Теорія 

Похідна та її застосування

1. Задачі про миттєву швидкість і дотичну до графіка функції

2. Поняття похідної

3. Правила обчислення обчислення похідних

4. Рівняння дотичної

5. Ознаки зростання і спадання функції

6. Точки екстремуму функції

7. Найбільше і найменше значення функції

8. Побудова графіків функцій

ПОХІДНА 

Поняття похідної, необхідне для розв’язання деяких задач фізики, механіки і математики, виникло у XVIІ ст. Розв’язання задач на визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху виклав Ньютон у трактаті «Метод флюксій і нескінченних рядів» (1671, надруковано у 1736 р.). Він функцію називав флюентою (латинське fluere – текти), а похідну – флюксією. Цю термінологію і символи похідної використовують у фізиці й механіці і нині (іноді позначають крапками над літерами похідні за часом). Математики XV-XVIІ ст. намагались знайти загальний метод побудови дотичної до кривої. Окремі випадки розв’язування цієї задачі дали Евклід (дотична до кола), Архімед (дотична до спіралі Архімеда), Аполлоній (дотична до еліпса, гіперболи, параболи). Перший загальний спосіб побудови дотичної до алгебраїчної кривої подано в «Геометрії» Декарта (1637). Більш загальним і важливим для розвитку диференціального числення став метод побудови дотичних  Ферма. Ґрунтуючись на його результатах, Лейбніц розробив свій алгоритм побудови дотичних, який зводився до визначення ординат за відомими їх різницями. Знаходження кутового коефіцієнта дотичної в точці М до плоскої кривої, заданої функцією, він звів до знаходження похідної функції у по незалежній змінній х при даному її значенні (в даній точці). У мемуарі «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних» (1684) Лейбніц назвав алгоритм диференціальним численням, похідну – диференціальним відношенням dy/ dx . Він виклав правила диференціювання суми, різниці, добутку, степеня, частки, знаходження точок екстремуму і перегину. Позначення похідної   f`( x )(1770) і термін «похідна» (1797) ввів Лагранж. Французький математик Л. Арбогаст (1800) першим позначив похідну символом Dy (перша літера французького derive – похідна). 

Сформувати  поняття показникової функції, ознайомити з властивостями цієї функції; формувати вміння розпізнавати та будувати графіки показникової функції;

 формувати початкові вміння моделювати реальні процеси за допомогою показникових функцій.

1. Старогрецький винахідник створив еоліпіл (прообраз парової реактивної турбіни), прилад для вимірювання довжини шляху ( прообраз сучасного таксометра), автомат для продажу води, водяні годинники. 

2. Займаючись питаннями геодезичних робіт, не лише розробив правила знімання планів земельних ділянок, що ґрунтуються на способах, близьких до сучасного методу координат, а сконструював прилад для вимірювання кутів на місцевості. 

3. Формула для визначення площі трикутника за трьома сторонами названа його ім’ям, хоч середньовічні арабські вчені приписують її Архімеду. (Герон Александрійський) 

Засвоїти означення показникового рівняння, навчитися розв’язувати показникові рівняння методом зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими основами, методом уведення нової змінної та функціонально-графічним методом 

1. Актуалізація опорних знань

2. Показникові рівняння

3. Розв'язування показникових рівнянь, методи розв'язування показникових рівнянь (Метод зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими основами, Метод уведення нової змінної, Функціонально-графічний метод)

4. Закріплення знань та вмінь

Методи розв’язування показникових рівнянь 

1. Зведення показникових рівнянь до квадратних шляхом введення нової змінної. 

Алгоритм

1. Звести степені до однакової основи. 

2. Виконати заміну. 

3. Розв’язати одержане квадратне рівняння відносно нової заміни 

4. Повернутися до заміни і розв’язати відповідне показникові рівняння. 

5. Записати відповідь. 

2. Винесення спільного множника за дужки 

Алгоритм

1. Винести за дужки спільний множник. 

2. Виконати дії в дужках. 

3. На вираз у дужках поділити ліву і праву частину рівняння. 

4. Звести рівняння до однієї основи.

5. Прирівняти показники. 

6. Записати відповідь. 

3. Ділення лівої і правої частини рівняння на один із степенів 

Алгоритм

1. Поділити обидві частини рівняння на один із степенів. 

2. Звести обидві частини рівняння до однієї основи. 

3. Прирівняти показники. 

4. Розв’язати одержане рівняння 

5. Записати відповідь 

4. Розв’язування однорідних показникових рівнянь

5. Використання монотонності функції 

 Демонстратор пропонує учням виконати такі дії: «Помножте номер місяця, в якому ви народились, на 100, потім додайте день народження, результат помножте на 2, до одержаного числа додайте 2, результат помножте на 5, до одержаного числа додайте 1, до результату припишіть 0, до одержаного числа додайте ще 1 і додайте число ваших років. Тепер повідомте одержане число». 

Спосіб вгадування. «Фокуснику» залишилось від названого числа відняти 111, а потім остачу розбити на три грані справа наліво по дві цифри. Середні дві цифри позначають день народження, перші дві або одна – номер місяця, а останні дві цифри – число років; знаючи число років, можна визначити рік народження. 

Ввести означення  показникової нерівності;  

формувати вміння розв’язувати показникові нерівності; 

У 1848 р. Я. Больяй, ознайомившись з німецьким виданням твору М. Лобачевського «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній», прийшов у відчай. Він вважав, що ніякого Лобачевського не існує і навіть підозрював Гаусса, якому в 1831 р. була надіслана його праця, в крадіжці власних ідей про побудову неевклідової геометрії. Після смерті Я. Больяйя серед більше 20000 аркушів незакінчених математичних рукописів друзі знайшли запис: «Я з братерським почуттям простягаю руку автору, з яким АПР 92 відчуваю себе духовно пов’язаним, і прошу пробачити мені безпідставну підозру… Я бажаю щастя країні, яка народила такий талановитий розум». У 1825 р. Я. Больяй прийшов до основних положень неевклідової геометрії, які виклав у праці «Апендикс» (1832), опублікованій додатком у книзі його батька, відомого угорського математика і поета Ф. Больяйя. М. Лобачевский першу доповідь про нову теорію «Стислий виклад основ геометріїз строгим доведенням теореми про паралельні» зробив у Казані у 1826 р. Історики науки вважають, що обидва вчених дійшли до своїх видатних результатів незалежно один від одного. 

1. Засвоїти означення логарифма, основну логарифмічну тотожність та основні властивості логарифмів;

2. :розвивати вміння розв’язувати логарифмічні рівняння та обчислювати значення виразів за допомогою основних властивостей логарифмів

1. Логарифм і його властивості

2. Логарифмування

3. Логарифми з власними назвами (десятковий логарифм, натуральний логарифм)

4. Основна логарифмічна тотожність

5. Основні властивості логарифмів (логарифм добутку, логарифм частки, логарифм степеня, перехід від однієї основи логарифма до іншої, узагальнення)

6. Закріплення знань та вмінь

Львівські математики часто зустрічалися в Шотландському кафе (кав’ярня в центрі міста дала назву «шотландській математичній школі», більш відомої як львівська математична школа), де влаштовували наукові засідання. Одне з них тривало без перерви 17 годин і завершилося доведенням важливої теореми. Однак воно не збереглось, бо записи, зроблені хімічним олівцем на мармуровому столику кав’ярні, витерла прибиральниця. Тоді дружина С. Банаха купила товстий зошит, щоб до нього записувати задачі та можливі відповіді на них. Серед «шотландських математиків» були С. Банах, С. Улам, В. Серпінський, Дж. Нейман та ін. АПР 95 «Шотландська книга», яку в роки Другої світової війни зберіг син Банаха, містила багато розв’язаних і нерозв’язаних проблем математики (разом з обіцянками винагороди за їх розв’язок – від чашки кави до живого гусака). Останні записи в ній зроблені в червні 1941 р., напередодні вступу нацистів до Львова. 

• засвоїти означення логарифмічної функції та властивості логарифмічної функції, навчитися будувати та розпізнавати графік логарифмічної функції

•  розвивати вміння формулювати властивості функції на основі отриманого графіку; розв’язувати задачі на основі знань про логарифмічну функцію та її властивості.

1. Логарифмічна функція

2. Симетричність графіків відносно прямої (графіки показникової і логарифмічної функцій)

3. Графіки логарифмічної функції

4. Властивості логарифмічної функції

Рівняння, до якого входить функція і її похідні, називається диференціальним рівнянням.

Будь-яка функція, що задовольняє диференціальне рівняння, називається розв’язком цього рівняння. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, визначає порядок цього рівняння.

Будь-який процес, який описується диференціальним законом у'(х) = k у(х), називається процесом органічного росту. Багато природних процесів є процесами органічного росту, наприклад, розпад радію, зміна атмосферного тиску, збільшення найпростіших організмів, нарахування складних процентів тощо.

Будь-який процес, який описується диференціальним законом у''(х) = k у(х) називається процесом гармонічного коливання. Такий процес називають гармонічним коливанням.

• Американський математик Дж. Данциг, будучи аспірантом університету, якось спізнився на лекцію і сприйняв написані на дошці рівняння за домашнє завдання. Воно здалося йому дуже складним, але через кілька днів він його виконав. Виявилося, що він вирішив дві «нерозв'язані» проблеми в статистиці, над якими працювало багато вчених.  

• Лабораторние дослідження показали, що бджоли вміють вибирати оптимальний маршрут. Після локалізації розміщених в різних місцях АПР 104 квіток бджола здійснює обліт і повертається назад таким чином, що підсумковий шлях виявляється найліпшим, тобто, ці комахи ефективно справляються з класичною «завданням комівояжера» з інформатики, на вирішення якої сучасні комп'ютери, в залежності від кількості точок, можуть витрачати не один день 

Засвоїти означення логарифмічного рівняння; навчити розв’язувати логарифмічні рівняння різними методами (розв’язування найпростіших логарифмічних рівнянь; використання рівнянь-наслідків; Рівняння з однаковими основами; рівняння, які зводяться до простіших за допомогою перетворень; заміна змінних у логарифмічних рівняннях та графічний спосіб)

• Логарифмічні рівняння (означення і розв'язок найпростішого логарифмічного рівняння, кількість розв'язків найпростішого логарифмічного рівняння)

• Розв'язування логарифмічних рівнянь:

1. Найпростіші логарифмічні рівняння

2. Рівняння-наслідки

3. Рівняння з однаковими основами

4. Рівняння, які зводяться до простіших за допомогою перетворень

5. Заміна змінних у логарифмічних рівняннях

6. Графічний спосіб роз'язування логарифмічних рівнянь

Логарифмічними рівняннями називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

Методи розв'язу­вання логарифмічних рівнянь.

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

2. Метод потенціювання.

3. Метод зведення логарифмів до однієї і тієї ж основи.

4. Метод логарифмування.

5. Графічний метод розв'язування логарифмічних рівнянь.

Дедалі мистецтво стає науковим, а наука – художньою; розійшовшись біля підніжжя, вони стрінуться колись на вершин.

 Г. Флобер

 Ще Галілей сказав, що не випадково найважливіші ознаки прекрасного – симетрія, пропорційність частин і цілого, гармонія – виражаються математичними поняттями. Ці ж ознаки прекрасного використовуються і для характеристики природи, суспільних явищ, мистецтва. Кожному виду мистецтва, зокрема літературі, притаманне прагнення до краси, стрункості, гармонії. Математика, як це не здається на перший погляд парадоксальним, не така вже й далека від поезії, літератури. 

Перша російська жінка-математик С. Ковалевська писала: «Не можна бути математиком, не будучи водночас поетом в душі». А. Ейнштейн вважав, що математика – «поезія логіки ідей»; математичні формули не тільки виражають особливості довколишнього світу, а й відображають «справжню, глибоку красу природи». Недарма багато відомих математиків захоплювались літературою, а чимало письменників, поетів з задоволенням займались математикою. 

Так, драматург А. Сухово-Кобилін (ХІХ ст.) закінчив математичний факультет Московського університету і одержав золоту медаль за роботу «Теорія ланцюгової лінії». Серйозно цікавився математикою М. Гоголь. Л. Толстой навіть написав підручники з арифметики для початкової школи. 

Розміщуючи статтю російського дипломата П. Козловського «Про сподівання» (1836) в «Современнике», О. Пушкін прагнув «стать с веком наравне» по відношенню до математики. В статті вперше в Росії популярно викладено основи теорії ймовірностей. 

1. Розглянути приклади логарифмічних нерівностей та найпростіших логарифмічних нерівностей, навчитися розв’язувати найпростіші та більш складні логарифмічні нерівності;

2. розвивати вміння розв’язувати логарифмічні нерівності різними способами;

1. Логарифмічні нерівності

2. Розв'язування найпростіших логарифмічних нерівностей

3. Розв'язування логарифмічних нерівностей різного типу та рівня складності

Математика – це різновид мистецтва. 

Н. Вінер 

Французький письменник Стендаль у романі «Автобіографія» згадував, що побачений у свого вчителя математики підручник Ейлера з алгебри і його задача про кількість яєць, які селянка несла на базар стали для нього відкриттям. «Я зрозумів, що означає користуватися таким знаряддям, яке називається алгеброю». А в «Автобіографії» класика сербської літератури Б. Нушича лише 7 сторінок відведено першому коханню, а урокам математики – 12! Герой детективів А. Конан Дойля Шерлок Холмс вираховував злочинця за допомогою логічного аналізу наявних зовсім незначних фактів, бо, як вважав письменник, «людину, яка вміє спостерігати і аналізувати, одурити неможливо. Її висновки будуть такі ж безпомилкові, як і теореми Евкліда». У несподіваних ситуаціях героїв пригодницьких романів англійського письменника Томаса Майн Ріда не раз виручало знання геометрії.

 Готуючись до написання романів, засновник наукової фантастики французький письменник Жуль Верн вивчав підручники з математики, фізики, астрономії. На прохання фантаста, професор математики А. Груссе обґрунтував можливість міжпланетної подорожі, якщо початкова швидкість снаряду становитиме 11 км/с. Ці математичні розрахунки подані в романі «Із Землі на Місяць».

 Поет, письменник І. Франко не лише перекладав на українську мову віршовані задачі старогрецьких математиків, а й шукав способи їх розв’язування. Поет, драматург, актор, режисер і організатор українського професійного театру М. Старицький навчався на фізико-математичному факультеті Харківського університету. 

Російський поет М. Дудін зазначав, що один з засновників російського футуризму початку ХХ ст. В. Хлєбніков «міг стати великим математиком. І став ним». В трактатах «Дошки долі», «Про закони часу» він створив оригінальну теорію про роль числа в періодизації подій всесвітньої історії, АПР 106 вдягнувши її в поетичну форму. Поет, одержимий ідеєю злиття математики і мистецтва, «будував геометрію чисел», хотів «сплести ще одне рівняння поцілунків з лісових озер». Російський поет К. Чуковський «рятувався від розумового неробства, пишучи для дітей загадки з відгадками» (з математичним змістом). Запам’ятовування таких віршів допомагає дітям і нині легше пізнавати навколишній світ. 

Геометрія – це та ж гармонія. 

В. Гюго

 У 1903 р. Б. Бугаєв (літературний псевдонім А. Бєлий), син відомого російського математика М. Бугаєва, закінчив природниче відділеня фізикоматематичного факультету Московського університету. Знайомство з останніми досягненнями фізики, математики та природничих наук (нові уявлення про простір і час, про будову речовини та ін.) позначилися на лексиці, образах, темах і структурі творів поета. На початку ХХ ст. відомий представник символізму в російській поезії А. Бєлий (до цього напряму належали О. Блок, В. Брюсов) вивчав статистичні закономірності в поетичних творах. Він не протиставляв математику і поезію, а формулював правила і намагався дотримуватись їх у своїх поезіях. Його математичні помилки були виправлені Б. Томашевським (згодом один з найвідоміших російських філологів ХХ ст.), який у 1920-ті роки вперше в теорії вірша використав теорію ймовірностей. 

Математичні аналогії, формули, терміни привносили в поезії та прозу М. Цвєтаєвої строгість і точність виразу думки, стрункість і логічність викладу. Так, для неї періодичний дріб був аналогією справжніх, життєвих і житейських подробиць. Маючи чітке уявлення про це математичне поняття в статті «Поет і час» (1932) Цветаєва писала: «Сьогодення. Чи є воно? Служіння періодичному дробу. Думаю, що ще служу сьогоденню, а вже минулому, а вже майбутньому». А в нарисі «Наталя Гончарова» (1929) читаємо: «Періодичний дріб весни з якоюсь остачею, повік неподільною». 

Філософськими роздумами наповнені рядки повісті «Санаторійна зона» українського письменника М. Хвильового: «Конуси. Квадрати. Призми… Я вже бреду по асфальтах, іду по логарифмах і слухаю пісню безмежності. Я знаю ціну Декартовій системі координатів, говорю про цінності: Евклідову на площині і Лобачевского на сферичній поверхні, та абсолютної істини нема і в математиці…». 

Формування поняття первісної функції та поняття невизначеного інтегралу, знання таблиці первісних.

Первісна функції

Первісною для заданої функції називається така функція, похідна якої дорівнює заданій функції.

Задана функція і її первісна знаходяться в такому відношенні одна до одної: функція є похідною своєї первісної.

Обернена до диференціювання операція – пошук первісної – називається інтегруванням.

Будь-яка неперервна на проміжку функція має первісну на цьому проміжку.

Якщо функція має первісну, то вона має нескінченну кількість первісних, при цьому будь-які дві з них відрізняються одна від одної тільки на константу (числовий доданок). Загальний вигляд первісних для заданої функції звичайно записують так F(x) + С, де С – константа, а F(x) – первісна заданої функції на деякому проміжку.

Графіки будь-яких двох первісних для заданої функції можна одержати один з одного паралельним перенесенням по осі ординат.

Невизначений інтеграл

Множина всіх первісних заданої функції на заданому проміжку називається невизначеним інтегралом. Функція називається підінтегральною функцією, аргумент функції називається змінною інтегрування.

Дія знаходження невизначеного інтеграла називається невизначеним інтегруванням. Невизначене інтегрування є дією, оберненою до диференціювання.

За допомогою диференціювання ми за даною функцією знаходимо її похідну, а за допомогою невизначеного інтегрування ми за даною похідною функції знаходимо первісну функції.

формування знань (невизначених інтегралів), формування умінь у знаходженні первісних для даних функцій, користуючись правилами знаходження первісних.

Правила знаходження первісних

Щоб знайти первісну суми скінченої кількості функцій, можна знайти суму первісних кожного доданка, якщо вони існують.

Щоб знайти первісну різниці двох функцій, можна знайти різницю первісних зменшуваного і від’ємника, якщо вони існують.

Щоб знайти первісну добутку функції і константи, можна знайти первісну функції і помножити її на цю ж константу.

Щоб знайти первісну складеної функції, внутрішня функція якої є лінійним виразом, можна первісну зовнішньої функції поділити на коефіцієнт при змінній внутрішньої функції.

Щоб знайти загальний вигляд первісних функції, треба знайти одну з первісних і додати до неї константу.

Щоб знайти первісну заданої функції, графік якої проходить через точку з заданими координатами, знайдіть:

- загальний вигляд первісних;

- значення константи з рівняння, що утвориться при підстановці координат точки у формулу, яка задає загальний вигляд первісної;

У формулу загального вигляду первісних функції замість константи підставити знайдене її значення.

Познайомити учнів з задачами, які приводять до по­няття інтеграла: задача про площу криволінійної тра­пеції. Формування поняття інтеграл.

Вивчення формули Ньютона—Лейбніца і основних властивостей інтеграла, які випливають із власти­вості первісної і формули Ньютона—Лейбніца,

Властивості визначеного інтеграла. Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ фігур

Якщо нижня і верхня границі функції співпадають, то інтеграл дорівнює нулю.

Якщо в інтеграла поміняти місцями нижню і верхню границі інтегрування, то значення інтеграла зміниться на протилежне.

Щоб обчислити визначений інтеграл від функції зі сталим множником, можна сталий множник винести за знак інтеграла.

Визначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів з тими ж границями інтегрування від кожного доданка.

Визначений інтеграл від заданої функції з границями інтегрування, що є протилежними числами, дорівнює:

- якщо функція непарна, то нулю;

- якщо функція парна, то подвоєному інтегралу від тієї ж функції, але від нуля до заданої верхньої границі інтегрування.

Якщо фігура, площу якої треба знайти, обмежена графіками функцій f(x) (обмежує зверху) і g(x) (обмежує знизу), то для обчислення площі такої фігури треба обчислити інтеграл від різниці цих функцій на заданому проміжку.

Якщо криволінійна трапеція обмежена зверху різними функціями, то площа криволінійної трапеції дорівнює сумі площ криволінійних трапецій, обмежених зверху кожною з цих функцій.

Якщо фігура розміщена у від’ємній півплощині відносно осі абсцис, то її площу можна знайти як модуль визначеного відповідного інтеграла.

Для обчислення площ фігур, обмежених графіками заданих функцій, використовуємо таку схему:

- Побудувати фігуру, площу якої треба знайти в координатній площині;

- Знайти абсциси точок перетину графіків заданих функцій.

- Скласти й обчислити інтеграл від різниці верхньої і нижньої функцій із границями інтегрування, які дорівнюють абсцисам точок перетину графіків функцій.

Нижньою границею інтегрування треба брати лівий кінець відрізка, на якому визначається криволінійна трапеція.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної невід’ємної функції, дорівнює визначеному інтегралу квадрата функції, помноженого на константу π.

Робота змінної сили вздовж осі абсцис на заданому проміжку дорівнює визначеному інтегралу від функції сили.

Шлях, що проходить тіло зі змінною швидкістю за проміжок часу, дорівнює інтегралу від функції швидкості.

Маса стержня із змінною густиною з заданою довжиною дорівнює визначеному інтегралу від функції густини.

Правило додавання

Якщо деяку елементарну дію А можна виконати т способами, а другу дію В можна виконати n способами, то дію «або А, або В» можна виконати m + n способами.

Правило множення

Якщо деяку елементарну дію А можна виконати m способами, а після цього виконати другу дію Вn способами, то дію «спочатку А, потім В» можна виконати m ∙ n способами.

Основні поняття теорії ймовірностей

Задача теорії ймовірностей – математичне дослідження закономірностей масових випадкових подій.

Проводиться n експериментів при однакових обставинах. Подія А відбулась k разів, тоді не відбулась n – k разів. Число k називається частотою події А, а відношення k / n – відносна частота події А.

При великій кількості експериментів відносна частота наближається до числа, яке називається ймовірністю події А

Імовірністю випадкової події А називається відношення числа елементарних подій, що відбулися, до загального числа подій простору елементарних подій.

Імовірність завжди більша за нуль, але менша від одиниці.

Сумою подій А і В називається подія, при якій із подій А і В відбудеться хоча б одна.

Приклад. Нехай подія А така, що при підкиданні двох монет обидві падають на одну сторону. Нехай В – така подія, коли перша монета падає решкою. Тоді подія сума означає, що результатом підкидання монет будуть:

орел, орел

решка, решка

решка, орел

і не буде: орел, решка.

Для будь-яких подій справджується:

Сума двох однакових подій дорівнює самій події;

Сума події А і В дорівнює сумі подій В і а;

Щоб до суми двох подій додати третю подію, можна до першої події додати суму другої і третьої подій.

Різницею подій А і В називається така подія, при якій подія А відбудеться, а подія В не відбудеться.

Добутком подій називається подія, при якій із подій А і В відбудуться обидві події А і В.

Незалежними називаються події такі, що ймовірність того, що відбудеться одна подія, не залежить від того, відбулась інша чи ні.

Статистичною ймовірністю події А називається число р, навколо якого зосереджуються значення статистичної частоти здійснення події А при збільшенні числа експериментів.

Теорема. Якщо в серії експериментів імовірність деякої події залишається для кожного експерименту постійною, то з достовірністю можна стверджувати, що при достатньо великій кількості експериментів статистична частота цієї події буде відрізнятись як завгодно мало від її ймовірності.

Основні поняття теорії ймовірностей.

Теорія ймовірностей як самостійна наука виникла в середині XVII століття. Тоді були дуже поширені азартні ігри, тобто ігри, в яких результат залежить лише від випадку. До таких ігор належать ігри з кубиками, гра в «орлянку», деякі карточні ігри. Б. Паскаль і П. Ферма в листуванні з приводу задач, які виник­ли в зв'язку з азартними іграми, запровадили поняття ймовір­ності. Для розв'язання таких задач існуючий тоді математич­ний апарат виявився недостатнім, і було закладено основи нової науки. Нині теорія ймовірностей широко застосовується в фізиці і в біології, у техніці, в різних галузях народного господарства.

Первісним поняттям теорії ймовірності є поняття події.

Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбу­вається чи не відбувається за певних умов. Події позначаються великими буквами латинського алфавіту: А, В, С... Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду).

Випробування — це умови, в результаті яких відбувається (чи не відбувається) подія.

Наприклад, випробування — підкидання монети, події: А — «поява герба», В — «поява цифри»; випробування — підкидан­ня кубика, події: А — «поява 1 очка», В — «поява 2 очок», С — «поява 3 очок», D — «поява 4 очок», Е — «поява 5 очок»,G — «поява 6 очок».

Виконання вправ

1. Відокремте події і випробування :

а) тягнемо екзаменаційний білет, випадає білет № 3;

б) дістаємо лампу з коробки, вона бракована;

в) набираємо навмання телефонний номер· і чуємо голос зна­йомого;

г) відкриваємо поштову скриньку і знаходимо лист;

д) стріляємо і влучаємо в ціль.

2. Наведіть свої приклади випробувань і подій.

 Випадковою подією називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування.

Наприклад: під час витягування навмання однієї карти з ко­лоди ви взяли короля. Подія А — «взято короля» є випадковою.

Випадкові події можуть бути масовими та одиничними.

Масовими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов, які можуть бути відтворені (можна спостерігати) необмежену кількість разів.

Наприклад, влучення або промах в серії пострілів; поява бра­кованих деталей при серійному випуску; радіоактивний розпад атомів речовин і т. д.

Прикладом одиничної випадкової події є падіння Тунгусько­го метеорита.

Теорія ймовірностей вивчає лише масові випадкові величини.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробуван­ня обов'язково відбудеться.

Наприклад, подія А — «поява на одній із граней грального кубика натурального числа, меншого за 7» — є вірогідною.

Неможливою називається така подія, яка внаслідок даного вип­робування не може відбутися.

Наприклад, подія А — «поява на одній із граней грального кубика цифри 7».

Виконання вправ

1. Наведіть приклади вірогідних подій.

2. Наведіть приклади неможливих подій.

3. Які із подій є вірогідними:

А — «два попадання при трьох пострілах»;

Б — «навмання вибране трицифрове число не більше 1000»;

С — «випадання 12 очок при киданні двох гральних кубиків»;

Е — «випадання цифри 3 при киданні монети»?

4. Які із подій є неможливими:

А — «випадання 13 очок при киданні двох гральних кубиків»;

В — «поява слова «мама» при випадковому наборі букв а, а, м, м».

С — «чотири попадання при трьох пострілах»;

D — «поява на одній грані грального кубка числа 8»?

Повна група подій, попарно несумісні події, рівноможливі події, елементарні події.

Повною групою подій називається множина подій таких, що в результаті кожного випробування обов'язково повинна відбути­ся хоча б одна із них.

Наприклад: у випробуванні — кидання грального кубика по­вну групу подій становлять події:

А1 — «поява числа 1»;

А2 — «поява числа 2»;

А3 — «поява числа 3»;

А4 — «поява числа 4»;

А5 — «поява числа 5»;

A6 — «поява числа 6»,

або події:

В1 — «поява парного числа»;

В2 — «поява непарного числа».

Виконання вправ_

Чи утворюють повну групу такі групи подій:

а) Випробування — кидання монети; події:

A1 — «поява герба»;

A2 — «поява цифри».

б) Випробування — кидання двох монет; події:

А1 — «поява двох гербів»;

A2 — «поява двох цифр».

в) Випробування — два постріли по мішені; події:

А1 — «жодного попадання»;

А2 — «одне попадання»;

А3 — «два попадання».

г) Випробування — два постріли по мішені; події:

А1 — «хоча б одне попадання»;

А2 — «хоча б один промах».

д) Випробування — витягування карти із колоди карт; події:

В1 — «поява карти червоної масті»;

B2 — «поява карти бубнової масті»;

В3 — «поява карти трефової масті»;

В4 — «поява карти пікової масті»;

В5 — «поява короля»;

B6 — «поява дами».

Відповіді: а) так;   б) ні;   в) так;   г) так;   д) так.

 Попарно несумісні події — це події, дві з яких не можуть відбу­ватися разом.

Наприклад, попадання і промах при одному пострілі — це дві несумісні події; поява цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одному киданні грального кубика — це шість несумісних подій.

Виконання вправ

Чи є несумісними такі події:

а) Випробування — кидання монети; події:

А1 — «поява герба»;

А2 — «поява цифри».

б) Випробування — кидання двох монет; події:

В1 — «поява герба на першій монеті»;

В2 — «поява цифри на другій монеті».

в) Випробування — два постріли по мішені; події:

С1 — «жодного попадання»;

С2 — «одне попадання»;

С3 — «два попадання».

г) Випробування — два постріли по мішені; події:

D1 — «хоча б одне попадання»;

D2 — «хоча б один промах».

д) Випробування — витягування двох карт з колоди; події:

Е1 — «поява двох чорних карт»;

Е2 — «поява туза»;

E3 — «поява дами».

Відповіді: а) так;   б) ні;   в) так; г) ні;   д) ні.

Рівноможливі події — це такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробу­вань, що проводяться за однакових умов.

Наприклад, поява цифр 1, 2, 3,4, 5, 6 при киданні грального кубика — рівноможливі події.

Виконання вправ

Чи є рівноможливими такі події:

а) Випробування — кидання монети; події:

А1 — «поява герба»;

A2 — «поява цифри».

б) Випробування — кидання неправильної (зігнутої) монети; події:

В1 — «поява герба»;

В2 — «поява цифри».

в) Випробування — постріл по мішені; події:

С1 — «попадання»;

C2 — «промах».

г) Випробування — кидання двох монет; події:

D1 — «поява двох гербів»;

D2 — «поява двох цифр»;

D3 — «поява одного герба і однієї цифри».

д) Випробування — витягування однієї карти із колоди; події:

Е1 — «поява карти червоної масті»;

Е2 — «поява карти бубнової масті»;

Е3 — «поява карти трефової масті»;

Е4 — «поява карти пікової масті».

є) Випробування — кидання грального кубика; події:

F1 — «поява не менше трьох очок»;

F2 — «поява не більше чотирьох очок».

Відповіді: а) так; б) ні;   в) так;   г) ні; д) так; є) так.

Якщо події:

1) утворюють повну групу подій;

2) є несумісними;

3) є рівноможливими, то такі події утворюють простір елементарних подій.

Виконання вправ

1. Чи утворюють простір елементарних подій такі події:

а) Випробування — кидання монети; події:

А1 — «поява герба»;

A2 — «поява цифри».

б) Випробування — кидання двох монет; події:

В1 — «поява двох гербів»;

В2 — «поява двох цифр».

в) Випробування — кидання грального кубика; події:

С1 — «поява не більше двох очок»;

С2 — «поява трьох і чотирьох очок»;

C3 — «поява не менше п'яти очок».

г) Випробування — постріл по мішені; події:

D1 — «попадання»;

D2 — «промах».

д) Випробування — два постріли по мішені; події:

E1 — «жодного попадання»;

Е2 — «одне попадання»;

Е3 — «два попадання».

є) Випробування — витягування двох карт із колоди; події:

F1 — «поява двох червоних карт»;

F2 — «поява двох чорних карт».

Відповіді: а) так; б) ні; в) так; г) так; д) ні; є) ні

Основні поняття статистики. Завдання математичної статистики. Статистичне спостереження

Математична статистика – розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизується, опрацьовується і використовується результати досліджень для наукових і практичних висновків.

Статистичні дослідження проводяться статистичними методами.

Складові статистичного методу:

· Масове спостереження;

· Статистичне зведення одержаних результатів;

· Групування статистичних даних;

· Обчислення середніх величин та індексів;

· Побудова графіків.

Генеральна сукупність - множина однорідних елементів, з якої за певним правилом виділяють підмножину, яку називають вибіркою.

Приклад. При проведенні контролю якості виробів генеральна сукупність – множина всіх виробів, що підлягають перевірці на відповідність стандартам.

Завдання математичної статистики – розробка теорії статистичного виведення як системи методів розв’язування задач, за допомогою яких з оброблених даних вибірки генеральної сукупності роблять висновки про властивості всієї генеральної сукупності.

Різниця між показниками генеральної сукупності і вибіркої генеральної сукупності називається похибкою вибірки або похибкою репрезентативності, і завдання математичної статистики – наблизити цю похибку до мінімуму. Сприяє цьому і правильно сплановане статистичне дослідження.

План проведення статистичного дослідження

1. Формулювання мети і задач дослідження, визначення об’єму вибірки, місця і часу проведення спостереження.

2. Збір необхідних даних за допомогою статистичного спостереження.

Обробка зібраних даних, графічне їх подання.

Види статистичних спостережень

За часом

· Поточне – систематичне вивчення змін, які відбуваються в певній сукупності.

· Періодичне - вивчення змін, які відбуваються в певній сукупності через певний інтервал часу.

· Одиничне - вивчення змін, які не відбуваються в певній сукупності в разі потреби.

За ступенем повноти охоплення одиниць

· Суцільне - вивчення всіх одиниць сукупності;

· Не суцільне – вибіркове вивчення частини одиниць сукупності.

За способом організації

· Звітне - вивчення змін на основі статистичних даних за різними звітностями.

· Експедиційне - безпосереднє спостереження призначеними особами змін у сукупності.

· Самообчислення - вивчення змін за допомогою заповнення статистичних форм одиницями сукупності.