E' una successione di numeri reali, tale che la differenza di ogni termine con il termine precedente resti costante
an - an-1 = d
In tal caso, d è detto ragione della progressione.
Tale proprietà permette di calcolare l'elemento di posizione n, a partire da un dato elemento precedente k:
an = ak + (n - k) d
Ovviamente, queste relazioni possono essere risolte diversamente, per trovare la ragione d, la posizione n o k, il valore di un elemento ak.
In particolare, l'elemento di posizione n, a partire dal primo elemento
an = a1 + (n - 1) d
Somma dei termini
Da questa relazione, si può dedurre che la somma di ogni coppia di termini equidistanti dagli estremi di una successione (an)N è costante
La somma dei termini di una successione di N elementi si può scrivere, sfruttando la proprietà commutativa della somma
∑ an = a1 + aN + a2 + aN-1 + a3 + aN-2 + . . .
che dà
∑ an = N a1 + aN / 2
Esempi
Trovo la somma dei primi 100 naturali.
La successione è (an)N = (n)N, con N=100, a1 = 1, aN=100; quindi 100 (1+100) / 2 = 50 x101 = 5050
Trovo la somma dei primi 50 numeri naturali pari.
La successione è (an)N = (2n)N, con N=50, a1 = 2, aN=100; quindi 50 (2+100) / 2 = 25 x102 = 2550
Medi aritmetici
L'inserimento di M medi aritmetici tra due numeri dati, a e b. E' il problema di trovare M numeri equidistanziati, (an)M tali che la successione (a, (an), b) risulti aritmetica, si riconduce alla ricerca della ragione d della successione estesa agli estremi, (an)N
a, a1, a2, . . ., aM, b
con N = M + 2.
Questa si ricava dalla formula precedente
d = (a - b) / (M + 1)