Теорія

Координати та вектори в просторі

1. Декартові координати точки в просторі

2. Вектори в просторі

3. Додавання і віднімання векторів

4. Множення вектора на число

5. Скалярний добуток векторів

Ератосфен у 240 р. до н. е. вперше визначив довжину кола меридіана Землі (  39375 км, за сучасними даними 40080 км). 

 Про велику популярність Піфагора ще за життя свідчать монети з його зображенням, випущені в 430-420 рр. до н. е. У 306 р. до н. е. йому , як найрозумнішому з греків, поставили пам’ятник в римському форумі. 

 Острів Самос в Егейському морі, на якому народився Піфагор, перейменовано в Піфагорейон.  

На персні Піфагора був викарбований девіз: «Тимчасова невдача краще тимчасової вдачі».  

Вислів «що треба довести» вперше зустрічається в «Началах» Евкліда. Ним закінчуються доведення кожного твердження. 

 Птоломей (бл. 100-бл. 178) у праці «Альмагест» подав теорему (яку нині називають теоремою Птоломея) про те, що добуток діагоналей вписаного чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін. 

 Грецький філософ Прокл Діадох (V cт.) вважав піраміду Хеопса «свого роду кам’яним підручником астрономії і геометрії та знань, які пов’язані з розливами Нілу». 

Призма. Зображення призм і побудова її перерізів

Призма – це многогранник, який складається з двох плоских многокутників, що лежать у різних площинах та суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки даних многокутників.

Основами призми є плоскі многокутники, ребрами призми є відрізки, що сполучають відповідні точки многокутників.

Висотою призми є відстань між основами. Діагоналлю призми є відрізок, що сполучає дві вершини призми і не належить жодній із граней.

Властивості призми:

- основи призми рівні;

- основи призми лежать у паралельних площинах;

- бічні ребра призми паралельні і рівні.

Поверхня призми складається з її основ і бічної поверхні.

Бічна поверхня призми складається з паралелограмів. У кожного з цих паралелограмів дві сторони є відповідними сторонами основ, а дві інші – сусідніми бічними ребрами.

Діагональним перерізом призми називається переріз, що утворений площиною, яка проходить через два бічні ребра призми, що не належать одній її грані.

Згідно з правилами паралельного проектування зображення призми у просторі виконується таким чином:

- Спочатку зображується одна з основ як опуклий многокутник;

- З вершин побудованого многокутника проводяться паралельні один одному відрізки однакової довжини, які зображують бічні ребра призми;

- Кінці проведених відрізків сполучають відрізками й отримують многокутник, який є другою основою многогранника;

- Ті ребра призми, які є невидимими, проводять штриховими лініями.

Перерізи призми площинами, паралельними бічним ребрам, є паралелограмами. Тому всі діагональні перерізи призми – паралелограми.

Переріз призми площиною, паралельною основі призми, дорівнює її основі.

Для побудови перерізів призми треба побудувати відрізки перетину січною площиною з гранями призми. При цьому пам’ятайте:

Якщо січна площина перетинає обидві основи призми, то вона перетинає їх по паралельних відрізках.

На практиці зазвичай треба будувати переріз призми площиною, яка проходить через задану пряму в одній з основ призми. Цю пряму називають «слідом» січної площини на площині основи.

Пряма і правильна призма. Площі бічної і повної поверхні призми. 

Пряма призма – це призма, що має перпендикулярні до основ бічні ребра.

Якщо ця умова не виконується, то призма називається похилою.

У прямої призми всі бічні грані – прямокутники.

На зображенні прямої призми на площині бічні ребра розміщують вертикально.

Пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник, називається правильною призмою.

Площа бічної поверхні прямої призми є добутком периметра основи на висоту призми.

Площа бічної поверхні похилої призми дорівнює добутку периметра перерізу призми площиною, перпендикулярною бічному ребру, на довжину бічного ребра призми.

Сума площ основ призми і бічної поверхні призми дорівнює площі повної поверхні призми.

Паралелепіпед. Прямокутний паралелепіпед

Паралелепіпед — це призма, основою якої є паралелограм.

Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

Прямокутний паралелепіпед — паралелепіпед, основою якого є прямокутник, а бічні ребра перпендикулярні основам.

Бічні грані прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні його основам.

Лінійними розмірами прямокутного паралелепіпеда є довжини його непаралельних ребер.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда – прямі.

Квадрат будь-якої діагоналі прямокутного паралелепіпеда є сумою квадратів трьох його вимірів.

Точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.

Через центр симетрії прямокутного паралелепіпеда проходять три площини, паралельні граням, які є площинами симетрії прямокутного паралелепіпеда.

Якщо у паралелепіпеда всі лінійні розміри різні, то у нього немає інших площин симетрії.

Якщо у прямокутного паралелепіпеда два лінійні розміри рівні, то він має ще дві площини симетрії, Це площини діагональних перерізів.

Прямокутний паралелепіпед, усі лінійні розміри якого рівні, називається кубом. Куб має дев’ять площин симетрії.

Усі грані куба є квадратами.

Площа бічної поверхні куба дорівнює квадрату його ребра, помноженому на чотири.

Площа повної поверхні куба дорівнює квадрату його ребра, помн

Поради до розв’язання задач на призму

1. Якщо в умові задачі йдеться про діагональ бічної грані прямої призми, то пам’ятайте, що:

- Проекцією цієї діагоналі на площину основи буде відповідна сторона основи призми. Діагональ бічної грані прямої призми, відповідна їй сторона основи і бічне ребро призми, що виходить з кінця діагоналі, утворюють прямокутний трикутник;

- Кутом нахилу діагоналі бічної грані до площини основи буде кут між цією діагоналлю і відповідною стороною основи призми;

Якщо задані або знайдені діагональ бічної грані призми і кут її нахилу до площини основи, або ця діагональ і відповідна їй сторона основи, то можна знайти висоту призми за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику або наслідків теореми Піфагора.

2. Якщо в умові задачі йдеться про діагональ прямої призми, то пам’ятайте, що:

- Проекцією цієї діагоналі на площину основи буде відповідна їй діагональ основи призми. При цьому більшій діагоналі основи відповідає більша діагональ призми, меншій – менша діагональ призми. Діагональ прямої призми, відповідна їй діагональ основи і бічне ребро призми, що виходить з кінця діагоналі, утворюють прямокутний трикутник;

- Кутом нахилу діагоналі прямої призми до площини основи буде кут між цією діагоналлю і відповідною діагоналлю основи призми;

Якщо задані або знайдені діагональ прямої призми і кут її нахилу до площини основи, або ця діагональ і відповідна їй діагональ основи основи, то можна знайти висоту призми за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику або наслідків теореми Піфагора.

3. Якщо в умові задачі йдеться про переріз прямої призми площиною, то пам’ятайте, що:

- Якщо січна площина проходить, наприклад, через сторону основи прямої трикутної призми і протилежну їй вершину призми, що належить іншій основі, то перерізом буде трикутник, ортогональною проекцією якого на площину основи буде трикутник, що лежить в основі призми. Якщо відома площа такого перерізу і кут нахилу площини перерізу до площини основи, то можна знайти площу основи призми. Площа основи в такому випадку буде дорівнювати площі перерізу, помноженій на косинус кута між площинами перерізу й основи. Відповідно площа такого перерізу буде дорівнювати площі основи, поділеній на косинус кута між площинами перерізу й основи.

Щоб знайти кут між площиною перерізу і площиною основи, треба в одній із цих площин провести перпендикуляр до спільної прямої площин і з основи перпендикуляра, в другій площині провести перпендикуляр до спільної прямої площин.

У випадку правильної трикутної призми кут нахилу площини перерізу, що проходить через сторону основи прямої трикутної призми і протилежну їй вершину призми до площини основи, буде кут між відповідними висотами перерізу й основи призми.

Одна з частин геометрії утворила окрему науку, яка називається топологією. Вона вивчає топологічні властивості фігур, тобто такі, що зберігаються при неперервних деформаціях фігур «без розривів і склеювань».

Теорема Ейлера, великого математика, фізика і астронома, формулює топологічну властивість многогранників: для будь-якого опуклого многогранника сума кількості його вершин і кількості граней без урахування кількості його ребер дорівнює числу 2.

Піраміда. Побудова піраміди та її перерізів. Зрізана піраміда. Правильна піраміда. Площі бічної і повної поверхонь правильної піраміди

Піраміда – це многогранник, що складається з плоского многокутника, точки, що не лежить на його площині, та відрізків, що сполучають дану точку з точками плоского многокутника.

Основою піраміди є многокутник, вершиною піраміди є точка, що не лежить у площі основи, бічними ребрами є відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи.

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань піраміди – це трикутник. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площ кожної з бічних граней піраміди. Площа повної поверхні дорівнює сумі площи основи і площі бічної поверхні піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини на площу основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо в її основі лежить n-кутник.

Трикутна піраміда називається тетраедром.

Правильна піраміда – це піраміда, основою якої є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром даного многокутника.

Віссю правильної піраміди є пряма, що містить її висоту.

Апофемою є проведена з вершини висота бічної грані правильної піраміди.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.

Щоб зобразити на площині піраміду, виконують такі дії:

- Будують многокутник, який лежить в основі піраміди;

- Відмічають основу висоти піраміди і зображують цю висоту;

- Одержану вершину піраміди з’єднують відрізками з вершинами многокутника, що лежить в основі.

Перерізи піраміди площинами, що проходять через її вершину, є трикутниками.

Трикутниками є діагональні перерізи піраміди, тобто перерізи піраміди площинами, що проходять через два несусідніх ребра піраміди.

Площина, паралельна основі піраміди, розтинає її на піраміду і фігуру, яка називається зрізаною пірамідою. Піраміда, що відтинається цією площиною, подібна даній.

Грані зрізаної піраміди, що лежать у паралельних площинах, називаються основами піраміди; всі інші грані – бічні грані піраміди. Основи зрізаної піраміди – гомотетичні многокутники. Кожна з бічних граней зрізаної піраміди – трапеція.

Зрізана піраміда, одержана з правильної піраміди, називається правильною зрізаною пірамідою. Бічні грані правильної зрізаної піраміди – рівнобокі трапеції.

Висоти бічних граней правильної зрізаної піраміди називаються її апофемами.

Поради до розв’язання задач на піраміду

У правильній трикутній піраміді вершина проектується в точку перетину медіан основи.

У правильній чотирикутній піраміді вершина проектується в точку перетину діагоналей основи.

У правильній шестикутній піраміді вершина проектується в точку перетину діагоналей основи.

Висота піраміди, дві бічні грані якої перпендикулярні основі, проходить через вершину основи і є найменшим бічним ребром піраміди.

Висота піраміди, одна бічна грань якої перпендикулярна основі, лежить у цій грані, а основа висоти лежить на стороні основи, через яку проходить дана грань.

Якщо в деякій піраміді всі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим же кутом або всі бічні ребра рівні між собою, то вершина піраміди проектується в центр кола, описаного навколо основи піраміди.

Якщо в деякій піраміді всі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим же кутом або всі бічні ребра рівні між собою, то відстані від основи висоти піраміди до бічних ребер рівні між собою.

Якщо в деякій піраміді всі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим же кутом або всі бічні ребра рівні між собою і в основі піраміди лежить прямокутний трикутник, то основа висоти піраміди є серединою гіпотенузи трикутника основи, а бічна грань, що проходить через гіпотенузу, перпендикулярна площині основи піраміди.

Якщо в деякій піраміді всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим же кутом або висоти всіх бічних граней рівні між собою, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу піраміди.

Якщо в деякій піраміді всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим же кутом, то площа основи піраміди дорівнює площі бічної поверхні, помноженій на косинус кута нахилу бічних граней до площини основи.

Якщо з основи висоти піраміди проведено перпендикуляр на бічну грань, то основа цього перпендикуляра лежить на висоті даної бічної грані, проведеної з вершини піраміди. Кут між цим перпендикуляром і площиною основи піраміди дорівнює куту між висотою піраміди і висотою цієї бічної грані.

Якщо бічні грані піраміди нахилені до площини основи під одним і тим же кутом, то перпендикуляри, проведені з основи висоти піраміди до бічних граней, рівні між собою й утворюють однакові кути з площиною основи. Відстані від основи висоти піраміди до всіх бічних граней у такому випадку рівні між собою.

Правильні многогранники

Правильним многогранником є многогранник, грані якого є правильними многокутниками з рівною кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться однакова кількість ребер.

Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.

У правильного многогранника:

- усі ребра рівні;

- усі двогранні кути, що містять дві грані зі спільним ребром, також рівні;

У правильного тетраедра всі чотири грані – рівносторонні трикутники. Кожна з його вершин є вершиною трьох трикутників. Сума плоских кутів при кожній із вершин дорівнює 180 градусам. Правильний тетраедр не має центра симетрії.

У правильного октаедра всі вісім граней – рівносторонні трикутники. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Сума кутів плоских кутів при кожній вершині дорівнює двомстам сорока градусам. Правильний октаедр має центр симетрії.

У правильного ікосаедра всі двадцять граней – рівносторонні трикутники. Кожна з вершин ікосаедра є вершиною п’яти трикутників. Сума плоских кутів при кожній з вершин ікосаедра дорівнює трьомстам градусам. Правильний ікосаедр має центр симетрії.

У куба всі шість граней – квадрати. Кожна з вершин куба є вершиною трьох квадратів. Сума плоских кутів при кожній з вершин куба дорівнює двомстам сімдесяти градусам. Куб має один центр симетрії.

У правильного додекаедра всі дванадцять граней – правильні п’ятикутники. Кожна з вершин додекаедра є вершиною трьох правильних п’ятикутників. Сума плоских кутів при кожній з вершин дорівнює трьомстам двадцяти чотирьом градусам. Правильний додекаедр має центр симетрії.

Інших видів правильних многогранників не існує. Не існує правильного многогранника, гранями якого є правильні шестикутники, семикутники і взагалі n-кутники з кількістю сторін, більшою за п’ять.

1. Видатний математик ХХ ст. А. М. Колмогоров вважав, що таблиця множення може служити метафорою простоти. А що, на думку вченого, може служити метафорою складності?

 Відповідь. Біном Ньютона. У повісті Л. Толстого «Юність» М. Іртеньєв на вступних іспитів до університету згадує біном Ньютона. Герой роману М. Булгакова «Майстер і Маргарита» Коров’єв вигукує знаменитий вислів: «Подумаєш, біном Ньютона!». У романі А. Конан-Дойля «Остання справа Холмса» відомий детектив Шерлок Холмс свідчив: майбутній професор Моріарті в 21 рік «написав трактат про біном Ньютона, який здобув йому європейську популярність і він отримав кафедру математики в одному з провінційних університетів».

 2. У 1783 р. французький лікар і натураліст Ф. Коммерсон привіз із Японії рідкісну квітку («японську розу»). На честь першої жінкиматематика і астронома Франції Ніколь-Рейн Етабль де ла Брієр (Лепот) він назвав її «потією». Але закріпилася за квіткою інша назва, яку дав їй АПР 65 французький природодослідник А. Жюссьє. Шановні гравці! А яка ж назва закріпилась за квіткою?

 Відповідь. Гортензія. Так виникла легенда про Гортензію Лепот, що зустрічається в деяких біографічних довідниках. Плутанину розкрив ще у 1803 р. французький астроном Ж. Лаланд, який високо цінував наукові заслуги мадам Лепот (1723-1788). 

3. Французький письменник Віктор Гюго якось помітив, що людський розум володіє трьома ключами, які дозволяють людям знати, думати, мріяти. Два з них – букви і ноти. А який же третій ключ?

 Відповідь. Цифра.