розкласти знаменники на множники;

- скоротити дані дроби, якщо це можливо;

- обрати в найменший спільний знаменник найменше спільне кратне числових коефіцієнтів і кожен множник зі змінною, що є в знаменниках дробів, узятих у найбільшому степені;

- знайти доповняльні множники для кожного дробового виразу і помножити на них чисельники та знаменники дробів.

Фокус  

(«Фокусник» пропонує виконати вказані у розповіді дії і перевірити отриманий результат). «На початку 1841 р. на офіцерській вечірці в присутності російського поета М. Лєрмонтова мова зайшла про кардинала, який міг розв'язувати усно складні математичні задачі. 

– Я теж можу продемонструвати вам, якщо бажаєте, дуже цікавий приклад математичних обчислень, – сказав поет. 

– Отже, задумайте будь-яке двоцифрове число, додайте до нього нього 25, потім 125, від суми відніміть 36 i задумане число. Одержаний результат помножте на 5, а добуток поділіть на 2. Ваш остаточний результат – 285. Командир аж підскочив від здивування: 

– Та ви, пане, ворожбит. 

– Ворожбит не ворожбит, а математику вивчав, – відповів поет». 

Пояснення: (А+ 25+125-36 - А)*5: 2  -(150 -36)*5: 2 =1145: 2  =285 

При виконанні віднімання задумане число А виключається. Людина, яка задумала число, виконує інші дії лише над тими числами, які їй пропонуються. Тому демонстратору фокусу легко знайти остаточний результат. Замість чисел 25, 125, 36, 5 і 2 можна взяти й інші числа, але тоді і відповідь буде іншою.

 Наприклад: задумане число помножити на 5, потім помножити на 2, додати 19, відняти 11, в отриманому числі відкинути десятки, остачу поділити на 2, і додати 6. Маємо 10. 

Засвоєння  схеми дій під час множення раціо­нального дробу на цілий вираз, а також алгоритму піднесення раціональ­ного дробу до натурального степеня та виконання сумісних дій піднесення дробу до степеня та множення раціональних дробів; 

сформувати вміння свідомо відтворювати вивчені схеми, а також виконувати дії за цими схема­ми під час виконання відповідних перетворень раціональних виразів.

1.    Алгоритм множення раціонального дробу на цілий вираз.

2. Правило піднесення дробу до степеня (із доведенням). Алгоритм піднесення дробу до степеня.

3.    Алгоритм виконання дій у більш складних виразах, шо містять кілька дій.

4.    Приклади застосування складених алгоритмів.

Множення дробових виразів

Щоб помножити дробові вирази, треба перемножити і їхні чисельники, і їхні знаменники. Перший добуток записати в чисельник добутку, а другий — у знаменник добутку.

Ділення дробових виразів

Щоб поділити дробові вирази, треба помножити ділене на дріб, обернений до дільника.

Піднесення до степеня дробового виразу

Щоб піднести дробовий вираз до степеня, треба піднести до цього степеня і чисельник, і знаменник. Перший степінь записати в чисельник, а другий — у знаменник.

Піфагор (580 - 500 рр.до н. е.) 

Піфагор … означає «прозріваючий гармонією», бо піфії в Древній Греції були жрицями-віщунками, а в Стародавньому Єгипті Гор уособлював гармонію. І. Шмельов. Піфагор разом з його вчителем Фалесом ділить славу засновника грецької математики. Вчений перетворив геометрію в абстрактну науку, що розглядала властивості фігур, які він вивчав. Близько 530 р. до н. е. в місті Кротоні (Італія) заснував власну філософську школу – Піфагорійський союз. За вченням піфагорійців, основоположні принципи світобудови можна було висловити мовою математики і чисел. Вони вважали їх всесильними правителями і законодавцями світу.

 У школі Піфагора зародилась теорія чисел, вчення про правильні многокутники й многогранники, розвивалась теорія музики, астрономія тощо. Піфагорійці сформулювали і довели ряд теорем, які й донині використовують в шкільному курсі геометрії, зокрема: теореми про суму внутрішніх кутів трикутника, про рівність трикутників, основні положення стереометрії. Вони вивчали пропорції і прогресії, ввели многокутні, дружні, досконалі числа і вивчали їхні властивості. Філософію та моральні принципи піфагорійців висловлено в їхніх «Золотих віршах».

Засвоєння змісту поняття «тотожні пере­творення раціональних виразів» та схеми (алгоритму) перетворення раціонального виразу на раціональний дріб.

1.    Загальне уявлення про можливість перетворення будь-якого раціо­нального виразу на раціональний дріб. Що означає фраза «спрости вираз»?

2.    Орієнтовна схема дій під час перетворення раціонального виразу на раціональний дріб.

Тотожні перетворення раціональних виразів

Тотожними перетвореннями раціональних виразів є перетворення, за допомогою яких можна замінити даний вираз на тотожно рівний йому вираз.

До таких перетворень відносяться скорочення дробів, зведення їх до нового знаменника, арифметичні дії над раціональними виразами. Будь-який раціональний вираз можна подати у вигляді дробу, а деякі навіть у вигляді цілого виразу.

Розглянемо скорочення дробових виразів. Часто буває можливим спростити алгебраїчний дріб скороченням спільних множників чисельника і знаменника. У випадку, коли чисельник і знаменник дробу є многочленами, для скорочення дробів треба розкласти чисельник і знаменник на множники. Якщо чисельник і знаменник мають спільні множники, то їх можна скоротити. Якщо спільних множників немає, то спрощення дробового виразу за допомогою скорочення неможливе.

Якщо чисельник і знаменник раціонального дробу є многочленами з дробовими коефіцієнтами, то для спрощення доцільно помножити чисельник і знаменник на спільний знаменник усіх коефіцієнтів. Це можна зробити на підставі основної властивості дробу.

Ланцюжок тотожних перетворень раціональних виразів називається алгебраїчною викладкою. Алгебраїчні викладки можуть бути проведені в різних напрямках: можна розкривати дужки або, навпаки, проводити винесення за дужки тощо. Окрім того, що ці викладки мають проводитися правильно, вони повинні бути доцільними.

"Золоті вірши" (піфагорівці)

. … Мать и отца уважай, проявляй внимание к ближним, 

С теми кто доблестью всех превосходит, поддерживай дружбу. 

Делать старайся полезное людям и следуй советам. 

Не обижайся, сколь можешь, на друга за мелкий проступок … 

… Сон ограничь, научись обуздывать гнев и желанья. 

Не совершай ни сам, ни с другими постыдных деяний. 

Пусть, что важнее всего – твоим главным судьей станет совесть. 

Быть всегда в словах и поступках стремись справедливым 

И никогда не старайся себя вести безрассудно, 

Но запомни, … что богатство то прибывает, то убывает. 

Помни, что честные люди привержены меньше невзгодам.

 …Не раздражайся, узнав, что обман принимают за правду. 

То же, что я говорю, всегда исполнить старайся: 

Веры к тому не имей, чьи слова и дела ненадежны

... Прежде, чем делать, подумай, иначе получится глупо. 

… Не занимайся тем делом, в котором ты не образован, 

Но изучай то, что нужно, и жизнь твоя будет прекрасной.  

Должно оставить беспечность, коль дело идет о здоровье. 

Меру важно во всем соблюдать – в еде и в напитках, 

И упражненьях для тела, и мера есть то, что не в тягость. 

Образ жизни старайся вести нероскошный и чистый. 

Остерегайся деяний, которые вызовут зависть. 

Не допускай непомерных расходов, как низкий душою, 

Но и не слишком скупись. Основа всего – это мера.

 Все дела сначала обдумай, чтоб не было худо. 

В успокоительный сон не должно тебе погружаться, 

Прежде чем снова не вспомнишь о каждом сегодняшнем деле:

 В чем провинился? Что мог совершить? И чего не исполнил? Перебери все в уме, начиная с начала и после. 

Радуйся добрым делам и себя укоряй за дурные. 

Сладкому сну усталые очи не дай смежить прежде, 

Чем ты обсудишь дневные дела свои, так вопрошая: 

Что преступил я? Что натворил? Какого не выполнил долга? 

Первым начавши, припомни ты все по порядку, а после, 

Коль дела дурны, – о них сокрушайся, добрым же рад будь. 

Так поступай и усвой, к чему ты должен стремиться, 

Так ты найдешь пути достиженья божественных качеств. 

Домогтися засвоєння учнями змісту понять: «раціональне рівняння», «ціле раціональне рівняння», «дробово-раціональне рів­няння» - та усвідомлення логічного зв'язку між цими поняттями; 

сформувати в учнів уявлення про зміст поняття «ОДЗ рівняння», роль його в побудові загальної схеми розв'язання дробово-раціонального рівняння та про саму схему розв'язання дробово-раціонального рів­няння; 

сформувати вміння відрізняти вивчені види рівнянь одне від одного та аргументувати свою думку; 

знаходити, використовуючи зміст поняття, ОДЗ рівняння, а також розв'язувати найпростіші дробово-раціональні рівняння за вивченою схемою.

1. Означення раціонального рівняння, цілого раціонального рівнян­ня, дробово-раціонального рівняння (із прикладами та контрприкладами).

2*. Означення   ОДЗ   (раціонального)   рівняння;   знаходження   ОДЗ раціонального рівняння.

3. Алгоритм розв'язання дробово-раціонального рівняння видуА/В = 0, (де А і В — деякі многочлени від однієї змінної).

4. Приклад застосування вивченого алгоритму.

5*. Схема розв'язання найпростіших дробово-раціональних рівнянь з параметром.

Раціональні рівняння. Рівносильні рівняння.

Розв’язування раціональних рівнянь

Раціональним називається рівняння, у якому ліва і права частини є раціональними виразами.

Дробовим називається таке раціональне рівняння, у якому ліва і права чистини є дробовими виразами.

Основний спосіб розв’язування дробових рівнянь зводиться до заміни його рівносильними перетвореннями до такого вигляду: ліва частина рівняння — це дробовий вираз, а права частина — нуль.

Одержане рівняння розв’язуємо, враховуючи, що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Тобто для розв’язання зведеного до такого виду рівняння прирівнюємо чисельник до нуля і знаходимо корені. Після цього виконуємо перевірку умови нерівності знаменника нулю. Якщо при знайденому значенні змінної знаменник дорівнює нулю, то це число не є коренем рівняння. Говорять, що такий корінь — сторонній.

1) Додавання до обох частин рівняння виразів, які містять змінну в знаменнику, може привести до втрати коренів або появи сторонніх коренів.

2) Множення обох частин рівняння на многочлен може привести до появи сторонніх коренів.

3) Ділення обох частин рівняння на многочлен може привести до втрати коренів.

Ці перетворення не є рівносильними, тому їх не можна використовувати при розв’язанні раціональних рівнянь.

Домогтися засвоєння учнями змісту означення степеня з ці­лим від'ємним показником (для цілої та дробової основи степеня); 

сформувати вміння відтворювати означення степеня та застосовувати його для перетворення степеня з цілим від'ємним показником у дріб, та навпаки;

 сформувати вміння розв'язувати вправи на обчислення значень числових виразів із застосуванням вивченого означення степеня з цілим показником;

вивчити властивості степеня з цілим від'ємним показником та сформувати вміння використовувати їх для розв'язування вправ на обчислення значень числових виразів і перетворень виразів зі змінними. 

1.     Означення степеня з цілим від'ємним показником.

2.     Запис означення степеня з цілим від'ємним показником для випад­ку основи, що має вигляд .

3.     Приклади застосування означення степеня з цілим від'ємним по­казником для обчислення значення виразу, що містить степінь.

4. Формулювання і доведення властивостей степеня з цілим від'єм­ним показником.

5. Приклади застосування властивостей степеня з цілим показником.

Степінь із від’ємним показником ненульового числа дорівнює числу, оберненому степеню з протилежним показником цього числа.

закріпити знання учнів про означення та властивості степе­ня з цілим (від'ємним) показником та сформувати вміння використо­вувати їх для розв'язування вправ на обчислення значень числових ви­разів та перетворень виразів зі змінними.

Стандартний вигляд числа

N-им степенем ненульового числа називається добуток n множників, кожен із яких дорівнює заданому числу.

Число, яке множать, називається основою степеня, число множників є показником степеня.

Саме число вважають першим степенем числа і показник степеня не пишуть.

Будь-який степінь числа 1 дорівнює одиниці ().

Нульовий степінь числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці: .

Степінь із від’ємним показником ненульового числа дорівнює числу, оберненому степеню з протилежним показником цього числа .

Піднесення до степеня має такі властивості:

1) Добуток степенів з однаковою основою дорівнює степеню з тією ж основою і показником степеня, що дорівнює сумі показників степеня множників: .

Щоб помножити степені з однаковою основою, треба основу залишити без змін, а показники степеня додати.

2) Частка степенів з однаковою основою дорівнює степеню з тією ж основою і показником степеня, що дорівнює різниці показників степеня множників .

Щоб поділити степені з однаковою основою, треба основу залишити без змін, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника.

3) Степінь степеня дорівнює степеню з тією ж основою і показником степеня, що дорівнює добутку показників степеня: .

Щоб піднести степінь до степеня, треба основу залишити без змін, а показники степеня помножити.

4) Степінь добутку множників дорівнює добутку степенів із тим самим показником кожного множника .

Щоб піднести добуток множників до степеня, треба кожен множник піднести до цього степеня і результати перемножити.

5) Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня і чисельник, і знаменник .

Стандартним виглядом числа називається його запис у вигляді добутку деякого числа, більшого або рівного одиниці, але меншого від десяти, на степінь числа десять. 

домогтися засвоєння учнями основних понять, пов'язаних з означенням функції у=к/х та її властивостями (вид рівняння, область визначення, область значень, вид та назва графіка цієї функції); сформу­вати в учнів первинні вміння: виділяти серед запропонованого списку функцій обернено пропорційні; відтворювати властивості, обернено про­порційних функцій з урахуванням знака коефіцієнта k; будувати графіки функцій, які є оберненою пропорційністю із заданим коефіцієнтом k.

1.    Алгоритм графічного розв'язання рівняння з однією змінною.

2.    Приклад застосування алгоритму графічного розв'язання рівняння з однією змінною.

Функція y =к/х, її графік і властивості

Функція, яка задається формулою y =к/х, де x — незалежна змінна, а k — число, яке не дорівнює нулю, називається оберненою пропорційністю.

Область визначення цієї функції — множина всіх чисел x, відмінних від нуля. Область значень — множина всіх чисел y, відмінних від нуля.

Графіком функції є гіпербола, що має дві вітки, які не з’єднуються між собою і наближаються до осей координат, але не досягають їх. Графік не перетинає вісь ординат. Графік не перетинає вісь абсцис.

Якщо число k додатне, то графік функції розміщується в першій і третій координатних чвертях. Функція в цьому випадку є спадною.

Якщо число k від’ємне, то графік функції розміщується в другій і четвертій координатних чвертях. Функція в цьому випадку є зростаючою.

Графік оберненої пропорційності симетричний відносно початку координат.