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4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
La serie de Taylor es una herramienta útil para representar funciones mediante una aproximación en forma de serie de potencias. La idea es descomponer una función complicada en una serie de términos más simples basados en sus derivadas.
La aproximación de una función f(x) mediante la serie de Taylor alrededor de un punto c se puede expresar de la siguiente manera:
F(x) = f + f’(x – c) + f’’((x – c)^2 / 2!) + f’’’((x – c)^3 / 3!) + …
La serie de Taylor se construye a partir de las derivadas de la función evaluadas en el punto c. El primer término es simplemente el valor de la función en ese punto. El segundo término es proporcional a la derivada de primer orden de f en c, multiplicada por la diferencia entre x y c. El tercer término es proporcional a la segunda derivada de f en c, multiplicada por la diferencia al cuadrado, y así sucesivamente.
La serie de Taylor proporciona una aproximación local de la función alrededor del punto c. Cuantos más términos de la serie se tomen en cuenta, mayor será la precisión de la aproximación. Sin embargo, la convergencia de la serie de Taylor puede verse afectada por singularidades o discontinuidades en la función original.
Es importante destacar que la serie de Taylor solo es exacta en el punto de expansión c. A medida que nos alejamos de este punto, aumenta la posibilidad de errores de aproximación. Además, la convergencia de la serie de Taylor puede ser afectada por el tamaño del intervalo de convergencia, que es el intervalo de valores de x para los cuales la serie converge y representa la función original de manera precisa.
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