I. 一般化ゴスパー曲線

Generalized Gosper space filling curves

下の図形はゴスパーの怪物曲線を一般化して，発見した13本の線分から成る一般化ゴスパー曲線のジェネレーターです。13本の線分の1本1本を13本の線分全体を1/13に縮小したものに置き換える操作を繰り返すと，平面をべったり敷き詰めるフラクタル次元2の一般化ゴスパー曲線が得られます。図形の上でマウスをクリックすると再帰が進み，右クリックすると戻ります。我々は，このような一般化ゴスパー曲線が無数に存在することを示しました。

一般化ゴスパー曲線は，黒丸から白丸へ至る折れ線で，その折れ線は 1) 途中で交差しない一筆書きで， 2) 線分を辺とする三角格子の全頂点を通る という性質を持っています。 この美しい性質が怪物曲線と呼ばれる所以ですが，美しいばかりでなく文献6では平面アンテナに，文献7-8ではセンサーなどへの応用も試みられています。

ジェネレーターの線分の本数を次数と呼びます。次数7がゴスパーの怪物曲線です。文献4に次数37までの全ての図が掲載されています。文献9は，それらに基づくMathematicaによるグラフィックスプログラムです。

文献10はケンブリッジ大学博士論文で，単に，ゴスパー曲線を説明するために引用されています。 

未解決問題

一般化ゴスパー曲線の次数はn=6k+1, k=1,2,3,...に限られるという予想。

参考文献

1. 福田 宏, 中村 義作 2013 『エッシャーの絵から結晶構造へ(増補版)』 (海鳴社バウンダリー叢書)

2. 福田 宏, 中村 義作 2010 「ゴスパー曲線とその一般化」 『離散数学のすすめ』伊藤 大雄, 宇野 裕之/編著 第11章 pp.152-167 (現代数学社)

3. 福田 宏, 中村 義作 2008 「ゴスパー曲線とその一般化」離散数学のすすめ15『理系への数学』第41巻第6号通巻498号 pp. 55-60 (現代数学社)

4. Akiyama J, Fukuda H, Ito H, Nakamura G 2007 Infinite Series of Generalized Gosper Space Filling Curves Lecture Notes in Computer Science 4381 1-9

5. Fukuda H, Shimizu M, Nakamura G 2001 New Gosper Space Filling Curves Proceedings of the International Conference on Computer Graphics and Imaging, CGIM2001 34-38

6. Spence T G, Werner D H 2011 Generalized Space-Filling Gosper Curves and Their Application to the Design of Wideband Modular Planar Antenna Arrays IEEE Transactions on Antennas and Propagation 58(12):3931 - 3941

7. Nappi S, Su C, Luan H, Rogers J, Marrocco G 2020 Stretchable Wireless Sensor Skin for the Surface Monitoring of Soft Objects 2020 IEEE International Conference on Flexible and Printable Sensors and Systems (FLEPS)At: Manchester, United Kingdom DOI: 10.1109/FLEPS49123.2020.9239524

8. S. Nappi, L. Gargale, F. Naccarata, P. P. Valentini and G. Marrocco, 2022 A Fractal-RFID Based Sensing Tattoo for the Early Detection of Cracks in Implanted Metal Prostheses IEEE Journal of Electromagnetics, RF and Microwaves in Medicine and Biology 6(1): 29 - 40 DOI: 10.1109/JERM.2021.3108945

9. Dieter Steemann 2016 Generalized Gosper Curves and Trisected Variants WOLFRAM Demonstrations Project  https://demonstrations.wolfram.com/GeneralizedGosperCurvesAndTrisectedVariants/

10. Miguel El Guendy 2023 Improving Image Quality in Holographic Projections through Novel Iterative Algorithmic Solutions, Department of Engineering University of Cambridge, This dissertation is submitted for the degree of Doctor of Philosophy DOI:  http://dx.doi.org/10.17863/CAM.99647 

パータイルとタイリング

平面上の閉じた領域をタイル，タイルを隙間も重なりもなく並べることをタイリングといいます。図II.1に示すタイルは，そのタイルと同じ形の小さなタイルをタイリングして作られています。このようなタイルをパータイル（完全タイル）といいます。

図II.1は，我々のおこなった，ポリオミノによるpgアイソヘドラルタイリングの研究を応用して，作成したpgパータイリング図形です。図II.2の9-オミノは，それぞれpg対称性をもつアイソヘドラルタイリングが可能で，図II.1の完全タイルは，図II.2の9-オミノを構成する9つの正方形を1/9に縮小した9-オミノで置換するという再帰的操作を繰り返して得られます。ポリオミノを構成する正方形がポリオミノに置換されるので，この方法で収束する図形はパータイルです。このパータイルを拡大したタイリングは，元のタイリングの対称性pgを持つ，いわばpgパータイリングです。これは，図II.1左のパータイルを拡大したpgパータイリングです。詳しくは文献1と7参照。

参考文献

1. 福田 宏, 中村 義作 2013 『エッシャーの絵から結晶構造へ(増補版)』 (海鳴社バウンダリー叢書)

2. 福田 宏 2008 科学研究費補助金 基盤研究C 数学一般(含確率論・統計数学)「ポリオミノとポリイアモンドを用いたアイソヘドラルタイリングの研究」

3. 福田 宏 2009 「タイリングの問題」 『離散幾何学における未解決問題集 Research Problems in Discrete Geometry』 ブラス J／モーザー W／パッハ J著, 秋山 仁 監訳 第4章 pp. 143-162 (丸善出版)

4. Fukuda H, Kanomata C, Mutoh N, Nakamura G, Schattschneider D 2011 Polyominoes and Polyiamonds as Fundamental Domains of Isohedral Tilings with Rotational Symmetry Symmetry 3(4) 828-851.

5. Fukuda H, Kanomata C, Mutoh N, Nakamura G, Schattschneider D 2011 Polyominoes and Polyiamonds as Fundamental Domains for Isohedral Tilings of Crystal Class D2 Symmetry 3(2) 325-364.

6. Fukuda H, Mutoh N, Nakamura G, Schattschneider S 2008 Enumeration of Polyominoes, Polyiamonds and Polyhexes for Isohedral Tilings with Rotational Symmetry Lecture Notes in Computer Science 4535 68-78.

7. Fukuda H, Mutoh N, Nakamura G, Schattschneider D 2007 A Method to Generate Polyominoes and Polyiamonds for Tilings with Rotational Symmetry Graphs and Combinatorics 23[Suppl] 259-267.

8. 福田 宏, 清水 道夫, 植松 正吾, 勝矢 光昭 2001 「映進対称性を持つフラクタル・テクスチュアパターンの生成」 情報処理学会論文誌 42(5) 1194-1197.

9. 福田 宏, 別宮 利昭, 西山 靜, 中村 義作 2003 「平面タイル貼りに関する二つの話題」 『形とシンメトリーの饗宴』 小川 泰, 三浦 公亮, 増成 隆士, 三田村, Denes Nagy/監訳 第2部 幾何学的アートと形態学 25 pp.250-257 (森北出版社)

10. Fukuda H, Betumiya T, Nishiyama S, Nakamura G 1996 Two topics on plane tiling KATACHI ∪ SYMMETRY 231-238 (Springer Tokyo)

11. Fukuda H, Saito T, Nakamura G 1994 Classification and computer generation of necktie patterns FORMA 9 67-72.

12. Garvie M and Burkardt J 2022 A New Algorithm Based on Colouring Arguments for Identifying Impossible Polyomino Tiling Problems Algorithms 15 65.

13. Garvie M and Burkardt J 2022 A Parallelizable Integer Linear Programming Approach for Tiling Finite Regions of the Plane with Polyominoes Algorithms 15 164.

六合マスは，図III.1のように直線上にない3頂点で水面を決めることで，1, 3 ,6合のお酒を正確に測ることができます。図III.1左が6合，中央が3合，右が1号のお酒を測っているところです。

さらに，次のようにお酒をこぼすことで，1合から6合までの酒を酒樽からお客の容器に測り入れることができます。

• 1合: 酒樽から図III.1左のように1合酒をすくい，お客の容器に注ぐ。

• 2合: 酒樽から図III.1中央のように3合酒をすくい，お客の容器に図III.1左のようにマスに1合お酒が残るように酒を注ぐ。

• 3合: 酒樽から図III.1中央のように3合酒をすくい，お客の容器に注ぐ。

• 4合: 酒樽から図III.1左のようにマス一杯に酒をすくい，お客の容器に図III.1中央のようにマスに3合お酒が残るように酒を注ぎ，酒樽の上で，図III.1左のようにマスに1合お酒が残るように酒をこぼしてから，もう一度お客の容器に酒を注ぐ。

• 5合: 酒樽から酒樽から図III.1左のようにマス一杯に酒をすくい，お客の容器に図III.1右のようにマスにお酒が残るように酒を注ぐ。

• 6合: 酒樽から図III.1左のようにマス一杯に酒をすくい，お客の容器に注ぐ。

これを，一般化して，目盛りのないマスで次のように酒を測る事ができます。 「酒樽で酒をすくい，マスの直線上にない3頂点で水面を決めて，お客の容器の上と，酒樽の上で交互に酒をこぼすことを繰り返す」 

底面が三角形の万能マス

図III.2のような，底面が三角形，高さが h1, h2, h3 の側面をもつマスを考えます。

 (1) このマスで，直線上にない3頂点で水面を決めることで，7通り，

h1, h2, h3, h1+h2, h2+h3, h3+h1, h1+h2+h3

合のお酒を測ることができます（底面の面積は3とする）。

 (2) そして，上の測り方で1合からn合まで酒が測れる時，最大のnは41で，そのマスは，

(h1, h2, h3)=(12,13,16)

です。つまり41合マスです。 

未解決問題

マスの底面が長方形の場合， (1) 直線上にない3頂点で水面を決めることで，13通りの量のお酒を測ることができます。 (2) 計算機探索で見つかった最大のnは858で，そのマスは，底面を周回する順に頂点の高さが(h1, h2, h3, h4)=(130,132,156,169)です。しかし，これ以上大きなnがあるかどうか解っていません。 

参考文献

1. 秋山 仁『知性の織りなす数学美―定理づくりの実況中継』 (中公新書 2004/5)

2. Akiyama J, Fukuda H, Nara C, Sakai T, Urrutia J 2008 Universal Measuring Boxes with Triangular Bases American Mathematical Monthly 115(3) 195-201

3. Akiyama J, Fukuda H, Nakamura G 2003 Universal Measuring Devices with Rectangular Base Lecture Notes in Computer Science 2866 1-8

4. Akiyama J, Fukuda H, Nakamura G, Sakai T, Urrutia J, Zamora-Cura C 2001 Universal measuring devices without gradations Lecture Notes in Computer Science 2098 31-40

論文4では，図IV.4のような4次元の超立方体(hyper-cube)の3次元展開図が261通りあることを数え上げ，その全ての図を掲載しています。

論文5では，図IV.5のような5次元の立方体の4次元切断面が484通りあることを数え上げ，その全ての図を掲載しています。なお，4次元の立方体の3次元切断面は61通りで，その全ての図も掲載されています。

参考文献

1. 福田 宏 2004 「4次元立方体を展開する」 『形の科学百科事典』 形の科学会/編 4 数学と形 4120 pp. 597-598 (朝倉書店)

2. 福田 宏 2004 「4次元立方体を切る」 『形の科学百科事典』 形の科学会/編 4 数学と形 4119 pp. 595-596 (朝倉書店)

3. Fukuda H, Shimizu M, Nakamura G 2000 Coloring of Polytopes in Four Dimensions HyperSpace 9 No.1 8-12

4. Fukuda H, Yasuike T, Shimizu M, Nakamura G 1998 Three-Dimensional Development of a Hyper-Cube in Four Dimensions HyperSpace 7 No.1 33-43

5. Fukuda H, Muto N, Goto K, Nakamura G 1997 Sections of hyper-cube in five dimensions FORMA 12 15-33