Теорія

Многокутники. Площі многокутників

1. Многокутник і його елементи

2. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма

3. Площі трикутника і трапейії

4. Застосування площ

Многокутник

   Многокутник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, яка містить цого сорону.

Сума кутів многокутника

   Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180(n-2).

   Сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360.

Аксіоми площ

1. Рівні многокутники мають рівні площі.

2. Якщо многокутник складений із кількох многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників.

3. Площа квадрата зі стороною,що дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці площі.

Площі фігур

Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідних сторін.

Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони.

Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.

Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей.

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту (добутку середньої лінії на висоту).

Першу математичну енциклопедію, написану на 44 глиняних табличках, склали вавилоняни за 2 тисячі років до нашої ери. Вона містила таблицю множення, таблицю обернених чисел, таблиці для обчислення об’ємів і площ, квадратів і кубів чисел. 

 Єгиптяни ще за 2 тисячі років до нашої ери для побудови прямого кута використовували мотузку, розділену вузлами на 12 частин (3; 4; 5 – єгипетський трикутник). Мабуть, тому землеміри називалися гарпедонаптами (з грецької – натягувачі мотузки).  

Основні математичні пам’ятки Стародавнього Єгипту – папірус Ахмеса (1650 р. до н. е.) і Московський папірус (1900 р. до н. е.) містять відповідно 84 і 25 задач практичного характеру, до яких не даються загальні правила розв’язання.  

Піраміди Стародавнього Єгипту побудовані з 2 300000 кам’яних брил у формі прямокутного паралелепіпеда (вага кожної з них приблизно 2,5 т, а об’єм 1 куб. м). Їх перевозили по річці Ніл, прив’язуючи під човном, бо брила, занурена у воду, була легшою на вагу води, яку вона витісняла. Отже, в Єгипті закон Архімеда застовували задовго до його відкриття самим Архімедом. 

 Давньогрецький математик Евдокс з допомогою «методу вичерпування» довів теореми:

 1. Площа двох кругів відносяться, як квадрати їх діаметрів. 

2. О’бєм піраміди дорівнює третині об’єму призми з тими самими основою і висотою. 

3. Об’єм конуса дорівнює третині об’єму циліндра з тими самими основою і висотою. 

формування понять синуса, косинуса, тангенса кутів від 0° до 180°. Формування вмінь знаходити тригоно­метричні функції тупих кутів. 

Означення синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°

Синусом кута α є ордината точки А одиничного кола, причому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α. Косинусом кута α є абсциса точки А одиничного кола, при­чому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α. Тан­генсом кута α є відношення ординати точки А до абсциси цієї точ­ки, причому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α.

Знаходження значень синуса, косинуса і тангенса тупих кутів

Користуючись наданими означеннями, дамо означення для будь-якого кута α, 0° < α < 180°. Тоді sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0; sin 180° = 0, cos 180° = -l,    tg 180° = 0.

Якщо кут α — тупий (0° < α < 90°), то ордината точки А  додатна (тобто sin α > 0), абсциса — від'ємна (тобто cosα < 0), і відношення ординати до абсциси — від'ємне (тобто tgα < 0).

Отже, косинус, тангенс тупого кута від'ємні.

Якщо α – тупий кут , то cos α = -cos (180°- α),

sinα = sin (180° - α), тоді tg α = -tg(180° - α).

Отже, щоб знайти синус тупого кута, досить знайти си­нус суміжного кута; щоб знайти косинус, тангенс тупого кута, треба знайти число, протилежне косинусу, тангенсу суміж­ного кута.

Наприклад, sin 120° = sin (180° - 120°) = sin 60° = ,

cos 150o = - cos (180° - 150°) = - cos 30° = - ,

tg 135° = -tg (180° - 135°) = - tg 45° = - 1.

1. Сучасний вигляд тригонометрії надав цей швейцарський учений, який жив у ХVIII ст. З 20 років він працював у Російській АН, в 26 років став академіком. 

2. Він вніс значний вклад в розвиток різних наук, написавши 886 наукових праць з математики, фізики, астрономії тощо.

 3. Його називають «батьком теорії графів». 

( Відповідь: Л. Ейлер) 

Вичення теореми косинусів. 

Формування вмінь застосовувати теорему косинусів до розв'язування задач 

Теорема косинусів

У будь-якому трикутнику всі три його сторони і кут між двома з них мають властивість, яка виражається в теоремі косинусів:

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

 З теореми косинусів випливає, що квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін плюс мінус подвоєний добуток однієї зі сторін на проекції другої сторони. Якщо протилежний кут гострий, то беремо знак мінус, якщо протилежний кут тупий, беремо знак плюс.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим.

Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

 За допомогою теореми косинусів можна довести теорему про діагоналі паралелограма:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох суміжних його сторін.

Переказують, що через малий зріст Піфагора, який брав участь у кулачних боях на 58-х Олімпійських іграх (548 р. до н. е), судді не хотіли допустити його до змагань. – Можливо, – заперечив Піфагор, – мій вигляд не викликає у вас довіри, але я буду наносити удари з такою математичною точністю, що супротивникові стане жарко. Глибока віра в число – це моє життєве кредо. Він дотримав свого слова – став чемпіоном з цього виду спорту і утримував титул ще на кількох олімпіадах. За свідченням літописців, завзятий спортивний уболівальник Фалес помер на трибуні Олімпійського стадіону від спеки та спраги, можливо, саме під час кулачного бою Піфагора, за якого дуже хвилювався. 

Вивчення теореми синусів. 

Формування вмінь  застосовувати вивчену теорему до розв'язування задач.

Теорема синусів

Співвідношення між сторонами і протилежними до них кутами будь-якого трикутника виражається в теоремі синусів:

сторони будь-якого трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Якщо трикутник є вписаним в коло з радіусом R, то відношення сторін трикутника до синусів протилежних їм кутів дорівнює двом радіусам описаного кола (тобто дорівнює діаметру описаного навколо трикутника кола).

З теореми синусів випливає, що в трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки, проти більшого кута лежить більша сторона.

Омар Хайям (1048 – 1131)

 Видатний вчений і поет Гійас ад-Дун Абу-л-Фатх ібн Ібрахім Омар Хайям займався математикою, астрономією, хімією, філософією. Найважливіший трактат Хайяма «Про доведення задач алгебри і амукабали» містив майже всі алгебраїчні знанн того часу. В ній пода класифікація рівнянь, задачі на розв’язування рівнянь першого, другого і третього степеня. Він дав перше, що дійшло до нас, означення алгебри як науки про визначення невідомих величин, що знаходяться у деяких співвідношеннях з відомими величинами. Його ідеї застосування алгебри в геометрії нагадують погляди основоположника аналітичної геометрії Декарта. Омар Хайям відомий світу як автор чотирирядкових віршів – рубаї. 

Вони проникнуті гордістю за людину, протестом проти несправедливості та гуманізмом.

Ознайомитись з основними задачами розв'язування трикутників.

Розв’язування трикутників

Розв’язати трикутник — означає за відомими його сторонами і кутами знайти невідомі його сторони і кути.

Задачі на розв’язання трикутників поділяються на такі види:

1. Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома кутами.

План розв’язання:

-   Знаходимо третій кут трикутника, враховуючи, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

-   Записуємо теорему синусів для цього трикутника і, обираючи попарно співвідношення сторін і протилежних до них кутів, знаходимо дві інші сторони трикутника.

2. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом між ними.

План розв’язування:

-   За теоремою косинусів знаходимо третю сторону.

-   За наслідком із теореми косинусів знаходимо косинуси невідомих кутів трикутника, а по можливості і самі кути.

Зверніть увагу!

Це можна зробити і за допомогою теореми синусів.

3. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них.

План розв’язування:

-   За теоремою синусів знаходимо кут, протилежний до другої відомої сторони. При цьому зверніть увагу, що одному і тому ж значенню синуса кута відповідають два кути — гострий і тупий, суміжний із цим гострим кутом. Враховуйте, що проти більшої сторони лежить більший кут.

-   Знаходимо третій кут трикутника.

-   За теоремою синусів знаходимо третю сторону трикутника.

Зверніть увагу! 

Ця задача може мати два розв’язки.

4. Розв’язання трикутника за відомими трьома сторонами.

План розв’язування:

-   За наслідком із теореми косинусів знаходимо один із кутів трикутника.

-   За теоремою синусів знаходимо два інших кути трикутника.

Вони проникнуті гордістю за людину, протестом проти несправедливості та гуманізмом.

 О Майстре, нашого життя первопричина! 

Чом стільки має вад твій первотвір – людина?

 Як добре виліпив, навіщо розбиваєш?

 А вийшла помилка – чия ж у тім провина? 

Шукав поради я у зошитах сторіч –

 і скорбний друг мені таку промовив річ: 

«Щасливий тільки той, з ким поруч мила –

 схожа на місяць-білозір у довгу-довгу ніч!»

 *** 

Якби мені до рук – скрижалі Долі, 

Я розписав би їх по власній волі! 

Із світу вигнав би всі смутки й болі, 

Чолом небес досяг, не жив би долі!

 (Переклад В. Мисика) 

*** 

Не цурайся скарби наживати горбом,

 Навіть, впавши з коня, залишайся верхом.

 У бідняцькім лахмітті ти гідність не страчуй, 

У багатстві не стань модам рабом! 

*** 

Весь вічний рух у Всесвіті – це ми. 

В очах пізнання є зіниця – ми.

 Неначе перстень, цей яскравий світ, 

Найбільш коштовний камінь в ньому – ми. 

(Переклад В. Ящука) 

Формування вмінь застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач.