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4.1 Definición de sucesión
4.2 Definición de serie
4.2.1 Serie finita
4.2.2 Serie infinita
4.3 Serie numérica y convergencia. criterio de la razón. Criterio de la raíz. Criterio de la integral.
4.4 Serie de potencias
4.5 Radio de convergencia
4.6 Serie de Taylor
4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor
4.1 Definición de sucesión
En cálculo integral, una sucesión es una secuencia de números reales que se indexan mediante una variable entera. Una sucesión puede ser finita o infinita, y los términos pueden estar determinados mediante una función o mediante una fórmula recurrente.
En el contexto del cálculo integral, una sucesión puede utilizarse para representar una serie, que es la suma de los términos de una sucesión. La importancia de las sucesiones en cálculo integral radica en su utilización para definir conceptos como el límite de una función o el área bajo una curva.
Una sucesión en cálculo integral puede ser convergente, es decir, tiende hacia un límite finito a medida que se consideran términos más y más lejanos en la secuencia. También puede ser divergente, lo que significa que no tiene un límite finito. En algunos casos, una sucesión puede ser oscilante, es decir, se acerca a dos o más valores distintos a medida que se consideran términos más lejanos.
En resumen, una sucesión en cálculo integral es una secuencia de números reales indexados por una variable entera, y su estudio es fundamental en la definición de conceptos como el límite de una función y el área bajo una curva.
4.2 DEFINICION DE SERIE
La serie cálculo integral se refiere a una serie matemática que tiene como objetivo principal la resolución de problemas relacionados con la integral de una función. Esta serie se basa en el uso de las técnicas y operaciones propias del cálculo integral, como la integración por partes, la sustitución trigonométrica, la regla de la cadena, entre otras.
Al resolver una serie cálculo integral, se busca obtener la primitiva de una función o determinar el área bajo una curva. Esto implica el cálculo de integrales definidas, en donde se evalúa el área entre dos puntos específicos de una función.
La serie cálculo integral es utilizada en diversas áreas de la ciencia, ingeniería y matemáticas, ya que permite modelar y resolver problemas de manera más precisa y eficiente. Además, también es fundamental para el estudio del cálculo diferencial, ya que ambos conceptos están interrelacionados y se complementan entre sí.
SERIES FINITAS E INFINITAS
4.2.1 DEFINICION DE SERIE FINITA
En cálculo integral, una serie finita es la suma de un número finito de términos de una sucesión. Es decir, una serie finita se forma al sumar los términos de una sucesión hasta un cierto índice final.
En su forma general, una serie finita se representa como:
S = a1 + a2 + a3 + … + an
Donde a1, a2, a3, …, an son los términos de la sucesión y n es el índice final de la serie.
La suma parcial de una serie finita se obtiene al sumar un número determinado de términos de la sucesión. Por ejemplo, la suma parcial de los primeros k términos se representa como:
Sk = a1 + a2 + a3 + … + ak
las series finitas son una herramienta importante para calcular el área bajo una curva o la longitud de una curva, ya que permiten aproximaciones cada vez más precisas de estas cantidades mediante la inclusión de más términos en la serie.
Es importante destacar que una serie finita siempre tiene un valor finito y convergente, ya que se trata de una suma de un número finito de términos
4.2.2 DEFINICIÓN DE SERIE INFINITA
En cálculo integral, una serie infinita es la suma de un número infinito de términos de una sucesión. Es decir, una serie infinita se forma al sumar los términos de una sucesión sin ningún límite.
En su forma general, una serie infinita se representa como:
S = a1 + a2 + a3 + …
Donde a1, a2, a3, … son los términos de la sucesión.
Para que una serie infinita tenga sentido es necesario que tenga un límite. En otras palabras, la suma de los términos de la sucesión debe converger a un valor finito. Si el límite existe, se dice que la serie es convergente. Si el límite no existe o es infinito, se dice que la serie es divergente.
El estudio de las series infinitas en cálculo integral es fundamental para analizar el comportamiento de funciones y calcular áreas bajo curvas. Se utilizan diversas técnicas y criterios para determinar si una serie infinita es convergente o divergente, como el criterio de convergencia de Cauchy, el criterio de comparación, el criterio de la razón o el criterio de la integral.
4.3 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA. CRUTERIO DE LA RAZON, CRUTERIO DE LA RAIZ, CRITERIO DE LA INTEGRAL
Una serie numérica es la suma de los términos de una sucesión numérica. En otras palabras, es la expresión matemática que representa la suma de una secuencia infinita de números. Se denota generalmente como:
S = a1 + a2 + a3 + …
Donde a1, a2, a3, … son los términos de la sucesión numérica.
La convergencia de una serie numérica se refiere a si la suma de los términos converge o tiende a un valor finito. Si la suma de los términos se acerca cada vez más a un valor finito a medida que se añaden más términos, entonces la serie es convergente. Si la suma no tiende a un valor finito o diverge, entonces la serie es divergente
Existen varios criterios que se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de una serie numérica. Aquí mencionaremos algunos de los más comunes:
Criterio de la razón
Criterio de la razón
Criterio de la razón: Si el límite de la razón de los términos consecutivos de la serie, es decir, el límite de |an+1/an| a medida que n tiende a infinito, es menor que 1, entonces la serie es convergente. Si el límite es mayor que 1 o no existe, entonces la serie es divergente.
Criterio de la raiz
Criterio de la raiz
Criterio de la raíz: Si el límite de la raíz n-ésima de los términos de la serie, es decir, el límite de |an|^(1/n) a medida que n tiende a infinito, es menor que 1, entonces la serie es convergente. Si el límite es mayor que 1 o no existe, entonces la serie es divergente.
Criterio de la integral
Criterio de la integral
Criterio de la integral: Si se puede encontrar una función continua y decreciente f(x) tal que f(n) = an, y la integral definida de f(x) desde 1 hasta infinito converge, entonces la serie es convergente. Si la integral diverge, entonces la serie es divergente
4.4 Series de potencias
4.4 Series de potencias
Las series de potencias son una herramienta útil en el cálculo integral. Una serie de potencias es una serie infinita de la forma:
F(x) = a0 + a1(x – c) + a2(x – c)^2 + a3(x – c)^3 + …
Donde a0, a1, a2, a3, … son los coeficientes de la serie y c es el centro de la serie.
Las series de potencias pueden representar funciones reales o complejas en términos de polinomios. Una serie de potencias converge cuando las sumas parciales de la serie se aproximan cada vez más a una función dada.
En el cálculo integral, las series de potencias se utilizan para expandir funciones en términos de polinomios, lo que facilita su integración. Para integrar una función utilizando una serie de potencias, se puede utilizar la propiedad de linealidad de la integral para integrar término por término cada término de la serie, siempre y cuando la serie converja.
La expansión en series de potencias también se utiliza para evaluar integrales definidas cuando la función integrando no puede ser expresada en términos de funciones elementales.
Un ejemplo común de integración utilizando series de potencia es la expansión en serie de potencias de la función exponencial e^x:
E^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + …
Esta serie convergerá para todos los valores reales de x. Por lo tanto, se puede utilizar para evaluar la integral definida de e^x en un intervalo dado.
4.5 Radio de convergencia
El radio de convergencia es un concepto importante cuando se trabaja con series de potencias en el cálculo integral. Se utiliza para determinar el rango de valores de x para los cuales la serie de potencias converge.
El radio de convergencia se calcula utilizando el criterio de la razón, que establece que si existe el límite:
R = lim |an / an+1|
Donde an es el coeficiente del término de orden n de la serie de potencias. Si el límite R existe finito, entonces el radio de convergencia de la serie es 1/R.
Para determinar si la serie de potencias converge o diverge en un punto dado, se puede comparar el valor absoluto del término de orden n con el valor absoluto del término de orden n+1. Si la razón de estos términos se acerca a cero a medida que n tiende al infinito, entonces la serie convergerá dentro del radio de convergencia.
El radio de convergencia puede ser infinito, lo que significa que la serie converge para todos los valores de x. También puede ser cero, lo que significa que la serie solo converge en el punto c en el que está centrada la serie. En el caso en que el radio de convergencia sea un número real positivo finito, la serie convergerá para todos los valores de x dentro de un intervalo abierto centrado en c y con longitud 2R
4.6 Serie de Taylor
4.6 Serie de Taylor
La serie de Taylor es una herramienta fundamental en el cálculo integral que se utiliza para aproximar funciones mediante una serie de potencias. Es una expansión en serie alrededor de un punto dado (llamado centro) y se utiliza para representar una función como la suma de todas sus derivadas evaluadas en ese punto.
La fórmula general de la serie de Taylor para una función f(x) alrededor del punto c es:
F(x) = f + f’(x – c) + f’’((x – c)^2 / 2!) + f’’’((x – c)^3 / 3!) + …
Donde f’’ es la segunda derivada de f evaluada en c, f’’’ es la tercera derivada, y así sucesivamente. Los coeficientes de la serie de Taylor son las derivadas de orden superior de f evaluadas en c divididas por el factorial del orden de la derivada.
La serie de Taylor es una aproximación de la función original y su precisión mejora a medida que se suman más términos de la serie. Sin embargo, la serie de Taylor solo es exacta en el punto de expansión c. Cuanto más nos alejamos de este punto, mayores son los errores de aproximación.
La serie de Taylor tiene muchas aplicaciones en el cálculo integral, como la evaluación de funciones trascendentales, la resolución de ecuaciones diferenciales y la aproximación de integrales. Dependiendo de la función y la región de convergencia, la serie de Taylor puede converger a la función original en un intervalo específico o en todo el dominio de la función.
Serie de Maclaurin
La serie de Maclaurin es una forma de expandir una función en una serie de potencias alrededor del punto cero (x = 0). También se le conoce como la serie de Taylor con el punto c = 0.
La serie de Maclaurin se define de la siguiente manera:
f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x^2 + (f'''(0)/3!)x^3 + ..
Donde f'(0) representa la derivada de la función evaluada en x = 0, f''(0) representa la segunda derivada de la función evaluada en x = 0, y así sucesivamente.
La razón por la que esta serie se llama así es porque fue desarrollada por el matemático escocés Colin Maclaurin en el siglo XVIII.
La serie de Maclaurin es especialmente útil para aproximar una función alrededor de x = 0, ya que su expansión en series de potencias permite calcular el valor de la función en cualquier punto cercano a cero
4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
La serie de Taylor es una herramienta útil para representar funciones mediante una aproximación en forma de serie de potencias. La idea es descomponer una función complicada en una serie de términos más simples basados en sus derivadas.
La aproximación de una función f(x) mediante la serie de Taylor alrededor de un punto c se puede expresar de la siguiente manera:
F(x) = f + f’(x – c) + f’’((x – c)^2 / 2!) + f’’’((x – c)^3 / 3!) + …
La serie de Taylor se construye a partir de las derivadas de la función evaluadas en el punto c. El primer término es simplemente el valor de la función en ese punto. El segundo término es proporcional a la derivada de primer orden de f en c, multiplicada por la diferencia entre x y c. El tercer término es proporcional a la segunda derivada de f en c, multiplicada por la diferencia al cuadrado, y así sucesivamente.
La serie de Taylor proporciona una aproximación local de la función alrededor del punto c. Cuantos más términos de la serie se tomen en cuenta, mayor será la precisión de la aproximación. Sin embargo, la convergencia de la serie de Taylor puede verse afectada por singularidades o discontinuidades en la función original.
Es importante destacar que la serie de Taylor solo es exacta en el punto de expansión c. A medida que nos alejamos de este punto, aumenta la posibilidad de errores de aproximación. Además, la convergencia de la serie de Taylor puede ser afectada por el tamaño del intervalo de convergencia, que es el intervalo de valores de x para los cuales la serie converge y representa la función original de manera precisa.
4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor
4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor
Cuando una función se puede expresar como una serie de Taylor, es posible calcular su integral utilizando dicho desarrollo. La serie de Taylor de una función f(x) alrededor de un punto c se expresa de la siguiente manera:
f(x) = f(c) + f'(c)(x - c)/1! + f''(c)(x - c)²/2! + f'''(c)(x - c)³/3! + ...
Donde f'(c) es la derivada de f(x) evaluada en c, f''(c) es la segunda derivada evaluada en c, y así sucesivamente.
Para calcular la integral de f(x) utilizando la serie de Taylor, se debe integrar término por término. Es decir, se integra f(c), luego se integra cada término de la forma f'(c)(x - c)ⁿ/n!, donde n es el número de términos.
Supongamos que queremos calcular la integral definida de f(x) en el intervalo [a, b]. El resultado será la suma de los términos integrados en ese intervalo:
∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] f(c) dx + ∫[a,b] f'(c)(x - c)/1! dx + ∫[a,b] f''(c)(x - c)²/2! dx + ∫[a,b] f'''(c)(x - c)³/3! dx + ...
Este proceso puede ser tedioso y puede requerir conocimientos avanzados de cálculo integral. Además, es importante tener en cuenta que la serie de Taylor solo es válida en un intervalo alrededor del punto c, por lo que el resultado de la integral puede no ser preciso fuera de ese intervalo.
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