Теорія 

Складено згідно  навчальної програми для загальноосвітніх навчальних закладів II ступеня, «Математика. 5-9 класи ( автори: М. І. Бурда, Б. В. Кудренко, О. Я. Біляніна, А. І. Азаренкова, О. І. Буковська, Т. С. Кіндюх, О. Є. Лисенко, А. В. Миляник, Н. В. Панова, А. В. Паньков)», затвердженої наказом МОН України від  07.06.2017 №804, з урахуванням змін, затвердже­них наказом МОН України  від 09.08.2017№1/9-436.

Складено до підручника:: Мерзляк А.Г. Геометрія: підруч. для 8-го кл. загальноосвіт. навч. закл./А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір.-2-е видання, переробл._ Х.  : Гімназія, 2021.- 208 с. : іл.

Геометрія, 8 клас

І семестр

Дата проведення                                        

8-а                                8-б                           8-в                     

                                                               Тема1. Чотирикутники

                                                                                 (20 годин)

1. Повторення курсу геометрії 7 класу

2. Чотирикутник і його елементи. Сума кутів чотирикутника

3. Паралелограм і його властивості

4. Ознаки паралелограма

5. Необхідні й достатні умови.

       Розв`язування задач

6. Прямокутник і його властивості

7. Ромб і його властивості

8. Квадрат і його властивості

9. Розв'язування задач і вправ

10. Узагальнення та систематизація знань за темою

"Паралелограм"

11. Середня лінія трикутника

12. Розв'язування вправ і задач

13. Трапеція

14. Середня лінія трапеції

15. Розв'язування вправ і задач

16. Центральні і вписані кути

17. Розв’язування задач і вправ

18. Вписані та опиані чотирикутники

19. Узагальнення і систематизація знань. 

Підготовка до контрольної роботи

20. Контрольна робота № 1 з теми «Чотирикутники»

Розділ 2. Подібність трикутників

(12 годин)

21. Аналіз контрольної роботи. Теорема Фалеса

Теорема про пропорційні відрізки

22. Властивість бісектриси трикутника

23. Подібні трикутники

24. Перша ознака подібності трикутників

25. Розв'язування вправ і задач

26. Друга і третя ознаки подібності трикутників

27. Розв'язування вправ і задач

28. Застосування подібності трикутників

до розв'язування задач

29. Узагальнення і систематизація знань. 

Підготовка до контрольної роботи

30. Контрольна робота № 2 з теми «Подібність трикутників»

31. Аналіз контрольної роботи. Корекція знань і вмінь

32. Підсумковий урок курсу геометрії 7 класу

1. Коло і круг

2. Дотична до кола, її властивість та ознака

3. Геометричне місце точок

4. Описане і вписане кола трикутника

Коло і круг

   Колом називається геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, віддалених від даної точки (центром кола) на однакову відстань

   Кругом називається частина площини, яка обмежена колом і містить його центр.

   Радіусом кола (круга) називається відстань від центра кола до будь-якої  його точки.

   Хордою називається відрізок, що сполучає дві точки кола.

   Діаметром називається хорда, яка проходить через центр кола.

   Діаметр, перпендикулярний до хорди, проходить через її середину, і навпаки, діаметр,проведений через середину хорди,яка не є діаметром, перпендикулярний до цієї хорди.

Дотик прямої і кола

   Дотичною до кола називається пряма, що має з колом єдину спільну точку.

   Властивість дотичної: дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

   Ознака дотичної: якщо пряма проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, то вона є дотичною до кола.

Геометричні місця точок

   Кола є геометричним місцем точок, віддалених від даної точки площини на однакову відстань.

  Серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним міссцем точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка.

   Бісектриса нерозгорнутого кута є геометричним місцем внутрішньої області кута, рівновіддалених від сторін цього кута.

Описане коло

   Коло називається описаним навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на цьому колі.

   Навколо будь-якого трикутника можна описати єдине коло. Центр цього кола є точкою перетину серединних пнрпендикулярів до сторін трикутника.

Вписане коло

   Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.

   У будь-який трикутник можна вписати єдине коло. Центр цього кола є точкою перетину бісектрис трикутника.

Удари з математичною точністю

 Переказують, що через малий зріст Піфагора, який брав участь у кулачних боях на 58-х Олімпійських іграх (548 р. до н. е), судді не хотіли допустити його до змагань. – Можливо, – заперечив Піфагор, – мій вигляд не викликає у вас довіри, але я буду наносити удари з такою математичною точністю, що супротивникові стане жарко. Глибока віра в число – це моє життєве кредо. Він дотримав свого слова – став чемпіоном з цього виду спорту і утримував титул ще на кількох олімпіадах. За свідченням літописців, завзятий спортивний уболівальник Фалес помер на трибуні Олімпійського стадіону від спеки та спраги, можливо, саме під час кулачного бою Піфагора, за якого дуже хвилювався. 

сформувати уявлення про чотирикутник, його елементи: вершина, сторона, діагональ, сусідні сторони (вершини), протилежні сторони (вершини); ввести поняття периметра чотирикутника. Сфор­мувати первинні вміння:

• відтворювати означення чотирикутника, його елементів;

• знаходити на рисунку зображення чотирикутника та його елементів;

• виконувати рисунки за описом;

розв'язувати найпростіші задачі на обчислення із використанням поняття периметра чотирикутника 

1.     Означення чотирикутника.

2.     Елементи чотирикутника.

3.     Периметр чотирикутника.

Чотирикутник, його елементи

Особлива роль серед многокутників у геометрії належить чотирикутникам.

Чотирикутник — фігура, що складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що з'єднують їх послідовно; при цьому повинні виконуватися дві умови:

1. На одній прямій повинно лежати не більше двох точок.

2. Відрізки, що з'єднують точки, не повинні перетинатися.

Точки чотирикутника називаються вершинами, а відрізки, що їх з’єднують, — сторонами.

Сусідні вершини — вершини чотирикутника, які є кінцями однієї з його сторін.

Протилежні вершини — вершини чотирикутника, які не є сусідніми.

Діагональ — відрізок, що з'єднує протилежні вершини.

Сусідні сторони — сторони чотирикутника, які виходять із однієї вершини.

Протилежні сторони — сторони чотирикутника, які не мають спільного кінця.

Периметр — сума всіх сторін чотирикутника.

Чотирикутник позначається указанням його вершин, при цьому вершини називають послідовно.

У кожного чотирикутника 4 вершини, 4 сторони, 2 діагоналі.

Якщо в будь-якому чотирикутнику провести одну діагональ, то чотирикутник розіб’ється на два трикутники. Сума кутів заданого чотирикутника буде дорівнювати сумі кутів обох одержаних трикутників. Ураховуючи, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180, то сума кутів заданого чотирикутника дорівнює 360°.

Запам’ятайте!

Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360.

Сулхан-Саба Орбеліані (1658-1725) – класик грузинської літератури, політичний діяч, вчений. «Тлумачний словник грузинської мови», АПР 107 укладений ним, і донині не втратив свого наукового значення. Він містить тлумачення і деяких педагогічних понять. Збірник байок і новел Орбеліані «Про мудрість брехні» заклав основи демократичного напряму в національній педагогіці.

 Головною метою виховання вчений вважав формування освіченої й високоморальної особистості. Шлях до цієї мети Орбеліані вбачав у гармонійному поєднанні фізичного, розумового, морального і трудового виховання. Особливого значення він надавав природженим талантам учня, але підкреслював важливість глибоких знань і багатого життєвого досвіду вчителя, які належить передати вихованцям.

. Вовк, коза та сіно. Я перекину вузький місток. А ти переправ через нього поодинці на інший берег вовка, козу й в’язку сіна, але так, щоб вовк не розірвав козу і коза не з’їла сіно. 

Відповідь. «Перекинув Рукха місток. Привели вовка і козу, принесли в’язанку сіна. Тоді прийшов Джумбер, взяв козу, перевів через місток і залишив козу на тому боці. Повернувся, взяв вовка, перейшов міст, залишив вовка на тому боці й перевів назад козу. Залишив козу, взяв сіно, перейшов міст і склав сіно на землі поруч з вовком. Повернувся ще раз, взяв козу і перевів її на той бік». 

Поділ кіз. Прийшли якось до царя три брати зі скаргою. Вони вирішили жити нарізно і поділили між собою все, крім тридцяти кіз, бо щодо них ніяк не могли домовитися. Доповіли вони царю таке: В десяти з цих тридцяти кіз по козеняті, ще в десяти – по двоє козенят, у решти – по троє. Як поділити їх так, щоб жодному з братів не дісталося більше, ніж іншим, і щоб не відбирати жодного козеняти в матки. Що порадити братам? 

Відповідь. «Всього в них 30 кіз і 60 козенят. Ті 10 кіз, у яких по двоє козенят, віддайте старшому брату – це буде 10 кіз і 20 козенят. З тих кіз, що мають по троє козенят, віддайте п’ять разом з козенятами середньому брату і п’ять молодшому, що складе по 5 кіз і по 15 козенят на брата. З тих 10 кіз, що мають по одному козенятку, віддайте кожному з тих же двох братів по 5 кіз разом з козенятами, і буде в кожного всього по 10 кіз і по 20 козенят. Жоден з братів не одержить більше, ніж інший, і жодне козеня не буде розлучене зі своєю маткою». 

засвоєння означення паралелограма, озна­чення додаткових елементів паралелограма; 

формулювання і доведення те­ореми про властивість кутів і сторін паралелограма;

 сформувати первинні вміння відтворювати вивчені означення і властивості, а також використо­вувати їх разом із вивченими раніше властивостями та ознаками паралель­них прямих для розв'язування задач на доведення та обчислення.

1. Означення паралелограма.

2. Висоти паралелограма.

3. Властивості сторін і кутів паралелограма.

Паралелограм та його властивості.

Великий клас чотирикутників становлять паралелограми.

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, називається паралелограмом.

Висотою паралелограма називається відрізок, що є перпендикуляром до прямої, яка містить протилежну сторону.

У паралелограма з кожної його вершини можна провести по дві висоти. Висоти, проведені з вершин тупих кутів паралелограма, лежать у паралелограмі; висоти, проведені з гострих тупих кутів паралелограма, лежать зовні паралелограма.

Властивості паралелограма

У паралелограмі протилежні сторони рівні.

У паралелограмі протилежні кути рівні.

У паралелограмі сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°.

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Діагоналі паралелограма ділять його на два рівні трикутники.

Властивість діагоналей паралелограма:

Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться навпіл.

Властивість протилежних сторін і кутів паралелограма:

У паралелограма протилежні сторони й кути рівні.

Якщо провести бісектриси двох протилежних кутів паралелограма, то вони будуть паралельні або співпадуть.

Якщо провести бісектриси двох кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, то вони будуть перпендикулярні.

Відтворювати ознаки та їхні доведення;

застосовувати вивчені ознаки для доведення того, що даний чотири­кутник є паралелограмом.

1.  Зміст поняття «ознака» паралелограма.

2.  Теорема ознаки паралелограма: формулювання і доведення.

3.  Приклади застосування ознак паралелограма.

Ознаки паралелограма

Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник паралелограм.

Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник паралелограм.

Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм.

Якщо в чотирикутнику протилежні кути попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм.

Ознаки паралелограма мають однакому схему доведення:

·  спочатку доводиться рівність трикутників (здобутих у результаті проведення однієї або двох діагоналей паралелограма);

·  із рівності трикутників випливає рівність відповідних елементів цих трикутників (які у свою чергу є елементами паралелограма);

·  на основі доведеної рівності певних елементів паралелограма із ви­користанням означення (а потім доведеного попереднього твер­дження) доводиться той факт, що даний чотирикутник — парале­лограм.

Леонардо да Вінчі вивів правило, згідно з яким квадрат діаметра стовбура дерева дорівнює сумі квадратів діаметрів гілок, узятих на загальній фіксованій висоті. Традиційно вважалося, що ця закономірність пояснюється тим, що у дерева з такою структурою оптимальний механізм постачання гілок поживними речовинами. Однак в 2010 році американський фізик К. Еллой знайшов більш просте механічне пояснення феномену: якщо розглядати дерево як фрактал, то закон Леонардо мінімізує ймовірність зламу гілок під впливом вітру, а степінь у формулі необов'язково дорівнює 2, а лежить в межах від 1,8 до 2,3. 

Прямокутник, його властивості

Представник класу паралелограмів — прямокутник.

Паралелограм, у якого всі кути прямі, називається прямокутником.

Властивості прямокутника

Протилежні сторони прямокутника рівні.

Усі кути прямокутника рівні.

Діагоналі прямокутника рівні.

Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Діагоналі прямокутника ділять його на два рівні трикутники.

У прямокутника сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°.

Ознаки прямокутника

Якщо в паралелограмі всі кути рівні, то цей паралелограм є прямокутником.

Якщо в паралелограмі один кут прямий, то цей паралелограм є прямокутником.

Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то цей паралелограм є прямокутником.

Якщо в чотирикутнику три кути прямі, то цей чотирикутник є прямокутником.

Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то цей чотирикутник є прямокутником.

Ромб, його властивості

Ще одні представники класу паралелограмів — ромб і квадрат.

Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.

Властивості ромба

Протилежні кути ромба рівні.

У ромба сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.

Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Діагоналі ромба перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Ознаки ромба

Якщо в паралелограмі діагоналі перетинаються під прямим кутом, то цей паралелограм є ромбом.

Якщо в паралелограмі діагоналі є бісектрисами його кутів, то цей паралелограм є ромбом.

Якщо в паралелограмі дві суміжні сторони рівні, то цей паралелограм є ромбом.

Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то цей чотирикутник є ромбом.

Якщо в паралелограмі одна з діагоналей є бісектрисою його кута, то цей паралелограм є ромбом.

Якщо в чотирикутнику діагоналі є бісектрисами його кутів і перетинаються під прямим кутом, то цей чотирикутник є ромбом.

Властивості квадрата

Усі кути квадрата — прямі.

Діагоналі квадрата перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Діагоналі квадрата рівні.

Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом.

Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів.

Ознаки квадрата

Якщо в прямокутнику діагоналі перетинаються під прямим кутом, то цей прямокутник є квадратом.

Якщо у ромба діагоналі рівні, то цей ромб є квадратом.

Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні і всі кути рівні, то цей чотирикутник є квадратом.

1. сформувати  уявлення про прямокутник як один із видів паралелограма; розглянути властивості та ознаки прямокутника; 

2. працювати над засвоєнням  змісту означень, власти­востей та ознак ромба.

3. працювати над засвоєнням змісту означень, власти­востей та ознак квадрата. 

Це цікаво.

Якщо в прямокутнику з нерівними суміжними сторонами провести бісектриси його кутів, то при їх перетині утвориться прямокутник.

Зверніть увагу!

Якщо в прямокутнику проведена бісектриса, яка перетинає одну зі сторін, то вона відтинає від прямокутника рівнобедрений трикутник.

Це цікаво.

Якщо з’єднати відрізками середини сторін прямокутника, то одержимо ромб.

Якщо з’єднати відрізками середини сторін ромба, то одержимо прямокутник.

Якщо у паралелограма всі висоти рівні, то цей паралелограм є ромбом.

Прямокутник, у якого всі сторони рівні, називається квадратом.

Середня лінія трикутника — відрізок, що з'єднує середини двох його сторін. У кожного трикутника три середні лінії.

Середня лінія трикутника, що з'єднує середини двох даних сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині.

Ця властивість середньої лінії трикутника дозволяє довести такі властивості геометричних фігур:

Якщо з’єднати відрізками середини сторін трикутника, то одержимо трикутник, периметр якого вдвічі менший за периметр даного трикутника.

Якщо з’єднати відрізками середини сторін чотирикутника, то одержимо паралелограм.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці і нею діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини трикутника.

сформувати поняття трапеції, її елементів; 

розгляну­ти означення рівнобічної та прямокутної трапецій, змістСвластивостей кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, та кутів рівнобічної тра­пеції.

Формувати вміння:

·   відтворювати вивчені твердження;

·   виконувати рисунок за описом;

·   за готовим рисунком знаходити елементи трапеції;

·   розв'язувати найпростіші задачі на обчислення.

1.  Означення трапеції.  Елементи трапеції (основи, бічні сторони, кути, висоти).

2.  Властивості кутів трапеції, прилеглих до бічних сторін; висот тра­пеції.

3.  Прямокутна трапеція: означення, властивість висот прямокутної трапеції.

4.  Рівнобічна трапеція: означення, властивості кутів та діагоналей, ознаки рівнобічної трапеції.

Трапеція, її властивості

Чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні, називається трапецією.

Основи трапеції — дві паралельні сторони; бічні сторони — дві інші.

Висотою трапеції називається відрізок, перпендикулярний до прямих, що містять основи трапеції, і з кінцями на цих основах.

Рівнобічна трапеція — це трапеція, у якої бічні сторони рівні.

Прямокутна трапеція — це трапеція, одна бічна сторона якої перпендикулярна її основам. У прямокутної трапеції два кути прямі, один гострий і один тупий. Бічна сторона трапеції, перпендикулярна до її основ, є меншою бічною стороною і дорівнює висоті трапеції.

Властивості трапеції

Сума кутів трапеції, прилеглих до однієї бічної сторони, дорівнює 180°. У рівнобічної трапеції кути при кожній основі рівні.

У рівнобічної трапеції діагоналі рівні і нахилені до основи під однаковими кутами.

Ознаки рівнобічної трапеції

Якщо у трапеції кути при основі рівні, то трапеція рівнобічна.

Якщо у трапеції діагоналі рівні, то трапеція рівнобічна.

Якщо у трапеції діагоналі утворюють з основами рівні кути, то трапеція рівнобічна.

Це цікаво.

Якщо середини сторін рівнобічної трапеції з’єднати відрізками, то одержимо ромб.

Старогрецький філософ Платон (429-348 рр. до н.е.) вважав, що математику повинен знати кожний філософ. При вході в його Академію було написано: «Хто не знає геометрії – хай сюди не входить». Платон дозволяв своїм учням виконувати геометричні побудови лише за допомогою циркуля і лінійки. В академії була розроблена методика розв’язування задач на побудову, яка збереглася і донині. Тут математики зустрілися з трьома «визначними задачами давнини», які не можна розв’язати за допомогою циркуля і лінійки: про подвоєння куба; про трисекцію кута; про квадратуру круга. Декарт (1637) був першим хто висловив думку, що за допомогою циркуля і лінійки задачу про подвоєння куба розв’язати неможливо. Строге доведення нерозв’язності цієї задачі, як і задачі про трисекцію кута (поділ кута на три рівні частини), дав французький математик П. Ванцель (1837). «Переможцем задачі про квадратуру круга називають німецького математика К. Ліндемана. У 1882 р. він зумів довести трансцендентність числа  , і, як наслідок, знайти строге доведення, що задачу про квадратуру круга за допомогою циркуля і лінійки розв’язати неможливо. 

Середня лінія трапеції — відрізок, що з'єднує середини бічних ліній.

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їхній півсумі.

Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то висота трапеції дорівнює її середній лінії.

Теорема Фалеса Філософ Фалес Мілетський (625-547 рр. до н. е.), якого називають «батьком грецької науки», один з перших відомих в історії математиків. Саме він почав формування основоположних понять математики – доведення і теорема. Фалес перший довів ряд теорем геометрії, заклавши основи гоніометрії (від грецьких gōnía – кут, metron – міра) – частини тригонометрії, в якій розглядалися способи вимірювання кутів. Він знав, що: в рівнобедреного трикутника кути при основі рівні; вертикальні кути рівні; діаметр ділить круг навпіл. Теорему про вписаний кут, що спирається на діаметр, у Західній Європі іноді теж називають теоремою Фалеса, хоча її знали вавилоняни ще чотири тисячоліття тому. Теорему про рівність двох трикутників за стороною і двома прилеглими кутами (друга ознака рівності трикутників) Фалес використав для визначення відстані від берега до корабля. Однак теорему про перетин сторін кута паралельними прямими, названу теоремою Фалеса, вчений не знав. Вважають, що ця теорема названа на честь першого вченого-геометра для збереження його імені в пам’яті майбутніх поколінь. Фалес викликав захоплення у стародавніх єгиптян власним способом визначення висоти різних піраміди за тінню, з допомогою пропорційного відношення між трьома величинами, які можна виміряти, і шуканою величиною – висотою піраміди. Вважають, що він був першим грецьким ученим, який для розв’язування геометричних задач на побудову, як основні геометричні інструменти, використовував циркуль і лінійку. 

Засвоєння змісту понять: плоский кут (у неявному вигляді), центральний кут, дуга кола, що відповідає дано­му центральному куту, градусна міра дуги кола, вписаний кут, — а та­кож засвоєння учнями змісту властивості вписаного кута (про вимірю­вання вписаного кута).

Формувати вміння:

·        відтворювати зміст вивчених тверджень;

·        знаходити на готовому рисунку вивчені поняття;

·        виконувати правильні зображення вивчених понять заданим описом;

·        розв'язувати задачі із використанням вивчених тверджень на обчис­лення градусної міри вписаних та центральних кутів.

1.    Розширення поняття кута.

2.    Центральний кут: означення, вимірювання.

3.    Градусна міра дуги.

4.    Означення вписаного кута. Дуга, на яку спирається вписаний кут.

5.    Теорема про вписаний кут: формулювання і доведення.

Вписані та центральні кути.

Кожна з частин площини, на які будь-який кут розбиває площину, називається плоским кутом. Плоскі кути, які мають спільні сторони, називаються доповняльними кутами, а їхня сума дорівнює 360. Кут, уписаний у коло — кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають дане коло.

Уписаний у коло кут, сторони якого перетинають коло у двох певних точках, дорівнює половині кута між радіусами кола, проведеними в ці точки, або доповнює половину цього кута до 180°.

Якщо уписаний кут є гострим, то він дорівнює половині кута між радіусами, а якщо уписаний кут є тупим, то він доповнює його до 180°. Усі уписані кути, сторони яких проходять через дві певні точки кола, а вершини лежать з одного боку від прямої, що з’єднує ці точки, рівні.

Кути, сторони яких проходять через кінці діаметра, є прямими.

Центральний кут — це плоский кут, вершина якого є центром кола, а сторони кута перетинають коло.

Дуга кола, що відповідає центральному куту, — це частина кола, яка знаходиться всередині кута.

Градусна міра дуги — градусна міра відповідного центрального кута.

Кут, уписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута.

Подорож, подорож... Хто знає, що це таке, той не залишиться осторонь від різноманітних пригод.

Наша знайома Точка знала це слово і вже не бажала іншого життя, крім постійних подорожей.

Одного разу наша Точка, нехай це буде Точка 1, вирішила ще раз зустрітися з Колом. Та її подруга, Точка 2, подумала:

— Яка ж моя подруга розумна, багато знає, та ще навчається, всім цікавиться. Чи я не така?! Я теж Точка і бажаю теж бути розумною, щоб усі поважали мене, — та й пішла з подругою в подорож до Кола.

Дорогою Точка 1 навчала подругу, де можна ходити, які є елементи в Кола і в Круга. Тільки подруга не чула розповідь, крутила головою в різні боки і мріяла, яка їй буде слава, як будуть її вважати мандрівницею.

І ось вони біля Кола. Як і минулого разу, щоб довго не шукати Дотичну серед великої кількості прямих, стрибнули точки — і вже за Колом опинилися. Перша Точка пішла зразу до пана Центра, щоб привітати його. А подруга вирішила самостійно погуляти. Вона бігала, засовувала свій ніс у різні місця, штовхала мешканців Круга, стрибала з Хорди на Хорду і... заблукала. Сіла Точка 2 і стала пригадувати, чого навчала її подруга, але нічого не згадала, а запитати в точок Круга було соромно — дуже неввічливо вона з ними обійшлась.

— Щось таке про прямі кути, шлях по прямій розповідала мені подруга! — уголос подумала вона, — точки, хорди, Діаметр...

— Бр-р-р, як їх багато! Як серед них не заблукати? Ой, знаю, знаю! Треба йти з кінця Діаметра, великої хорди; по хорді, а потім під прямим кутом... і вдома. Яка я розумна!

ї побігла Точка за таким планом. Але це був не план, а нова плутанина. Бігла Точка по Хорді, потім під прямим кутом знову по Хорді за тим самим планом, але кінець був той самий. Ще не раз починала Точка 2 шукати вихід, а опинялася на кінцях Діаметра, то на одному, то на іншому. Не було більше сил. Добре, що знайшлася подруга. Щойно побачила її наша горе-мандрівниця, одразу пішла в наступ:

— Погана ти подруга! Неправильний шлях мені показала! — поскаржилася Точка 2.

— Ах ти, мандрівнице! Треба уважно слухати й вивчати нове, а не бігти навмання. Але мене зацікавила твоя ситуація. Пішли до пана Центра за порадою, — відповіла Точка 1.

Пан Центр полюбляв, коли до нього зверталися з питаннями:

— Ви зустрілися з гарною властивістю Кута, вписаного в Коло, і кінці якого знаходяться на кінцях Діаметра. Такий Кут завжди прямий.

— Пане Центр, а коли Ви буваєте вершиною Кута, то цей кут також вписаний? — запитала перша Точка.

— Очевидно, це головні кути серед вписаних, — додала друга Точка.

— Ні, неправильно! Мої кути не вписані, а центральні, вони моє ім'я носять, — розповів Центр.

— Чому? Вони знаходяться в середині кола, — знову запитали точки.

— У вписаних кутів Вершина — Точка Кола, а в центральних кутів — я, сам Центр.

— Як усе просто. А вони, центральні кути, спілкуються з вписаними кутами?

— Так, якщо вписані і центральні мають спільні точки на Колі, то і спілкуються та півкута центрального дорівнюють Куту Вписаному. Це не тільки спілкування, а дружба.

— Як цікаво! Тепер я багато знаю про Коло, — закричала Точка 2, — і більше ніколи не заблукаю.

— Не треба вихвалятися! Все вивчити неможливо. Треба не зупинятися на своїх досягненнях, а рухатися в знаннях далі, — пояснив точкам пан Центр.

— Дякуємо Вам, пане Центре, за науку і Знання, але нам пора додому, — сказала Точка 1 і повела подругу по Радіусу до Дотичної, звернули під Прямим Кутом і швидко побігли додому.

Радісно було першій Точці від зустрічі з паном Центром і вписаними кутами. А друга Точка всю дорогу йшла мовчки: як мало вона знала і вміла, а ще похвалялася. Вона нічого не казала — вирішила почати нове життя, але не з подорожі, не з пригод, а з навчання.

Опрацювати над засвоєнням  змісту понять: чотири­кутник, вписаний у коло; чотирикутник, описаний навколо кола; роз­глянути зміст теорем про вписаний та описаний чотирикутники та схе­ми їх доведення.

Сформувати вміння:

·        відтворювати вивчені твердження;

·        виконувати рисунок за описом.

1.    Означення чотирикутника, вписаного в коло.

2.    Теорема про вписаний чотирикутник.

3.    Наслідки з теореми про вписаний чотирикутник.

4.    Означення описаною чотирикутника.

5.    Теорема про описаний чотирикутник.

6.    Наслідки з теореми про описаний чотирикутник.

Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.

Якщо чотирикутник можна вписати в коло, то сума його протилежних кутів дорівнює 180° і навпаки.

Центр кола, описаного навколо чотирикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін чотирикутника.

Навколо паралелограма можна описати коло, тільки якщо він є прямокутником. Центр такого кола — точка перетину діагоналей прямокутника.

Навколо трапеції можна описати коло, тільки якщо вона рівнобічна.

Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо прямі, що містять сторони чотирикутника, є дотичними до кола.

Центр кола, вписаного в чотирикутник, є точкою перетину бісектрис цього чотирикутника.

Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то суми протилежних сторін чотирикутника рівні.

У паралелограм можна вписати коло лише тоді, коли паралелограм є ромбом.

Ознайомитися з визначними точками трикутника

• Точки перетину:

  • Медіан — центроїд, центр ваги (мас);

  • Бісектрис — інцентр або центр вписаного кола;

  • Висот — Ортоцентр;

  • Серединних перпендикулярів — центр описаного кола.

Чудовими точками трикутника є

• Точки перетину:

  • Медіан — центроїд, центр ваги (мас);

  • Бісектрис — інцентр або центр вписаного кола;

  • Антибісектрис — центр антибісектрис;

  • Бісектрис зовнішніх кутів — центр зовнівписаних кіл;

  • Висот — Ортоцентр;

  • Серединних перпендикулярів — центр описаного кола;

  • Симедіан — точка Лемуана;

  • Бісектрис серединного трикутника (його інцентра) — Центр Шпікера;

  • Клівер трикутника — також Центр Шпікера;

  • Трьох (або навіть двох) кіл, побудованих, як на діаметрі, на відрізку, що з'єднує підстави внутрішньої і зовнішньої бісектриси, випущених з одного кута, — дві точки Аполлонія[en];

  • Відрізка, що з'єднує вершини трикутника:

    • з точками дотику протилежних сторін і вписаного кола — точка Жергонна;

    • з точками дотику протилежних сторін і зовнівписаних кіл — точка Нагеля;

    • з відповідними вільними вершинами рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах трикутника (назовні) — перша точка Торрічеллі;

    • з відповідними вільними вершинами правильних трикутників, побудованих всередину трикутника — друга точка Торрічеллі;

    • з відповідними вільними вершинами трикутників, подібних вихідного трикутника і побудованих на його сторонах — точки Брокара;

Теорема Фалеса

Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій його стороні.

Або: паралельні прямі, що перетинають дві дані прямі й відтинають на одній прямій рівні відрізки, відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.

Зверніть увагу!

За цим принципом поділяють відрізок на скільки завгодно рівних відрізків. З одного кінця заданого відрізка проводять промінь, на якому відкладають необхідну кількість рівних відрізків певної довжини, після чого через кінець останнього з відкладених відрізків і другий кінець заданого відрізка проводять пряму, паралельно якій проводять прямі через поділки на промені. Точки перетину цих прямих із заданим відрізком поділяють його на необхідну кількість рівних відрізків.

Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Властивість бісектриси трикутника

Бісектриса трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні відповідним іншим сторонам трикутника.

сформувати в учнів уявлення про подібні трикутники; пра­цювати над засвоєнням учнями означення подібних трикутників, зміс­ту поняття коефіцієнта подібності. Сформувати вміння:

·        відтворювати зміст вивчених тверджень;

·        виконувати  записи   цих  тверджень  математичною  мовою  за допомогою символу « ~ »;

·        використовувати  виконані записи для обчислення  невідомих елементів подібних трикутників.

1.    Уявлення про подібні фігури.

2. Означення подібних трикутників.

3. Властивості відповідних елементів подібних трикутників.

Узагальнена теорема Фалеса. Подібні трикутники

Теорему Фалеса можна узагальнити.

Узагальнена теорема Фалеса — це теорема про пропорційні відрізки. Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають від його сторін пропорційні відрізки.

Подібністю називається таке перетворення однієї фігуру в іншу, при якому відстані між точками змінюються в одне й те саме число разів. Це число називається коефіцієнтом подібності.

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності. У подібних трикутників відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

1. За двома кутами:

Якщо два кути одного трикутника рівні двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

2. За двома сторонами і кутом між ними:

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника й кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

3. За трьома сторонами:

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

домогтися розуміння змісту першої ознаки подіб­ності трикутників та наслідку з неї, плану їх доведення. Формувати вміння:

·        відтворювати зміст вивченої ознаки та наслідку з неї;

·        виділяти у трикутниках елементи для визначення їх подібності за двома кутами;

·        застосовувати формулювання першої ознаки подібності трикутників до розв'язування задач.

домогтися розуміння  змісту другої ознаки подібності трикутників та плану її доведення. Формувати вміння:

·        відтворювати зміст вивченої ознаки;

·        виділяти в трикутниках елементи для визначення їх подібності за двома сторонами та кутом між ними;

·        застосовувати формулювання другої ознаки подібності трикутників до розв'язування задач.

домогтися розуміння змісту ознаки подібності трикут­ників за трьома сторонами, плану їх доведення. Формувати вміння:

·        відтворювати зміст вивченої ознаки;

·        виділяти в трикутниках елементи для визначення їх подібності за трьома сторонами;

·        застосовувати формулювання третьої ознаки подібності трикутників для розв'язування задач.

1.    Теорема (ознака подібності трикутників за двома кутами): форму­лювання та доведення.

2.    Наслідки з теореми: формулювання і доведення.

3.    Перша ознака подібності для окремих видів трикутників.

4.    Теорема (ознака подібності трикутників за двома сторонами і ку­том між ними): формулювання та доведення.

5.    Приклади застосування другої ознаки подібності трикутників.

6.    Теорема (ознака подібності трикутників за трьома сторонами): фор­мулювання та доведення.

7.    Приклади застосування.

Рівносторонні трикутники подібні.

Прямокутні рівнобедрені трикутники подібні.

Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають по рівному куту між відповідними сторонами.

Пряма, паралельна одній зі сторін трикутника і перетинає дві інші сторони, відтинає трикутник, подібний даному.

Діагоналі трапеції при перетині утворюють два подібні трикутники.

У подібних трикутників відношення відповідних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот, середніх ліній) дорівнює коефіцієнту подібності.