3.1.1 Área bajo la gráfica de una función 

El cálculo del área bajo la gráfica de una función se realiza mediante el cálculo integral. La integral de una función se define como el área acumulada bajo la curva de la función en un intervalo dado.

Para calcular el área bajo la gráfica de una función en un intervalo [a, b], se utiliza la fórmula de la integral definida:

Área = ∫(a hasta b) f(x) dx

Donde f(x) es la función cuya área se quiere calcular, a es el límite inferior del intervalo y b el límite superior. La integral se realiza con respecto a la variable x, y dx representa un elemento diferencial.

Para calcular la integral definida, es necesario conocer la función f(x) y sus límites de integración a y b. A continuación, se puede utilizar el teorema fundamental del cálculo, reglas de integración o técnicas de integración para determinar la antiderivada de la función f(x). Luego, se evalúa la antiderivada en los límites a y b, y se resta el valor obtenido en a del valor obtenido en b para calcular el valor numérico del área.

Es importante señalar que, en algunos casos, la función f(x) puede ser negativa en ciertos intervalos. En estos casos, el área bajo la gráfica será negativa, lo que indica que el área se encuentra por debajo de la línea x.

El cálculo de áreas mediante integrales tiene numerosas aplicaciones en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería, y es una herramienta fundamental en el cálculo integral.