1.3 Sumas de Riemann

Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área bajo una curva mediante la subdivisión del área en rectángulos. Este método fue desarrollado por el matemático alemán Bernhard Riemann en el siglo XIX.

La idea básica detrás de las sumas de Riemann es dividir el área bajo la curva en una serie de rectángulos. La aproximación del área total se obtiene sumando las áreas de los rectángulos individuales.

Para llevar a cabo las sumas de Riemann, se divide el intervalo de integración en subintervalos más pequeños, y se evalúa la función en cada punto final de estos subintervalos. Posteriormente, se construyen rectángulos con base en estos subintervalos, usando el valor de la función en los puntos finales como la altura de cada rectángulo. La suma de estas áreas rectangulares se aproxima al área total bajo la curva.

Existen diferentes tipos de sumas de Riemann, dependiendo de cómo se elijan los puntos finales de los subintervalos. Los dos tipos más comunes son las sumas de Riemann izquierdas y las sumas de Riemann derechas. En las sumas izquierdas, se toma el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo como la altura del rectángulo correspondiente. En las sumas derechas, se toma el valor de la función en el extremo derecho.

Cuanto más se subdivida el intervalo de integración, más precisas serán las sumas de Riemann y más se aproximará el resultado al área real bajo la curva. La precisión se incrementa aún más si se utiliza un número mayor de rectángulos en la aproximación.

La principal limitación de las sumas de Riemann es que solo son precisas para ciertos tipos de funciones y no pueden utilizarse para encontrar áreas exactas bajo curvas complicadas. Sin embargo, siguen siendo un método útil de aproximación en muchos casos y proporcionan una base importante para el desarrollo del cálculo integral.