Número primo de Mersenne

Un número de Mersenne es un número entero positivo m que es una unidad menor que una potencia entera positiva de 2:

{\displaystyle M_{n}=2^{n}-1.}

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo. Se cumple que todos los números de Mersenne,

{\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}

, que sean primos también tendrán n prima (aunque no toda n prima vale; no es una condición suficiente que n sea prima para que

{\displaystyle M_{n}}

lo sea). Se denominan así en memoria del filósofo del siglo xvii Marin Mersenne, quien en su Cogitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que solo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista solo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó M₆₇ y M₂₅₇, que son compuestos, y omitió M₆₁, M₈₉, y M₁₀₇, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa solo se completó más de dos siglos después.

A diciembre de 2018, solo se conocen 51 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M_{82 589 933} = 2^{82 589 933}−1, un número de más de 24 millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

Propiedades

Si n es compuesto, entonces M_n es compuesto.

Demostración

Si n es un número natural, por el teorema del binomio se tiene:

{\displaystyle c^{n}-d^{n}=(c-d)\sum _{k=0}^{n-1}c^{k}d^{n-1-k}}

Tomando

{\displaystyle c=2}

{\displaystyle d=1}

{\displaystyle n=ab}

(a, b > 1), se tiene:

{\displaystyle M_{n}=M_{ab}=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1^{b}=(2^{a}-1)\sum _{k=0}^{b-1}(2^{a})^{k}1^{b-1-k}=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)}

{\displaystyle 2^{a}-1}

es mayor que 1 porque se ha procurado que

{\displaystyle a}

sea estrictamente mayor que 1, y la suma

{\displaystyle 1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}}

también lo es. Por tanto, se tiene una factorización de

{\displaystyle M_{n}}

, así que

{\displaystyle M_{n}}

es compuesto.

Observación: Por contraposición, si M_n es primo, entonces n es primo. Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne M_n, ya que solo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los que n es primo.

Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida a 2^p-1 debe ser uno más que un múltiplo de 2p.

Esta proposición también se cumple si

{\displaystyle 2^{p}-1}

es primo.

Ejemplo I:
{\displaystyle 2^{5}-1=31}
es primo, siendo:

31 = 6 · 5 + 1

Ejemplo II:
{\displaystyle 2^{11}-1=2047=23\cdot 89}
, siendo:

23 = 2 · 11 + 1

89 = 8 · 11 + 1

2047 = 186 · 11 + 1

Demostración

Si q es un primo que divide

{\displaystyle 2^{p}-1}

, entonces

{\displaystyle 2^{p}}

≡ 1 (mod q). Por el Pequeño Teorema de Fermat,

{\displaystyle 2^{q-1}}

≡ 1 (mod q). Supongamos que p que no divide a q − 1 para llegar a contradicción. Entonces, como p y q − 1 deben ser primos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que

{\displaystyle (q-1)^{p-1}}

≡ 1 (mod p). Por tanto, existe un número x ≡

{\displaystyle (q-1)^{p-2}}

tal que (q − 1)·x ≡ 1 (mod p), y por tanto un número k tal que (q − 1)·x − 1 = kp.

Como

{\displaystyle 2^{q-1}}

≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de la congruencia a la potencia x resulta

{\displaystyle 2^{(q-1)x}}

≡ 1, y como

{\displaystyle 2^{p}}

≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de esta segunda congruencia a la potencia k resulta

{\displaystyle 2^{pk}}

≡ 1. Por tanto, 1≡

{\displaystyle {\frac {2^{(q-1)x}}{2^{pk}}}}

≡

{\displaystyle 2^{(q-1)x-pk}}

(mod q). Pero teníamos que (q − 1)x − kp = 1, lo que implica que

{\displaystyle 2^{1}}

≡ 1 (mod q); en otras palabras, que q divide 1. Con esto, la premisa inicial de que p no divide q − 1 es insostenible.

Por lo tanto,

{\displaystyle q=n\cdot p+1}

. Pero, además, este n tiene que ser par, porque

{\displaystyle 2^{p}-1}

es impar y todos sus divisores deben ser también impares. Como p era un primo impar, la única manera que esto ocurra es que

{\displaystyle n=2k}

y, finalmente,

{\displaystyle q=2kp+1}

Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida

{\displaystyle 2^{p}-1}

es congruente con

{\displaystyle \pm 1{\pmod {8}}}

Demostración

{\displaystyle 2^{p+1}=2{\pmod {q}}}

, así que

{\displaystyle 2^{(p+1)/2}}

es una raíz cuadrada de 2 módulo

{\displaystyle q}

Por reciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con

{\displaystyle \pm 1{\pmod {8}}}

Lista de los números primos de Mersenne conocidos

No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 48.º (M_43.112.609) y el 51.º (M_82.589.933). Por lo tanto, esta tabla es provisional. Por poner un ejemplo histórico, el 29.º número primo de Mersenne fue descubierto después del 30.º y el 31.º.

Preguntas abiertas

Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales que M₂₅₇ y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva conjetura de Mersenne".

Nueva conjetura de Mersenne

La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cada número natural impar p, si se cumplen las dos primeras de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:

p = 2^k ± 1 o p = 4^k ± 3 para algún número natural k.
2^p − 1 es primo (un número primo de Mersenne).
(2^p + 1) / 3 es primo (un número primo de Wagstaff).

Si p es un número compuesto impar, entonces tanto 2^p − 1 como (2^p + 1)/3 son compuestos. Por tanto, solo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura.

Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne, que se demostró falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge declaró que la NCM es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables. Se puede considerar más como una observación que como una pregunta abierta en busca de respuesta. Su página web contiene la verificación de los resultados obtenidos hasta este número.

Conjetura de Lenstra–Pomerance–Wagstaff

Lenstra, Pomerance y Wagstaff han conjeturado que no solo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino que el número de primos de Mersenne con exponente p menor que x se puede aproximar asintóticamente por

{\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(x)}

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y

{\displaystyle e^{\gamma }=1,781072417990197\dots }

Relación con otras categorías de números

Números perfectos

Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y los números perfectos. Si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. Asimismo, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2: Teorema de Euclides- Euler. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.

Números dobles de Mersenne

Un número doble de Mersenne se define como:

{\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}

donde p es el exponente de un número primo de Mersenne.

Números repunit

Los números repunit (del inglés repeated unit, "unidad repetida") son los que, en una base dada, se representan como una cadena de unos. Los números de Mersenne son los números repunit en el sistema binario.