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3.1 Áreas.
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.
3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.
3.2 Longitud de curvas.
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de
revolución.
3.4 Integrales impropias.
3.5 Aplicaciones.
3.1 Áreas.
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades denominadas superficiales.
Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término “área” como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general (que es un concepto métrico) se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión:
· cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.
El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado.
La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura.
La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.
Como podemos ver en la Gráfica el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.
Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:
Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.
Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.
Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.
3.2 Longitud de curvas
Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
FORMULACIÓN
Al considerar una curva definida por una función fx y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como en la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante la longitud del arco comprendido en el intervalo (ab) toma la forma:
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje,
Por ejemplo:
· El cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos,
· El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
· Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución.
· El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
· Volumen del disco = wR2π
3.4 Integrales Impropias
Las integrales impropias son integrales definidas que cubren un área no acotada.
Un tipo de integrales impropias son las aquellas en las que al menos uno de los puntos extremos se extiende al infinito. Por ejemplo:
d, x es una integral impropia. Se puede ver como el límite:
Otro tipo de integrales impropias son las integrales cuyos puntos extremos son finitos, pero la función integrada no está acotada en uno o los dos extremos
d, x es una integral impropia. Se puede ver como el límite
3.5: Aplicaciones
Dentro de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa mediante integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la curva” se tienen:
Área entre curvas
La integral representa la acumulación de las pequeñas variaciones en una situación dada, por ello podemos responder a la pregunta: Si se tiene una curva ¿Cuánto mide? ¿Cómo la mido? ¿Qué son las pequeñas variaciones en ese caso?
Longitud de una curva
La integral como concepto nace alrededor del cálculo numérico, por lo que muchas de las integrales que se nos presentan en la vida cotidiana ni tan siquiera son planteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace inútiles; ¡por el contrario! El potencial analítico de la integral se logra ante la simplicidad del concepto ¡no deja de ser una suma
Integración numérica
Es verdad que la motivación del la integración lo fue el concepto geométrico de área, pero ya hemos concluido que en realidad la podemos emplear en cualquier situación que se pueda representar por el producto de dos cantidades y el volumen es uno de esos casos, veamos los siguientes cuerpos geométricos y como la integral nos auxilia a calcular volúmenes.
Superficies y sólidos de Revolución
En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro de esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos físicos necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.
Momentos de Inercia
Las aplicaciones de la integral son muy amplias y en este apartado se han presentado algunas de las más comunes, y con este estudio se amplia el panorama para que en nuestra visión de la naturaleza, en los actos que nos rodean todos los días, observemos como la acumulación es un hecho cotidiano.
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