E' una successione di numeri reali, tale che il rapporto tra ogni termine con il termine precedente resti costante
an / an-1 = q
In tal caso, q è detto ragione della progressione.
Tale proprietà permette di calcolare l'elemento di posizione n, a partire da un dato elemento precedente k:
an = ak q n - k
Ovviamente, queste relazioni possono essere risolte diversamente, per trovare la ragione q, la posizione n o k, il valore di un elemento ak.
In particolare, l'elemento di posizione n, a partire dal primo elemento
an = a1 q n - 1
Somma dei termini
Considero la somma dei termini della successione (an)N e la somma dei termini della successione q(an)N che ricavo dalla prima, moltiplicando ogni termine per la ragione q. Ogni termine di questa sarà avanzato di 1 rispetto alla prima
∑ an = a1 + a2 + a3, + . . . + aN-1 + aN
q ∑ an = a2 + a3 + a4 + . . . + aN + q aN
Sottraendo ottengo
(1 - q) ∑ an = a1 - q aN
da cui, poichè an = a1 q n - 1, ottengo
(1 - q) ∑ an = a1 (1 - qN)
e infine
∑ an = a1 (1 - qN) / (1 - q)
Esempi
Trovo la somma dei . . . .
tale che il rapporto tra . . .
Medi geometrici
L'inserimento di M medi aritmetici tra due numeri dati, a e b. E' il problema di trovare M numeri equidistanziati, (an)M tali che la successione (a, (an), b) risulti geometrica, si riconduce alla ricerca della ragione q della successione estesa agli estremi, (an)N
a, a1, a2, . . ., aM, b
con N = M + 2.
Questa si ricava dalla formula precedente
q = (N-1)√(aN / a1) = (M+1)√(b / a)