I numeri primi sono infiniti.
Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti.
Allora dovrebbe esistere un numero M, che sia il più grande dei numeri primi.
Confutazione
Consideriamo il prodotto di tutti i numeri primi
P = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x ... x M
e aggiungiamo 1 a questo numero
P + 1 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x ... x M + 1
Si possono presentare due casi mutuamente esclusivi
P + 1 è un numero primo. Allora è un numero primo più grande di M.
P + 1 non è primo. Allora ha fattori primi maggiori di M.
In entrambi i casi, abbiamo trovato un numero primo maggiore di M, che quindi non può essere il più grande dei numeri primi.
Poichè M è un numero primo qualunque, si conclude che i numeri primi sono infiniti.
Mentre il primo caso è ovvio, per il caso 2 ricordiamo che ogni numero non primo deve avere almeno un numero primo come divisore e osservimo che il numero P + 1 non può avere alcuno dei numeri primi minori di M come divisore. Infatti ogni divsione darebbe resto non zero:
P + 1 1
---------- = 1 x 2 x (Q-1) x (Q+1) x .... x M + ---
Q Q
con Q = 2, 3, 5, 7, . . . M
Si può arrivare alla stessa conclusione, notando che il numero P + 1 non può essere multiplo di nessuno dei fattori primi che costituiscono P:
P + 1 non può avere 2 per divisore, essendo di 1 maggiore di P che è multiplo di 2.
P + 1 non può avere 3 per divisore, essendo di 1 maggiore di P che è multiplo di 3.
P + 1 non può avere 5 per divisore, essendo di 1 maggiore di P che è multiplo di 5.
...
P + 1 non può avere M per divisore essendo di 1 maggiore di P che è multiplo di M.
Poichè nessuno dei numeri primi fino a M può essere un divisore di P + 1, i suoi divisori devono essere numeri primi maggiori di M.
Esempi
Sia N = 7 il più grande dei numeri primi. Allora 2x3x5x7 + 1 = 211 che non ha 2, 3, 5, 7 tra i suoi fattori ed è primo; dunque 7 non è il primo più grande.
Se N = 11 si ha 2x3x5x7x11 + 1 = 2311 che è ancora primo; e 11 non è il primo più grande.
Se N = 13 si ha 2x3x5x7x11x13 + 1 = 30031 = 59*509 che sono due numeri primi entrambi maggiori di 13. 30031 è il primo caso di P + 1 che non è primo.
Varianti
Si possono pensare diverse varianti di questa dimostrazione; p.es. invece di considerare P + 1 si potrebbe considerare P - 1 con le medesime conclusioni; oppure invece di P si potrebbe prendere il fattoriale M! con la dimostrazione è del tutto simile riguardo al numero M! + 1.
Testo elaborato sulla base di quello scritto da Paolo Bonavoglia (paolo.bonavoglia@liceofoscarini.it) del Liceo Classico M.Foscarini Venezia