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La fórmula de integración por partes se utiliza para calcular integrales de productos de dos funciones. Se basa en la regla del producto de derivadas y se expresa de la siguiente manera:
∫u dv = uv - ∫v du
donde u y v son las funciones elegidas para descomponer la integral, y du y dv son las derivadas de esas funciones.
Para aplicar la fórmula de integración por partes, se sigue el siguiente procedimiento:
1. Seleccionar u y dv.
2. Calcular du y v.
3. Sustituir en la fórmula y calcular la integral resultante.
Aquí hay algunos ejemplos de cómo se aplica la fórmula de integración por partes:
1. Calcular la integral de ∫xln(x) dx.
En este caso, seleccionamos u = ln(x) y dv = x dx.
Calculamos du y v:
du = (1/x) dx
v = (1/2) x^2
Sustituimos en la fórmula y calculamos la integral resultante:
∫xln(x) dx = (1/2) x^2 ln(x) - ∫(1/2) x^2 (1/x) dx
∫xln(x) dx = (1/2) x^2 ln(x) - (1/2) ∫x dx
∫xln(x) dx = (1/2) x^2 ln(x) - (1/4) x^2 + C
Donde C es la constante de integración.
2. Calcular la integral de ∫e^x sen(x) dx.
En este caso, seleccionamos u = e^x y dv = sen(x) dx.
Calculamos du y v:
du = e^x dx
v = -cos(x)
Sustituimos en la fórmula y calculamos la integral resultante:
∫e^x sen(x) dx = -e^x cos(x) - ∫-e^x cos(x) dx
∫e^x sen(x) dx = -e^x cos(x) + ∫e^x cos(x) dx
En este caso, la integral a la derecha es similar a la original, por lo que podemos sustituirla en la fórmula nuevamente:
∫e^x sen(x) dx = -e^x cos(x) + (-e^x sen(x)) - ∫-e^x sen(x) dx
Simplificando:
2∫e^x sen(x) dx = -e^x (cos(x) + sen(x))
Finalmente, dividimos ambos lados entre 2 para obtener el resultado final:
∫e^x sen(x) dx = -1/2 e^x (cos(x) + sen(x)) + C
Donde C es la constante de integración.
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