Spesso gli enunciati o proposizioni (vedi la logica delle proposizioni) possono essere espressi come proprietà di un oggetto.. Ad esempio, 'Isidoro beve'. Se indichiamo con x la persona Isisdoro e con B per la proprietà della azione del bere, lìenunciato si scrive Bx o anche in forma di funzione B(x).
Bx si dice predicato.
L'enunciato B(x) = b è vero se x possiede la proprietà B.
Dalla proprietà B possiamo passare all'insieme di tutti gli elementi che hanno tale proprietà (in questo caso 'tutti coloro che bevono' ). Chiamiamo B tale insieme. Allora si dice che b appartiene a B.
L'insieme B è dato dalla espansione di tutti i predicati Bxi ovvero dalla congiunzione di tutti gli elementi bi
B = { ∧i bi }
∨ ∧
Nella Logica dei predicati si distinguono in una proposizione due elementi fondamentali:
il predicato terminale;
l'argomento (o gli argomenti).
Esempio:
Isidoro beve
Isidoro è l'argomento del predicato terminale beve. Sostituendo a Isidoro una variabile, avremo:
x beve
Tuttavia, come regola generale di scrittura, in Logica formale si pone prima il predicato:
beve x
Indicheremo con:
x, y, z... le variabili terminali;
a, b, c... le costanti, cioè simboli che rappresentano nomi di oggetti singoli;
P, Q, R... i predicati, costanti o variabili (simbolismo di Russell-Whitehead-Quine).
Alcune osservazioni:
1. I predicati possono essere mono- bi- tri- e, in generale, n-argomentali:
✔ Isidoro ama Giovanna
diventa: A(i, g), con ovvio significato dei simboli.
2. Una funzione proposizionale con variabili terminali può essere formalmente trattata come una proposizione. Dunque è lecito unire tali funzioni con predicati proposizionali:
Ricordando che
'x beve' è un predicato, in cui 'x' è l'argomento o variabile e 'beve' è il predicato terminale; se chiamo B il predicato terminale 'beve', il predicato si può scrivere B(x).
Nella logica dei predicati, un enunciato è un oggetto con una data proprietà, che si scrive B(x) oppure anche Bx
Allora:
✔ Se x beve allora y beve si formalizza come:
B (x) ⊃ B (y)
✔ Non è vero che x beve:
¬B (x)
✔
x beve e y gioca:
B (x)∧G (y)
QUANTIFICATORI
Per tradurre proposizioni universali adoperiamo i quantificatori, che si scrivono
innanzi alle variabili:
●
●
✔
✔
Quantificatore universale: ∀ x “per ogni x”
Quantificatore esistenziale: ∃ x “per alcuni x”, “esiste almeno un x tale che”
Se M indica il predicato si muove, l'espressione qualche cosa si muove si
traduce in simboli: ∃ x M x
Se M indica il predicato si muove, l'espressione per ogni x: x si muove si
traduce in simboli: ∀ x M x
Variabili legate a un quantificatore si dicono vincolate o legate, non più libere.
Quando una funzione contiene variabili diversiformi, per costituire una
quantificazione completa occorre assegnare un quantificatore a ciascuna di esse.
✔
può ad esempio formalizzare:
Ogni x è a contatto con ogni y
∀ x∀ y C x , y
✔
✔
✔
∃ x ∀ y C x , y può ad esempio formalizzare:
Qualche x è a contatto con ogni y
∀ x ∃ y C x , y può ad esempio formalizzare:
Ogni x è a contatto con qualche y, e si può anche leggere come
Per ogni x esiste almeno un y tale che x è a contatto con y
La definizione di limite finito l di una funzione f(x) di variabile reale x quando
questa tende a un valore finito x 0 :
∀ 0 ∃ 0 ∀ x ∣x− x 0∣∧ x≠x 0 ⊃∣ f x−l∣
L'ordine dei quantificatori può essere arbitrariamente cambiato se tutti sono
universali o tutti sono esistenziali, ma non lo può se alcuni sono universali e
alcuni sono esistenziali.
✔
✔
è lo stesso che ∀ y ∀ x C x , y
Ogni x è a contatto con ogni y
∀ x ∃ y C x , y non è lo stesso che ∃ y ∀ x C x , y
Tutti gli x sono a contatto con almeno un y
Esiste almeno un y che è a contatto con tutti gli x
∀ x∀ y C x , y
http://www.santommasodaquino.org/Logica/logicapredicatiintro.pdf