Теорія 

Повторення курсу математики за 6 клас

ЦІЛІ ВИРАЗИ

Розділ 1. Вирази зі змінними. Тотожності. Степінь з натуральним показником. Одночлени

1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

2. Тотожні  вирази. Тотожність. Тотожне перетворення виразу. Доведення тотожностей

3. Степінь з натуральним показником

4. Властивості степеня з натуральним показником

5. Одночлен. Стандартний вигляд одночлена

6. Множення одночленів. Піднесення одночленів

Роділ 2. Многочлени

7. Многочлен. Подібні члени многочлена та їх зведення. Степінь многочлена

8. Додавання і віднімання многочленів

9. Множення одночлена на многочлен

10. Розкладання многочленів на множники спосоьом винесення спільного множника за дужки

11. Множення многочлена на многочлен

12. Розкладання многочленів на множники спосоьом групування

Розділ 3. Формули скороченого множення

13. Квадрат суми і квадрат різниці

14. Розкладання многочленів на множники за допомогою формул квадрата суми і квадрата різниці

15. Множення різниці двох виразів на їх суму

16. Розкладання на множники різниці квадратів  двох виразів

17. Сума і різниця кубів

18. Застосування кількох споссобів розкладання многочленів на множники

1. Вирази та їх спрощення

2. Рівняння. Основні властивості рівняння

3. Застосування рівнянь до розв`язування задач

4. Графіки залежностей між величинами

Перетворення виразів

   Щоб звести подібні доданки, треба додати їх коефіцієнти і знайдений результат помножити на спільну буквену частину.

   Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак "+", треба не писати дужки і знак "+", що стоїть перед ними, та записати всі доданки зі своїми знаками.

   Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак "-", треба не писати дужки і знак "+-що стоїть перед ними, та записати всі доданки з протилежними знаками.

Рівняння 

   Рівнянням називається рівність, що містить невідоме, значення якого треба знайти.

   Значення невідомого, за якого рівняння перетворюється на правильну числову рівність, називається коренем рівняння.

   Розв`язати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Основні властивості рівнянь

1. Корені рівняння не зміняться, якщо до обох частин рівняння додати (або від обох частин рівняння відняти) одне й те саме число.  

2. Корені рівняння не зміняться, якщо обидві частини рівняння помножити (або поділити) на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Схема розв`язування задач на складання рівнянь:

1. за умовою задачі скласти рівняння (сконструювати математичну модель задачі);

2. розв`язати отримане рівняння;

3. З`язувати, чи відповідає знайдений корінь змісту задачі, і дати відповідь.

*****

Коли Герда йшла гаєм, вона побачила яр, по якому протікав невеличкий струмок. Та не простий, а числовий. Всі краплинки складались із чисел 1, 2, 3, 4 … Струмок назв цікаву назву – Натуральний.

·        Та це ж натуральні числа! – подумала вона і пішла далі.

Маленький струмок упадав у річку. Вона теж була не простою, а числовою. У річці Герда помітила числа, схожі на ті, що в струмку, але з рискою попереду. Це були від’ємні числа. Річка називалась Ціла, і складалась із цілих чисел (…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …). На березі був пліт, схожий на нуль. На ньому Герда течією дісталась до моря. На хвилях вона побачила нові числа – дробові. То ж море складалось із цілих та дробових чисел і мало назву Раціональне.

·        Цікаво, а яку назву має океан? – подумала Герда і вийшла на берег.

На березі моря сидів кіт і плакав. Він ішов до свого товариша – зайчика. Заєць жив за адресою З(-5) та кіт не знав, як туди потрапити. 

·        Я тобі допоможу, - запропонувала Герда. - Ось стежинка, біля неї пень. Він буде початком відліку. Праворуч позначимо додатні числа, ліворуч від нуля – від’ємні. Між числами 10 кроків. Так ти зможеш знайти необхідне місце.

·        Дякую, ти мені дуже допомогла, тепер я не заблукаю. І зможу повернутись додому. А живу я за адресою К(5).

·        Дуже цікаво, - подумала Герда, - їхні будиночки знаходяться по різні боки від пня. А відстань від пенька до їхніх домівок однакова. – Так це ж Протилежні числа, - згадала дівчинка.

На острові жив цар. Звали його Модуль. Він дуже любив керувати своїми підданими. Служили чесно йому числа. Та він боявся і не довіряв від’ємним числам. На воротях стояли вартові, і коли числа проходили через них, ставали додатними.

·        Виходить, - подумала Герда, - всі числа, взяті по модулю, стають додатними.

|-5|=5, |5|=5

Герда познайомилась із королем і зрозуміла, чому він боявся від'ємних чисел. Король Модуль не вмів виконувати дії між числами з різними знаками.

1. Із чого утворюють числові вирази?

2. Що називають значенням числового виразу?

3. Із чого утворюють вирази зі змінними?

4. Що називають числовим значенням виразу для вибраних значень змінних?

5. Який вираз називають цілим раціональним виразом?

Числові вирази утворюють із чисел за допомогою знаків дій і дужок. Зауваження. Одне число також вважають числовим виразом. 

Число, що є результатом виконання всіх дій у числовому виразі, називають значенням виразу.                                                                       Зауваження. Не для всіх числових виразів існує їх значення; у цьому випадку кажуть, що вираз не має змісту. 

Вирази зі змінними утворюють із чисел та змінних за допомогою знаків арифметичних дій і дужок.                                                                                Зауваження. Буквеним виразом (виразом зі змінними) вважають і окремо взяту букву (змінну). 

Значенням виразу зі змінними для даних значень змінних називають значенням виразу, що утворюєтьсі під час підстановки замість букв їх значень.                                                                                                                        Зауваження. Існують вирази зі змінними, які не мають змісту при деяких значен­нях змінних. 

Вираз, який містить лише дії додавання, віднімання, ділення та піднесення до степеня, називають раціональним виразом.

Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною, називають цілим раціональним виразом.

Якщо в раціональному виразі є ділення на вираз зі змінною, його називають дробовим раціональним виразом.

В «Арифметиці» старогрецького математика Діофанта (ІІІ ст.) вперше з'явилась буквена символіка і спеціальні позначення для степенів аж до шостого степеня. Невідому величину вчений називав ἀριθμός (з грецької – число) і позначав літерою ς, а квадрат невідомої –  (скорочено від δύναμις – степінь). У праці введені позначення для від'ємних степенів, від'ємних чисел, а також знак рівності, стислий запис правил множення цілих чисел.

 Ф. Вієт розглядав алгебру як «мистецтво, що дає змогу добре робити математичні відкриття». Розроблена ним у 1591 р. символіка, в якій крім символів змінних, уперше вводилися символи для довільних величин, тобто параметрів, дала можливість виражати рівняння та їх властивості загальними формулами. Об’єктами математичних операцій у алгебрі Вієта були не числові задачі, а самі алгебраїчні вирази. Вчений увів термін «коефіцієнт». Символіка Вієта дуже відрізнялась від сучасної .

Остаточного вигляду буквеній символіці надав Р. Декарт (1637), однак його алгебра, на відміну від алгебри Вієта, мала завжди один основний елемент – лінійний відрізок. Фактично в Декарта дійсне число виступало як відношення будь-якого відрізка до одиничного, хоча сформулював таке означення числа І. Ньютон. Декарт ввів cучасні позначення змінних і шуканих величин (x, y, z), буквених коефіцієнтів (a, b, c), позначення степенів  . Згодом декартові позначення степенів використали для від’ємних і дробових показників Дж. Валліс та І. Ньютон (1676). Голландський математик Й. Гудде перший позначив буквами додатні і від’ємні коефіцієнти рівнянь (1657). 

1. Які вирази називають тотожними?

2. Яку рівність називають тотожністю?

3. Що називають тотожним перетворенням виразу?

4. Як довести тотожність?

Два вираз, відповідні значення яких рівні між собою при будь-яких значеннях змінних, називають тотожними, або тотожно рівними.

Рівність, яка є правильною при будь-яких значеннях змінних, називають тотожністю.

Заміна одного виразу іншим, йому тотожним, називають тотожним перетворенням виразу.

Деякі  способи доведення тотожностей:

1. виконати тотожні перетворенняїї лівої частини, тим самим звівши до вигляду правої частини;

2. виконати тотожні перетворенняїї правої частини, тим самим звівши до вигляду лівої частини;

3. виконати тотожні перетворення обох її частин, тим самим звівши їх до однакових виразів.

                 Історія математики сповнена цікавих парадоксів і софізмів. Парадокси – це справедливі, хоча й несподівані твердження (наприклад, «Ахіллес АПР 40 ніколи не наздожене черепаху»). Софізми (грецьке Sophizma – вигадка, хитрість) – це хибні результати, отримані з допомогою міркувань, які здаються правильними, але обов'язково містять якусь помилку. Стародавні вчені залишили нам немало таких суджень. Наприклад: «Те, що ти не загубив, ти маєш. Ти не загубив крила, отже, ти їх маєш». Перший збірник математичних софізмів і парадоксів «Псевдарій» Евклід присвятив помилкам у геометричних доведеннях. 

« 2*2  =5 » (* - знак множення)

Знайти помилку в міркуваннях: Нехай маємо правильну числову рівність 4 : 4 =  5: 5 . Винесемо за дужки в обох частинах спільний множник. Маємо: 4(1:1) =  5(1:1) . Отже , 4 = 5 , або 2 *2 = 5. (Помилка допущена при винесенні спільного множника за дужки в обох частинах тотожності 4 : 4 та  5: 5 .

1) на розуміння змісту понять степінь, основа степеня, показник степеня;

 2) на читання виразів, що містять степінь і інші арифметичні дії; 

3) на обчислення значень виразів, що містять степінь. 

1) оскільки степінь — це короткий запис добутку однакових множників, то зі степенями виконують такі дії: множення (степенів з однаковою ос­новою та однаковим показником — зводиться до дій із показниками або основами); ділення (обернена дія до множення) та піднесення до степе­ня (як особливий випадок степеня);

2) властивості степеня (див. попередні уроки) допомагають: по-перше, спрощувати буквені вирази, не обчислюючи значень степенів, та, по-друге, знаходити значення числових виразів, що складаються зі степенів, не виконуючи складних обчислень.

Найбільше число, що має назву, – це мільйон у сотому степені (одиниця з 600 нулями). Це число називається центільйон. 

У рукописному трактаті Н. Шюке «Наука про число» (1484, надруковано у 1848 р ) зустрічаються терміни «більйон», трильйон», квадрильйон» 

Основні математичні пам’ятки Стародавнього Єгипту – папірус Ахмеса (1650 р. до н. е.) і Московський папірус (1900 р. до н. е.) містять відповідно 84 і 25 задач практичного характеру, до яких не даються загальні правила розв’язання. 

Першу математичну енциклопедію, написану на 44 глиняних табличках, склали вавилоняни за 2 тисячі років до нашої ери. Вона містила таблицю множення, таблицю обернених чисел, таблиці для обчислення об’ємів і площ, квадратів і кубів чисел. 

1. Який вираз називають одночленом?

2. Який вигляд одночлена називають стандартним виглядом,

3. Що називають степенем одночлена?

Цілі вирази - числа, змінні, їх степені і добутки - називають одночленами.

Якщо одночлен є добутком, що має один числовий множник, який записаний на першому місці, а інші множники є степенями різних змінних, то такий одночлен називають одночленом стандартного вигляду

Числовий множник одночлена,записаного в стандартному вигляді, називають коефіцієнтом цього одночлена..

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, які він містить. Якщо одночлен не містить змінних, то його степінь дорівнює нулю.

Вся математика – це одне велике рівняння для інших наук… 

Новаліс, німецький письменник  

Ідеї часто залишаються безплідними в руках людей звичайних, а вмілі математики дістають з них неабияку користь. 

Г. Монж,французький математик  

Золото випробовується вогнем, а обдарування математикою. Л. Пачолі, італійський математик 

Математика – це мова, якою записані закони природи. 

Г. Галілей, італійський учений  

Математика тренує розум для математичних істин, а письменство – для моральних. 

Ж. Жубер, французький письменник 

Які правила та властивості використовують при множенні одночленів; піднесення до степеня?

 Множення одночленів:

1) перемножте всі числові множники;

2) перемножте окремо всі степені з однаковою основою;

3) запишіть добуток  шуканий одночлен.

Піднесення одночлена до степеня:

1) піднесіть до степеня кожний із множників, з яких складається одночлен;

2) запишіть добуток утворених степенів та числових множників ;

3 запишіть шуканий одночлен.

…В історії математики софізми відігравали чималу роль. Деякі з них можна розглядати як вихідні точки нових шляхів у розвитку математики. 

В. Літцман

 Один метр не дорівнює 100 сантиметрів 

1м = 100 см (1) 10 м = 1000 см (2) Перемножимо обидві частини рівностей (1) і (2), одержимо: 10 м = 100000 см, звідки: 1 м = 10000 см. 

4 грн = 40000 к 

2 грн = 200 к. Піднесемо обидві частини рівності до квадрату. Одержимо: 4 грн = 40000 к. Знайдіть помилки в цих міркуваннях? (Множення обох частин різних рівностей та піднесення до квадрату грошей не має змісту.) 

Многочлен. Подібні члени многочлена та їх зведення

Многочленом називається сума одночленів.

Одночлени, з яких складено многочлен, називаються членами многочленна.

Многочлени, що мають два і три члени, мають спеціальні назви: відповідно двочлен і тричлен.

Подібними членами многочленна називаються подібні доданки в многочлені, вони можуть відрізнятися лише коефіцієнтами. Многочленом стандартного вигляду називається многочлен, усі члени якого – це одночлени стандартного вигляду, і серед них немає подібних членів.

Щоб многочлен звести до стандартного вигляду, треба кожний його член звести до одночлену стандартного вигляду і звести подібні члени.

Степенем многочлена стандартного вигляду є найбільший степінь із степенів одночленів, що входять до многочленна.

Зазвичай члени многочленна розміщують у порядку спадання їх степенів.

Додавання і віднімання многочленів

Щоб додати многочлени, треба поставити між ними знак плюс, розкрити дужки, зберігаючи знаки кожного члена, і звести подібні члени.

Дія додавання многочленів має ті ж самі властивості, що і дія додавання чисел. Виконується переставний закон: від перестановки доданків сума не зміниться. Також виконується сполучний закон додавання: щоб до суми першого і другого доданків додати третій, можна до першого додати суму другого і третього або до суми першого і третього додати другий.

Щоб знайти різницю многочленів, треба перед многочленом, який віднімають, поставити знак мінус, розкрити дужки, змінивши знак кожного його члена на протилежний, і звести подібні члени многочленів. Це правило засновано на визначенні дії віднімання: щоб від одного числа відняти друге число, треба до першого числа додати число, протилежне числу, яке віднімають.

Сума многочленів, відповідні члени яких відрізняються лише знаком, дорівнює нулю.

Якщо перед дужками стоїть знак «плюс», то дужки можна зняти, зберігши знак кожного доданка в дужках.

Якщо перед дужками стоїть знак «мінус», то дужки можна зняти, змінивши знак кожного доданка в дужках на протилежний.

Якщо деякі члени многочлена треба внести в дужки і перед дужками поставити знак «плюс», то члени, які беруться в дужки, записуються з тими ж знаками.

Якщо деякі члени многочлена треба внести в дужки і перед дужками поставити знак «мінус», то члени, які беруться в дужки, записуються з протилежними знаками.

Сума і різниця многочленів є многочлен.

Щоб помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей одночлен на кожний член многочлена й отримані добутки додати.

Якщо многочлен не містить подібних членів, то й при множенні його на одночлен отримаємо многочлен, який не містить подібних членів.

Перед множенням многочленна на одночлен перевірте, чи не містить многочлен подібних членів. Якщо так, то спочатку виконайте зведення подібних членів, після чого виконайте множення

Розкладання многочлена на множники – це представлення його у вигляді добутку або одночлена на многочлени, або добутку многочленів.

Щоб винести у многочлені спільний множник за дужки (якщо це можливо), треба знайти найбільший спільний множник членів многочлена, кожний доданок подати у вигляді добутку, що містить найбільший спільний множник, і винести його за дужки.

Щоб перевірити, чи правильно винесено спільний множник за дужки, треба виконати множення одночлена (спільного множника) на многочлен, що залишився в дужках.

Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочленна помножити на кожний член другого многочлена й одержані добутки додати.

Множення декількох многочленів треба виконувати поступово, об’єднуючи множники по два.

азвичай множення многочленів виконують так:

Перший член першого многочлена множать на кожний член другого многочлена, після цього другий член многочленна множать на кожний член другого многочлена і так далі до останнього члена першого многочлена. Після цього всі добутки додають і зводять подібні члени.

Не забувайте при множенні враховувати знак кожного члена многочленів.

Добуток двох многочленів є многочлен.

Якщо кожний із двох заданих многочленів не має подібних доданків, і ці многочленні рівні, то вони складені з однакових одночленів.

Щоб розкласти многочлен на множники способом групування, треба згрупувати члени многочлена так, щоб у кожній групі доданків був спільний множник, який необхідно винести в кожній групі за дужки. Після цього за дужки виносять спільний множник усіх груп.