1.8 Teorema del valor intermedio 

El teorema del valor intermedio para cálculo integral establece que si una función continua en un intervalo cerrado [a, b] toma valores positivos y negativos, entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) donde la función se anula, es decir, f(c) = 0.

Este teorema es una generalización del teorema del valor intermedio para funciones continuas en intervalos cerrados y acotaos, pero aplicado a funciones continuas en intervalos cerrados que pueden no estar acotados.

Para demostrar este teorema, se utiliza el teorema de Bolzano, que establece que si una función continua toma valores positivos y negativos en un intervalo cerrado [a, b], entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) donde la función se anula.

Para aplicar el teorema de valor intermedio para cálculo integral se debe seguir los siguientes pasos:

1. Verificar que la función es continua en el intervalo cerrado [a, b].

2. Determinar los valores que toma la función en los extremos del intervalo [a, b], es decir, f(a) y f(b).

3. Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos (uno positivo y otro negativo), entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) donde la función se anula, es decir, f(c) = 0.

4. Si f(a) y f(b) tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), entonces no es posible aplicar el teorema de valor intermedio para cálculo integral, ya que no se puede garantizar la existencia de un punto c donde la función se anule.

En resumen, el teorema del valor intermedio para cálculo integral establece que si una función continua en un intervalo cerrado [a, b] toma valores positivos y negativos, entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) donde la función se anula.