La serie de Taylor es una herramienta fundamental en el cálculo integral que se utiliza para aproximar funciones mediante una serie de potencias. Es una expansión en serie alrededor de un punto dado (llamado centro) y se utiliza para representar una función como la suma de todas sus derivadas evaluadas en ese punto.

La fórmula general de la serie de Taylor para una función f(x) alrededor del punto c es:

F(x) = f + f’(x – c) + f’’((x – c)^2 / 2!) + f’’’((x – c)^3 / 3!) + …

Donde f’’ es la segunda derivada de f evaluada en c, f’’’ es la tercera derivada, y así sucesivamente. Los coeficientes de la serie de Taylor son las derivadas de orden superior de f evaluadas en c divididas por el factorial del orden de la derivada.

La serie de Taylor es una aproximación de la función original y su precisión mejora a medida que se suman más términos de la serie. Sin embargo, la serie de Taylor solo es exacta en el punto de expansión c. Cuanto más nos alejamos de este punto, mayores son los errores de aproximación.

La serie de Taylor tiene muchas aplicaciones en el cálculo integral, como la evaluación de funciones trascendentales, la resolución de ecuaciones diferenciales y la aproximación de integrales. Dependiendo de la función y la región de convergencia, la serie de Taylor puede converger a la función original en un intervalo específico o en todo el dominio de la función.