I numeri primi sono infiniti.
Eulero considera la serie armonica:
1 1 1 1 1
1 + --- + --- + --- + --- + ... + ---
2 3 4 5 n
che è divergente, ovvero tende a infinito, e le seguenti serie di potenze di numeri primi, tutte convergenti in base alle proprietà delle serie di potenze:
1 1 1 1 1 1
1 + --- + --- + --- + ---- + ... + ----- -> ------- = 2
2 4 8 16 2n 1-1/2
1 1 1 1 1 1 3
1 + --- + --- + ---- + ---- + ... + ----- -> ------- = ---
3 9 27 81 3n 1-1/3 2
1 1 1 1 1 1 5
1 + --- + ---- + ----- + ----- + ... + ----- -> ------- = ---
5 25 125 625 5n 1-1/5 4
1 1 1 1 1 1 p
1 + --- + ----- + ----- + ----- + ... + ----- -> --------- = ------- = (1 - p-1)-1
p p2 p3 p4 pn 1 - 1/p p - 1
...
Ora la serie armonica è la somma degli inversi di tutti numeri naturali, ognuno dei quali si scompone in modo unico in un prodotto di potenze di numeri primi. Queste potenze sono tutte presenti ai denominatori delle serie di potenze su riportate. In definitiva Eulero conclude che la serie armonica è uguale al prodotto di tutte le serie di potenze dei numeri primi. Infatti ogni termine della serie armonica è uguale a uno e uno solo tra i possibili prodotti di termini delle serie di potenze e viceversa.
Ma allora se i numeri primi fossero finiti, queste serie sarebbero in numero finito e finito sarebbe anche il loro prodotto, mentre la serie armonica tende a infinito. Se ne conclude nuovamente che i numeri primi devono essere infiniti.
Questa dimostrazione di Eulero ha portato un secolo dopo Riemann a definire la famosa funzione zeta di Riemann e a formulare quella congettura di Riemann che attende ancora una dimostrazione o una confutazione.
Testo elaborato sulla base di quello scritto da Paolo Bonavoglia (paolo.bonavoglia@liceofoscarini.it) del Liceo Classico M.Foscarini Venezia